图像变换理论
图 像 变 换
图像变换的本质即就是图像上的点的变换。 一、上下平移变换： 1、 将函数
的图像经过怎样的变换得到函数的图像？
过（-1，） (-1，) 过（0，） （0，） 过（1,） （1,
） 过（2,） （2，
）
……… ………
过(x,) 图像向上平移 1个单位 (x,
)
2、同理
过（x ，
） 图像向下平移2个单位 (x,
)
3、同理
过（x ，
） 图像向上平移1个单位 (x,
)
自变量相同
函数值增加了1
自变量相同
函数值减少了2
函数值增加了1
推广到一般函数：
过（x ，
） 图像向上(下)平移∣k ∣个单位 (x,
)
结论：
图像向上(下)平移∣k ∣个单位
二、左右平移变换： 1、将函数
的图像经过怎样的变换得到函数
的图像？
过（-1，） (-2，) 令 x+1=-1,则x=-2 过（0，） （-1，） 令 x+1=0,则x=-1 过（1,） （0,） 令 x+1=1,则x=-1 过（2,
） （1，
） 令 x+1=2,则x=1
……… ………
过(t,
) 图像向左平移 1个单位 (t-1,
) 令 x+1=t,则x=t-1
原函数
改为
新函数
(区别新函数的自变量x)
自变量相同
函数值增加了k
函数值相同
自变量减少1
这两个位置相同
原自变量t t=x+1即x=t-1 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量t-1（向左平移）得到，所以把原函数图像向左平移1个单位得到新函数图像。
2、同理：
过(t,) 图像向右平移 2个单位(t+2,)令t=x-2,则x=t+2
原函数改为新函数
(区别新函数的自变量x)
原自变量t t=x-2即x=t+2 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量t+2（向右平移）得到，所以把原函数图像向右平移2个单位得到新函数图像。
3、
过(t,) 图像向左平移个单位(,)令2t=,
原函数改为新函数
(区别新函数的自变量x)
函数值相同
自变量增加2
这两个位置相同函数值相同
自变量增加2
这两个位置相同
原自变量t
2t=即x= 新自变量x (运算的本质是位置)
看关系说话：新自变量x 由原自变量
（向左平移）得到 ，所以
把原函数图像向左平移个单位得到新函数图像。 推广到一般函数 ：
过(t,
) 图像向(左)右平移∣ k ∣个单位 (t-k,
)令t=x+k,
原函数改为 新函数
(区别新函数的自变量x)
原自变量t t=x+k 即x=t-k 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x 由原自变量t-k （向左或右平移）得到 ，所以把原函数图像向左或右平移∣k ∣个单位得到新函数图像。
结论： 图像向(左)右平移∣ k ∣个单位
一般左右平移有三种题型：
变换的题型：??
?
