函授本科数学专业(参考答案)

函授本科数学专业

《泛函分析》考试试题A 卷（120分钟）

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、下列各式正确的是（ C ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ）

（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（ B ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测 （B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n

f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）

(A) )(x f 在],[b a 上有界

(B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D)

?

-

=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分) 1、()((

))s s C A C B A A B ??--=( φ )

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'

E =（[0，1]）,o

E =（φ）,E = （[0，1]）.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有（***()()m T m T E m T CE =?+?），则称E 是L 可测的。

4、)(x f 可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使

（11|()()|n i i i f x f x -=??

-????

∑成一有界数集。）,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立, 则举反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密

………………………..5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集

……………………….5分

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。 错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E

f x >?