分式的运算及题型讲解

分式的运算及题型讲解

§ 17.2分式的运算

一、分式的乘除法

1法则:

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

a c ac

b，d bd

用式子表示：

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

a . c a d ad

—~ = ?-= ---

b d b

c bc

用式子表示:

2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

/ ■-n n

a \ a 1 =

用式子表示: lb丿b n（其中n为正整数，a M 0）

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一

个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有

多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简

三、分式的加减法

（一）同分母分式的加减法

1法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减

用式子表示:

2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，

a c ad bc ad - bc

——土——= -- 土----- —

再加减。用式子表示：b d bd bd bd 。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关

键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘

除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）

有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

2

例计算：（1）T「O2 士

a +2 a — 2

【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

1、先约分后通分技巧例计算x^ +蛋

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分

后再计算

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分

子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

1 1 1

= 1 + x2 -3x 2 -1- x2-5x 6- x2-4x 3

1 1

(x—1)(x—2) - (x — 2)(x—

1

? (x-1)(x-3)

x-3_(x_1)_(x_2) - ________ ____________ x =(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-2)(x-3) =- (xT)(x-2)(x-3)(2) 「X

(3) i 2一」二

x x-2 x -2x

解: 原式= X 1

(x 1)(x 2)

x(x-2)

(x-2)(x 2) = x 2

x

+ T~2

2、分离整数技巧例计算x2 -3x 3

x2 -3x 2

x2 -5x 7

x2-5x 6

1

x2-4x 3

解: 原式=

2

(x -3x 2) 1

x2-3x 2

2

(x -5x 6) 1

x2 -5x 6

1

x2-4x 3

1 2 3

3、裂项相消技巧例计算 x(x+1) + (x+1)(x+3) + (x+3)(x+6)

消计算

1 6 x 6

= x( x 6)

x 2 +3x+6 _ x 2

+ 5x+2

练习：".一…一一 ..

4、分组计算技巧例 计算土 +无-右-壮 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积 为a 2

-4，第二项、第三项分母乘积为a 2

-1，采取 分组计算简捷。 解：原式=（花-壮）+（詐-吕） 4 -4

12

=

a 2

-4

+ a 2

-1 = （a 2

-4）（a 2

-1）

1111 练习： + — —

7? + x + 2X+1 F+3X +2 F +

5、分式求值问题全解

1) 字母代入法 例 1.

b=a+1,c=a+2,d=a+3, 求

九丘十诜的值

【解析】仔细观察已知条件，虽然出现的字

分析：此类题可利用

1

_丄 n(n

m) = m (n - m )裂项相

解:原式=（2 -的）+2 （靑

1 3 1

x 3

) +3 ( x 3 - x 6 )

母很多，但都可以用一个字母代替:

a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3

所以可以用一个字母代替其它字母来实现代 数式的化简 」

b

c

L

a d a

b

c b c

d a d

=」 「 ^2 」

a a 3 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a a 3

=a a 1 a 2 a 3

—2a 3 3a 3 3a 6 2a 3

=a a 3 a 1 a 2 =2a 3 3(a 1) 3(a 2)

=1

1 1

3 3

5 - 3

【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用 一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母 带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某 个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结 果就在于自己的分式化简能力了。

2) 设值代入法

例2.已知^=-y a b 二，求证:

c

xy yz zx ab bc ca

2 x 2

a

【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得

y=

bx

, z = ￡x '代入后分式的分子分母中有分式， a a

y

、z

连等，让它们都等于k

贝V x=ak y=bk

b c

z=ck

代入得

xy yz zx = akbk bkck ckak

ab bc ca

ab bc ca

ab be ca ’ 2 = k

ab bc ca

2

=k 2

二

a

【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三

种方式来运用这个条件

则(1) y = ^a x , z = c x

(2) 设-=^ — k 贝y x=ak y=bk z=ck

a b c

(3) 设-y =Z

=k 则十二k 其中a b 『0

a b c

a 十

b 十c

3）整式代入法

例3.已知：丄-丄弋，求分式竺仝口的值.

a b

a —a

b — b

化简麻烦。我们用一种新的代入方式，

考虑到上

a

【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式，得呼=3，再将分式

ab

稍化简变为2(a-b) 3ab，可以发现分子分母中只有

(a _b) _ab

(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a

b -a = 3ab

2a 3ab -2b _ 2(a -b) 3ab _ - 6ab 3ab _ 3

a-ab-b (a-b)-ab -3ab-ab 4

【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab的关系，题目很快就解出来了。

4)变形代入法

这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

例4(方程变形).已知a+b+c=O,a+2b+3c=0, 且abc 工0,求也戶的值.