??数，求变换过程、已知原函数，及新函过程，求原函数、已知新函数、及变换过程，求新函数、已知原函数，及变换321 ，知二求一
解决变换问题的基本步骤：
第一步：找出原自变量与新自变量
函数值相同
这两个位置相同
自变量变化了k
第二步：找出原自变量（用t表示），新自变量（用x表示）
第三步：列出原自变量t与新自变量x之间的关系式，解出x，根据题目要求，看着x与t的关系式说话
三、伸缩变换
过(t,) 纵坐标不变，横坐标缩短为原来一半(,)令2x=,则x=
原函数改为新函数
(区别新函数的自变量x)
原自变量t t=即x=新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量得到，所以把原函数图像的横坐标缩短为原来的一半得到新函数图像。
推广到一般函数：
过(t,)纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的倍(,)令t=,则
原函数改为新函数
(区别新函数的自变量x)
函数值相同
自变量缩短一半
这两个位置相同函数值相同这两个位置相
自变量伸缩为原来的倍
原自变量
t t=,则新自变量x (运算的本质是位置)
看关系说话：新自变量x由原自变量得到，所以把原函数图像伸缩为原来的倍得到新函数图像。
结论：纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的倍
例1、已知原函数及新函数，求变换过程。
要得到函数的图象，只要将函数的图象经过怎样的变换得到？
分析：第一步
原函数改为
(区别新函数的自变量x)
原自变量t t=新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：
（1）若 ,则图像先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的。
（2）若 ,则图像先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图像向左平移个单位。
第二步：
这两个位置相同
因为自变量不变，函数值增加1，所以图像向上平移1个单位。 例2：已知原函数及变换过程，求新函数。 将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，求得到的函
数解析式。
第一步：
向右平移个单位
原函数 改为 新函数
原自变量t 新自变量x
解出
代入原函数解析式
第二步，自变量不变，函数值增加1，得到
所以，新函数的解析式为。
练习：将函数
的图像向左平移个单位，再向下平移2个单位，求
得到的函数解析式。
例3：已知变换过程及新函数，求原函数。 将函数
的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到的函
数图像与的图像重合，求函数
的解析式。
分析：第一步： 图像向下平移1个单位
所以
图像向右平移个单位
验证了左加右减
新自变量对应新函数
原自变量对应原函数
改为新函数
原自变量t 新自变量x
解出代入新函数解析式
所以，得到原函数的解析式为。
练习：将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的函数图像与的图像重合，求函数的解析式。
四、轴对称图形：把握两点
1、几何特点：图形沿对称轴轴折叠------重合（图形）
对称轴
2、本质特征：对称轴垂直平分对称点连线
3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。
如何把图形表达成代数，步骤如下：
①图形由点组成
②点放入坐标系，存在有序数对（x，y）
③有序数对（x，y）可以写成方程
4、轴对称图形常遇到的三类问题
原自变量对应原函数新自变量对应新函数
（1） 判断轴对称图形
（2） 已知对称轴找对称点（已知：x 0=a ，则两个对称点：a+x ，a-x ） （3）已知对称点找对称轴
例：已知二次函数f （x 1）=f （x 2），则对称轴：,2
2
10x x x +=
5、放入到直角坐系：用对称点表达对称轴（图形由点组成：在直角坐标系中：点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程。对称轴（x 0=a ）⊥x 轴，对称点写成坐标。）（图形）
x
y
(x 2,f(x 2))
（x 1,f(x 1)）
对称轴x=
x 1+x 22
O
（1）任取A 、B 对称点代表着图形内所有的点，A 、B 两点关于x 0=a 对称。 （2）对于函数，其对称轴一般为x 0=a ，即对称轴x 0=a ⊥x 轴，又AB ∥x 轴，从而AB ⊥对称轴x 0=a 这条直线。因此，y 1=y 2，等价于AB ⊥对称轴x 0=a 。 （3）A 、B 两点被直线x 0=a 垂直平分。因此在数轴上，a 为中点。 即：a-x 1=x 2-a ，得到：2a= x 1+x 2，从而
a x x =+2
2
1（定值） （4）
??
?
??=+=?a x x x f x f 2)()(2121
注意：从代数到图形，从图形到代数，即代数?
图形，即为数形结合
本质：同一事物的不同表现形式。 （5）讲解例题把握：运算的本质是位置
这个位置是x 1
这个位置是x 2
例如：f （7+x ） = f （3-x ）
y 1= f （7+x ），y 2= f （3-x ） x 1=7+x ，x 2= 3-x
y 1= y 2且x 1+ x 2=7+x+ 3-x=10（定值）
即满足???
??=+=52
,
2121x x y y
所以，函数的对称轴为：x 0=
2
37x
x -++=5 特例： 偶函数：对称轴为x 0=0（有一般到特殊） y 1=y 2，即f （x 1）=f （x 2）；,02
2
1=+x x x 0=0，x 1=-x 2；
偶函数： ??
?==+()(0
21
21x f x f x x
结论：一般地轴对称：（4）
??
?
??=+=?a x x x f x f 2)
()(2121
特例：偶函数即为自变量为互为相反数，函数值不变（图形） 即就是偶函数图像关于y 轴对称。
x
y
(x 2,f(x 2))
（x 1,f(x 1)）
对称轴x=
x 1+x 22=0
O
例题：关于y 轴对称 1、
这个位置是y 1 这个位置是y 2
这个位置是y 1 这个位置是y 2
过(t,) 图像关于y轴对称 (-t,) 如图：
x
y
O
2、推广到一般函数
过(t,) 图像关于y轴对称 (-t,)
x
y
O
结论：函数与的图像关于y轴对称。
自变量互为相反数
自变量互为相反数
函数值相同
例题：关于x轴对称
1、
过(t,) 图像关于x轴对称 (t,) 如图：
x
y
O
2、推广到一般函数
过(x,) 图像关于x轴对称 (-x,) 如图：
自变量相同
函数值互为相反数
自变量相同
函数值互为相反数
x
y
x,-f(x)
x,f(x)
O
结论：函数与的图像关于x轴对称。
3、
过(t,) 图像不变
图像关于y轴对称
如图：
x
y
O
x
y
y = 2x
O
推广到一般函数：
过(t,) 图像不变
图像关于y轴对折
x
y
O
结论：图像不变
图像沿y轴对折4、
过(t,) 图像不变
图像沿x轴对折
如图：
x
y
O
x
y
O
推广到一般函数：
过(t,) 图像不变
图像关于x轴对折
x
y
O
结论：图像不变
图像关于x轴对折
五、中心对称图形
1、几何特征：沿对称中心旋转180°，图象重合（图形）
2))
A （x 1,f(x 1)）
2、特点：对称中心是对称点连线的中点
3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。
如何把图形表达成代数，步骤如下： （1）图形有点组成
（2）点放入坐标系，存在有序数对（x ，y ） （3）有序数对（x ，y ）可以写成方程
4、放入到直角坐标系；用对称点表达对称中心（图形有点组成：在直角坐标系中：点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于点M （a ，b ）中心对称（图形）
A
（1）任取A 、B 对称点代表着图形内所有的点，A 、B 两点关于点M （a ，b ）中心对称。
（2）因为A 、B 两点关于点M （a ，b ）中心对称，所以的A 、B 两点横坐标、纵坐标被M （a ，b ）平分。因此在数轴上，a ，b 分别为中点x 1，x 2，即y 1，y 2的中
点，即：??
?
?
?=+=+b y y a x x 2
22
12
1
5、例如：f （7+x ） = - f （3-x ）+6
f （7+x ）=-f （3-x ）+6 y 1= f （7+x ），y 2= f （3-x ） x 1=7+x ，x 2= 3-x
y 1+ y 2= f （7+x ）+ f （3-x ）=6（定值）且x 1+ x 2=7+x+ 3-x=10（定值） 所以：对称中心（x 0，y 0） x 0=2
37x
x -++=5 y 0=
2
6
2)3()7(=-++x f x f =3 即对称中心为（5,3）
特例： 奇函数：对称中心为（0,0）（由一般到特殊）（图形）
x
y
(0,0)
B(x 2,f(x 2))
A （x 1,f(x 1)）
O
?????=+=+0
2
02212
1y
y x x ???=+=+?00
2121y y x x 结论：奇函数即自变量为互为相反数，函数值也为互为相反数。
即就是奇函数图像关于原点对称。 例题：关于原点对称 1、
这个位置是y 1
这个位置是y 2
函数值互为相反数
过(x,) 图像关于原点对称 (-x,
)
如图：
x
y
-x,-f(-x)
x,f(x)
O
2、
过(x,) 图像关于原点对称 (-x,
)
如图：
自变量互为相反数
自变量互为相反数
函数值互为相反数
x
y
-x,-f(-x)
x,f(x)
O
结论：
函数 与
的图像关于原点对称。
例题分析：
例1、（2012 高考）已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如
图所示,则(2)y f x =--的图像为
答案：B
【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y f x f f =--=--=-=,故可
排除D 项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B. 另(2)y f x =--))2((---=x f ，所以可以由()y f x =的图象先做关于原点的对称图形，然后再向右平移两个单位而得到。 分析：图形变换问题
本题需要进行两次变换：1、自变量变换，函数值不变；2自变量不变，函数值变换
原函数f（t）
?