【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做

形变漫无目的，往往得不到想要的

结果

这道题已知条件是两个等式，三个字母，所 以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条 件变形得到方程组 : a+b+c=0{

b=-2c

J

i ==>

a+2b+3c=0

a=c

用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出 来

ab bc ca

— -2c 2

-2c 2

c 2 _ 3 b 2

= 4c 2

- 4

例5 (非负变形).已知：a 2

b 2

-8a 6b 25 = 0，求

【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以 化成平方的形式

2 2 2 2

a b -8a 6b 25 =(a-4) (b 3) =0

其中(a- 4)2

乏0

(b+3)2

乏 0 所以(a-4)2

=0 (b + 3)2

=0

得 a =4,b = -3

再带入原式很容易求出解。

例6 (对应变形).证明：若 a+b+c=0,则

11

—+1

—

■ 2 2 2 2 2 ■ 2 2 ■ 2 2

b c -a c a 「b a b 「c

2a 2

-ab -6b 2

a

2 -4ab 4b 2

的值.

【解析】这题可以用整式代入法，比如用 -b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式 中不同，如果用a 2

=（b ，c ）2

代入得到的分母截然不 同，增大化简的难

度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形 式，反而化简方便，比如：

用a=-b-c 代入b 2

c^a 2

中的a ，得到-2bc

用b=-a-c 代入+a -b 中的b ，得到-2ac 用c=-a-b 代入a 2

+b 2

-c 2

中的c ，得到-2ab

原式=二 1

「=艷^ = 0

-2bc -2ac -2ab -2abc

例7 （倒数变形）.

已知旦=玄,旦"上“，且abc"求证x =

2abc

x+y

x + z

y+z

bc + ac —ab

【解析】已知条件是 旦的形式，不能化简, x 十y

=3」丄的形式，使得x 、y 相互独立，简化 xy x y

已知条件

—-1

=(--)(-丄)-2

c y z x y x z x

如果颠倒分子分母，将

xy x y

改写成

写出变化后的形式

1 1 1

—=——r —

1 1 1 —=——十

1 1 2

十——

a b x

2 丄 1 1

x a b c

=be ac - ab

abc

则x = b^，得证。

例8 （归类变形）.

已知a -；=b -e 1，且a、b、C互不相等，求 b c a

l证:a2b2c2 = 1

【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b、c,能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：

a_b」丄口，可以发现分式形式大致消失了, c b bc

剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来

, b「c , c「a a「b

a「b , b _c ,c「a 二

be ac ab

左边和左边相乘，右边和右边相乘得

所以 a 2b 2c 2

=1

【结论】给已知条件变形是用代入法的前提， 变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上 来化简：

S

消元的角度：方程变形、非负变形

——减少字母数量，方便化简

化简

结构的角度：对应、倒数、归类变形 ---调整关系式结构，方便化简

代入的方法多种多样，在此不可能—列举出 来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适 当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外， 比如习题4,代数式并不是最简形式，可以先化 简代数式再代用条件，事办功倍。

【练习】

（设值代入）

C.

D.

(a -b)(b -c)(c - a)=

(b -c)(c -a)(a -b)

1、已知》

c,则 2

『-3bc b 2

4 a 2 - 2ab -c 2

的值等于（

B.

2、若a2+b2=3ab,则（1+旦厂（i竺）的值等于

a 「

b a「b

3、已知：a+b+c=0，abc=8求证：昇1 v

（非负变

形）4、已知:

求证: a+b+c=0.

i i a I

b e

（整式代

入）2 B. 0 C. 1

D.

数式归类变形）

5 、已

a b e

+-------- +

ab a 1 be b 1 ac c 1

abc=1 , 求证：（对应变形）

0.

1+』丄

la e丿l a b.丿

3 = 0.(代