?→
?-
=x
t2
g（x）=f（2-x）（自变量变换，函数值
不变）
反解x=2-t（反解新自变量x，把新自变量x代入新函数，得到原函数）
怎么运算就怎么变换
t→2-t自变量相反，图像关于y轴对称，向右平移2个单位（y不变）g（x）
→-g（x）=-f（2-x）自变量不变。函数值相反，图像关于x 轴对称（自变量不变，函数值变换）
总结：变换问题涉及的题目形式具有多样化的特点，只有多样化的形式产生的多样化的结论统一起来，才能学生“记得住、想得起”，就需要我们反复强化原理和思维方式，只有把“简单题变成难题”，用于训练学生对原理和思维方式的理解和掌握，在简单题中体现原理和思维方法，简单看复杂（更能体现老师的水平）、复杂才能变简单。学生才能熟练的运用这样的原理和思维方法把“难题变成简单题”来做。最后达到“所有的题都是一道题”的理想效果，使问题再没有难易之分。
例2：[2013·湖北卷] 将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()
A.π
12 B.
π
6 C.
π
3 D.
5π
6
[答案] B
分析：原函数与新函数的变换问题：已知原函数和新函数，变换过程，求参数。
方法：正运算（把原自变量代入原函数得到新函数，根据题目求参数）。
图像的二维傅里叶变换
图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义 图像傅立叶变换 图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示： 计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。 下面展示了一副图像的二维FFT变换：
频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。 将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。
上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。 行N/2和列N/2将频域分成四块。对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。 为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。 h和k的范围在-N/2到N/2-1之间。 通常I(n,m)是实数，F(0,0)总是实数，并且F(h,k)具有对偶性。 如果写成指数形式，即: -------------------------------- 图像傅立叶变换的物理意义
函数图像的四种变换形式
函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； ￥ a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 , （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 \ ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（0 或缩短（a>1）到原来的1/a 倍，纵坐标不变。 ^ 4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像 第二章 函数 —— 函数图像的变换、周期性、抽象函数等 2．7 函数的对称性和周期性 ? 知识梳理 1．两个函数的图像对称性： （可利用解析几何中的对称曲线的轨迹方程之间的关系加以理解） （1）函数)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称； （2）函数)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称； （3）函数)(x f y =满足()()x b f x a f -=+，则图像关于直线2 b a x +=对称； 特别地，函数)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称． （4）曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f ； 特别地，函数)(x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则图像关于点()b a ,对称． （5）曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f ； （6）曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f ； 2．周期函数的定义：设函数)(x f y =（D x ∈）存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f y =的一个周期。 3．周期函数的性质： （1）若)(x f y =（R x ∈）时)()(a x f a x f -=+恒成立，则周期a T 2=； （2）若)(x f y =是偶函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 2=； （3）若)(x f y =是奇函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 4=； （4）若)(x f y =关于点)0,()0,(b a 、对称，则是周期b a T -=2； （5）若)(x f y =的图像关于直线a x =、)(b a b x ≠=对称，则周期b a T -=2； （6）若))((R x x f y ∈=时)()(x f a x f -=+或) (1)(x f a x f =+，则a T 2=。 ? 双基训练： 1．定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时， 5 12)(+ =x x f ，则=)20(log 2f 2．已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图像关于 对称 3．函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图像关于 对称 4．设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-， 则)(x f y =的图像关于 对称 5．设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图 像关于 对称，)(x f y =关于 对称 傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏 变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数 函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种： 一 、平移变换 函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为： （1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 （3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。 故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 分析 把已知函数图象向右平移1个单位， 即把其中自变量换成，得. 地球科学与环境工程学院 图像变换 课程名：《遥感数字图像处理》 班级： 学号： 姓名： 完成日期：2016.10.28 目录 一.目的和要求 (3) 1.目的 (3) 2.要求 (3) 3.软件和数据 二.实验内容 (3) 三.图像处理 (3) 1.傅里叶变换 (3) 2.主成分变换 (6) 3.缨帽变换 (9) 4.代数运算 (9) 5.彩色变换 (13) 四.实验心得 (15) 一.目的和要求 1.目的 掌握图像变换的基本操作方法，对比前后图像的差异，理解不同变换方法之间的区别。 2.要求 能够根据图像的特征设定傅里叶变换的滤波器，消除图像的声纹。 能够解释主成分变换后的图像，利用主成分变换消除图像中的噪声。 能够利用KT变换结果进行图像合成，解释地物信息。 熟练利用代数运算产生不同的波段组合。 利用色彩变换进行图像的合成和融合。 能够解释变换后的图像，并能根据工作目的选择合适的图像变换方法。 3.软件和数据 ENVI图像处理软件。 SPOT数据，TM数据和ETM数据。 二.实验内容 （1） SPOT图像的傅里叶变换。 （2） TM图像的主成分变换。 （3） TM图像的KT变换。 （4） TM图像的代数变换。 （5） ETM图像的彩色变换。 三.图像处理 1.傅里叶变换 傅里叶变换可以用于提取图像的特征、频率域滤波、周期性噪声的去除、图像恢复、纹理分析。本次实验中使用傅里叶变换去除SPOT图像中水体部分的条带噪声。 （1）图像的傅里叶正变换 傅里叶正变换是指定图像的一个波段，按照计算公式进行FFT，产生频率域图像， 下图是主菜单中的傅里叶变换窗口。 指定图像CJ_spot的一个波段Band1，进行傅里叶正变换，下图是经过傅里叶正变换得到的结果。 （2）设定滤波器 波段不同，频率域图像不同，需要定义不同的滤波器，常用的滤波器有低通，高通、带通、带阻、用户自定义等。实际工作中常用的是用户自定义滤波器，下图是滤波器自定义窗口。 用户自定义滤波器的操作包括选择滤波器类型和定义滤波器。 A．选择滤波器类型 在滤波器类型中选择用户自定义阻断滤波器，如下图所示。 图像的傅里叶变换实验 报告 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 计算机科学与技术系 实验报告 专业名称计算机科学与技术 课程名称数字图像处理 项目名称 Matlab语言、图像的傅里叶变换 班级 14计科2班 学号 姓名卢爱胜 同组人员张佳佳、王世兜、张跃文 实验日期 一、实验目的与要求： （简述本次实验要求达到的目的，涉及到的相关知识点，实验的具体要求。） 实验目的： 1了解图像变换的意义和手段； 2熟悉傅立叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT变换方法及应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点； 5通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。 6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。 实验要求： 应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 二、实验内容 （根据本次实验项目的具体任务和要求，完成相关内容，可包括：实验目的、算法原理、实验仪器、设备选型及连线图、算法描述或流程图、源代码、实验运行步骤、关键技术分析、测试数据与实验结果、其他） 1.傅立叶（Fourier）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier变换定义为： 逆变换： 二维离散傅立叶变换为： 逆变换： 图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。 2.利用MATLAB软件实现数字图像傅立叶变换的程序： I=imread(‘原图像名.gif’);%读入原图像文件 imshow(I); %显示原图像 fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换 sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心 实验四 图像的傅立叶变换与频域滤波 一、 实验目的 1了解图像变换的意义和手段； 2熟悉傅里叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT 方法的应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点； 5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。 6、掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波 7、掌握频域滤波的概念及方法 8、熟练掌握频域空间的各类滤波器 9、利用MATLAB 程序进行频域滤波 二、 实验原理 1应用傅立叶变换进行图像处理 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。 2傅立叶（Fourier ）变换的定义 对于二维信号，二维Fourier 变换定义为 : ??∞ ∞ -+-==dxdy e y x f v u F y x f F vy ux j )(2),(),()},({π 二维离散傅立叶变换为： ∑ ∑-=+--== 1 ) (21 1),(),(N y N y u M x u j M x MN e y x f v u F π 图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。 3利用MATLAB 软件实现数字图像傅立叶变换的程序： I=imread(‘原图像名.gif’); %读入原图像文件 imshow(I); %显示原图像 fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换 sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心 RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部 II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部 A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值 A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化 figure; %设定窗口 imshow(A); %显示原图像的频谱 域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和高通滤波器。频域低通过滤的基本思想： G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式，H(u,v)是选取的一个低通过滤器 函数图像的几种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉，函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图像则是函数性质的具体的直观的反应.在高中阶段函数图像的变化方式主要有以下三种变化方式： 1.对称变换 函数图像的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应.函数图像的对称性反映在两个方面，一是两个函数图像间的对称情况，二是一个函数图像本身的对称情况.两个函数图像间的对称情况有两种形式：一是两图像关于某直线呈轴对称，二是两图像关于某点呈中心对称. 一般地，函数)()(y x b f y a x f -=+=与的图像关于直线2 a b x -= 对称. 两个函数图像间的常见的轴对称情况有以下几种情况：对于函数)(f x ， ())(y )(y 1x f x f y -=????→←=轴对称 关于 ())()(2x f y x f y x -=????→←=轴对称关于 )(y )(y 3x f x f --=?????→←=关于坐标原点对称）（ )()(y 4x f y x f =???→?=右留左对称）（ （把y=f(x)的图像y 轴左侧的部分去掉，只留下y 轴右侧部分，最后根据y 轴右侧和y 轴左侧关于y 轴对称做出y 轴左侧的图像） )()(y 5x f y x f =???→?=上留下翻上）（ （把y=f(x)的图像只留下x 轴上方部分，把x 轴下方的部分根据x 轴对称翻折上去，做出x 轴上方的图像） 例1、函数1)(+=x x f 的图像为（） 例2已知定义在区间[]2,0上的函数)(x f y =的图像如图所示，则)2(x f y --=的图像为 例3.函数x x x 32)(f 2 -=的单调递减区间是 例4函数x x x f -=2 )(的单调递增区间是 例5.函数x y lg =是（ ） A.是偶函数，在区间()0-， ∞上单调递增 B.是偶函数，在区间()0-， ∞上单调递减 x y 2 1 1 x y 2 1 1 A x y 2 1 1 B x y 2 1 1 C x y 2 1 1 D y x -1 1 A x y 1 1 B x y 1 1 C 0 y x -1 1 D 第二章图形与变换教案 (共6课时) 2.1轴对称图形（教参） 2.2轴对称变换 2.3平移变换 2.4旋转变换 2.5 相似变换 2.6图形变换的简单应用 2.1 轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询www．Oh1l00．com．【教学过程】 一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形．说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形． 说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 2．交流归纳，总结如下： (1)可用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形； (2)轴对称图形中互相对应的点称为对称点； (3)对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段． 三、运用性质，内化方法 1．分发教学活动材料2，学生独立思考． 2．同伴交流． 画对称轴 例1 如下各图的梯形ABCD 是轴对称图形，你有哪些方法画出它的对称轴? 教学活动材料1 1． 下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听． 2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴． 3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一 对重合的点作上记号，如点A ，A ’，问： (1)点A ，A ’与对称轴有什么关系? (2)再任选另外一对重合的点，试一试，上述关系还成立吗? 图像几何变换 一、实验目的 (1)学习几种常见的图像几何变换，并通过实验体会几何变换的效果； (2)掌握图像平移、剪切、缩放、旋转、镜像、错切等几何变换的算法原理及编 程实现 (3)掌握matlab编程环境中基本的图像处理函数 (4)掌握图像的复合变换 二、涉及知识点 (1)图像几何变换不改变图像像素的值，只改变像素所在的几何位置 (2)图像裁剪imcrop函数，语法格式为： B=imcrop(A);交互式用鼠标选取区域进行剪切 B=imcrop(A,[left top right bottom]);针对指定的区域[left top right bottom]进行剪切 (3)图像缩放imresize函数，语法格式为： B = imresize(A,m,method) 这里参数method用于指定插值的方法，可选用的值为'nearest'（最邻近法），'bilinear'（双线性插值），'bicubic'（双三次插值），默认为'nearest'。 B = imresize(A,m,method)返回原图A的m倍放大的图像（m小于1时效果是 缩小）。 (4)图像旋转imrotate函数，语法格式为： B = imrot ate(A,angle,’crop’)，参数crop用于指定裁剪旋转后超出图像的部分。 三、实验内容 (1)将图像hehua.bmp裁剪成200X200大小，并保存 (2)制作动画，将一幅图像逐渐向左上角平移移出图像区域，空白的地方用白色 填充 (3)利用剪切图像函数制作动画 (4)将图像分别放大1.5倍和缩小0.8倍，插值方法使用最近邻域法和双线性插值 法，对比显示图像。 (5)将图像水平镜像，再顺时针旋转45度，显示旋转后的图像。 (6)将图像分别进行水平方向30度错切，垂直方向45度错切，分别显示结果具体实现： 1.将图像hehua.bmp裁剪成200X200大小，并保存 I=imread('hehua.bmp'); n=size(I); figure; subplot(1,2,1); imshow(I); title('原图'); I=double(I); I1=zeros(200,200,n(3)); I1=I(1:200,1:200,1:n(3)); subplot(1,2,2); 数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 （1）了解图像变换的意义和手段 （2）熟悉傅里叶变换的基本性质 （3）热练掌握FFT的方法反应用 （4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 （1）熟悉并掌握傅立叶变换 （2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用 （3）通过实验了解二维频谱的分布特点 （4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 （1）应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特 高中函数图象变换 一、基本函数作图（草图画法）： 1、一次函数： 2、二次函数： 3、反比例函数： 4、指数函数： 5、对数函数： 6、幂函数： 7、正弦函数： 二、图像变换： ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？ 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 2、图像傅立叶变换的物理意义 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1 a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 （1）)(log 2 1x y -= （2）x y )2 1(-= （3）x y 2log = （4）12-=x y （5）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移 3个单位而得到。 （6）当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像（ ） 实 验 报 告 实验名称：综合设计与应用 学生姓名：王涛 学号：2010051060018 指导老师：彭真明 日期：2013 年 5月 13 日 一、 实验室名称：老计算机楼309 二、 实验名称： 综合设计与应用 三、 实验原理： Sobel 算子主要用作边缘检测，在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量,在x 和y 方向上的sobel 卷积因子分别为： 该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A 代表原始图 像，Gx 及Gy 分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，其公式如下： A G and A G y x *121000121*101202101?? ?? ? ?????---+++=?? ?? ? ?????+-+-+-= 图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合，来计算该点 灰度的大小： 2 y 2x G G G += 如果梯度G 大于某个阈值，则认为该点（x ，y ）为边缘点。然后对图像 进行二值化处理，可以得到图像的边缘轮廓图像。 阈值分割是利用同一区域具有某种共同的灰度特征进行分割。用灰度阈值法分割图像就是选取一个合适的阈值，然后将图像中的每个像素和它进行比较，将会度超过阈值的点和低于阈值的点分别制定一个灰度值，就可以得到二值图像，此时目标和背景占据不同的灰度级范围的图像。阈值的选取有几种原则：直接阈值法、间接阈值法和自适应阈值法。常见的阈值选取的方法有：双峰法、最大方差阈值法、利用最小误判概率准则. 四、 实验目的： 1、熟悉各种图像预处理方法，如直方图处理、图像去噪声、图像增强与 复原、图像变换等，了解这些方法在图像分析与识别、目标检测及跟踪等各种应用中所起的作用。 傅里叶变换图像压缩 DSP实验进度汇报 组员：汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配：汪张扬由于考G，上周没有任务，沈旭负责自制二值图像的处理，陈雪松和谢聪负责其他图片的处理，任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括： 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序： a=imread('d:\1.jpg');b=figure;imshow(a);title('原始图像'); F=fft2(a); F_mm=abs(F);figure;imshow(F);title('原始幅度谱'); Fshift=fftshift(F); F_m=abs(Fshift);figure;imshow(F_m);title('幅度谱'); F_p=angle(Fshift);figure;imshow(F_p);title('相位谱'); T=@fft2; B1=blkproc(a,[8 8],T);%将图像分块为8×8矩阵进行处理 figure; imshow(a); title('原始图像'); mask=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1];%与该矩阵相乘去掉中间行，即高频部分 B2=blkproc(B1,[8 8],'P1*x',mask); fun=@ifft2; F3=blkproc(B2,[8 8],fun); F=mat2gray(F3); figure; imshow(F); title('压缩87.5%的图像'); 刚开始的原始图像： 图像变换基本模 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 图像变换的基本模型 一、常用图象的变换模型 变换模型是指根据待匹配图像与背景图像之间几何畸变的情况，所选择的能最佳拟合两幅图像之间变化的几何变换模型。可采用的变换模型有如下几种:刚性变换、仿射变换、透视变换和非线形变换等，如下图2.4。 (1) 刚体变换 如果一幅图像中的两点间的距离经变换到另一幅图像中后仍然保持不变，则这种变换称为刚体变换(Rigid Transform)。刚体变换仅局限于平移、旋转和反转(镜像)。在二维空间中，点(x,y)力经过刚体变换到点(x',y')的变换公式为: ' ' cos sin sin cos 1001 x y x t x y t y ? ? ??± ?? ?? ???? =±?? ???? ?? ???? ?? ?? (2.25) 上式中?为旋转角度，,T x y t t ?? ??为平移变量。 (2) 仿射变换 如果一幅图像中的直线经过后映射到另一幅图像上仍为直线，并且保持平行关系，则这种变换称为仿射变换(Affine Transform。仿射变换适应于平移、旋转、缩放和反转(镜像)情况。可以用以下公式表示: ' 12 ' 34 10011 x y x a a t x y a a t y ?????? ?????? = ?????? ?????? ???? ?? (2.26) 其中(,) x y t t表示平移量，而参数 i a则反映了图像旋转、缩放等变化。将参数,,(1~4) x y i t t a i=计算出，即可得到两幅图像的坐标变换关系。 (3) 投影变换 如果一幅图像中的直线经过后映射到另一幅图像上仍为直线，但平行关系基本不保持，则这种变换称为投影变换(Projective Transform )。二维平面投影变换是关于齐次三维矢量的线性变换，在齐次坐标系下，二维平面上的投影变换具体可用下面的非奇异3x3矩阵形式来描述，即： 图2.4 图象的坐第二章-函数图像变换和周期性等
傅立叶变换的原理、意义和应用
函数图像的三种变换
图像变换
图像的傅里叶变换实验报告
图像的傅立叶变换与频域滤波
函数图像的几种变换
初中数学专题第二章图形与变换教案
图像几何变换
数字图像的傅里叶变换
函数图象变换及练习题
傅里叶变化的物理意义
(完整版)高中数学中的函数图象变换及练习题
图像变换二
傅里叶变换图像压缩
图像变换基本模