磁轴承系统的分析与控制

Engineering Master Degree Dissertation of

Chongqing University

The Control and Analize of Magnetic

Suspension System

Master Degree Candidate: Du Tian Xu

Supervisor: Prof. Chai Yi

Pluralistic Supervisor: Senior Engineer Xiao Xin Zhong Specialty: Control Engineering

College of Automation

Chongqing University

October 2007

摘要

磁悬浮轴承是一种没有任何机械接触的新型高性能轴承，它从根本上改变了传统的支承形式。磁轴承在工业控制、超高速、精密加工、航空航天、机器人、能源、交通等高科技领域都有广泛的应用背景。它具有回转精度高、功耗低、刚度高、寿命长等一系列独特的优点，因此近年来对其研究颇为重视。磁悬浮轴承技术涉及多个领域，多项技术的交织，研究和开发利用的难度较大，对其研究力度正在进一步加强。经过30 多年的发展，磁悬浮轴承在国外的应用场合进一步扩大，从应用角度看，在高速旋转和相关高精度的应用场合磁悬浮轴承具有极大的优势并已逐渐成为应用研究的主流。磁轴承实验系统包括单入单出系统辨识、多入多出系统辨识、经典控制器设计、线性反馈系统、非线性控制综合、多变量控制综合以及自适应控制设计。

本文介绍了电磁轴承的现状及发展趋势，阐述了电磁轴承工作的基本原理和当前的一些控制方法。在认为水平方向与竖直方向解耦的情况下，利用状态空间法对磁轴承实验系统的数学模型进行分析。考虑到机理建模时忽略了转子的柔性，传感器、电流放大器以及悬浮力的非线性，所得到的模型是不完全的，利用了系统辨识的办法来研究系统模型。由于转子的柔性、作用于转子上的电磁力关于位移和控制电流的非线性引起了转子谐振，本文对最大谐振进行了简单的滤波处理。并设计了一个二阶滤波器。磁轴承系统是一个不稳定的机电系统，设计控制器使其稳定是必要的。磁轴承具有四路补偿器，利用实验系统的三路补偿器对系统进行单入单出设计。在进行控制器设计的过程中，首先是在利用实验系统部分控制器的基础上进行的。通过对系统模型的分析，采用了常用的含微分环节的超前校正。在单入单出的基础上，考虑水平方向与竖直方向解耦，可采用分散控制的办法，考虑到频域法的直观性，以水平方向为例尝试了多入多出的设计。

本文在控制器的设计上选用了四种方法进行，分别是SISO 磁轴承系统的古典控制设计，SISO 磁轴承系统的现代控制设计，磁轴承的MIMO 设计，含补偿器的输出反馈设计。并分析了各自的优缺点，对系统整体有个较好的比较。

关键词：磁悬浮轴承，控制，稳定性，系统辨识

ABSTRACT

Magnetic Bearing is a kind of good performance bearing which didn’t d irectly touch with other machine. It is very different from the traditional form of supporting. In the filed of high.tech such as industrial control, super high.velocity, precision process，avigation and spaceflight, robot, energy sources, transportation and so on, Magnetic Bearing have extensive background of application. It has many advantages, so we spend much time in researching in it. By 30 years development, Magnetic Bearing is more and more used in foreigner country. Magnetic Bearing research experiment may include single.input single.output identification, multi.input multi.output identification, classical control design, feedback linearization, nonlinear control synthesis, multivariable control synthesis, adaptive control design.

In this paper, we introduce the status quo and trend of Electromagnetic Bearing, expatiate the basic operational theory. In our experiment, we consider horizontal direction and perpendicular direction decouple, so we utilize state space description analysis system model. Think about the rotor bend and the electromagnetic force which is the nonlinear function of displacement and control current, the model is not good; we use single.input single.output identification to canalize the model. Because the rotor bend and the electromagnetic force which is the nonlinear function of displacement and control current, system tend to resonance. In this paper, one filter is proposed for the first resonance. It is necessary to design controller for Electromagnetic Bearing which is an unstable system。Electromagnetic Bearing have four controllers, we use the some controllers of itself for the design of SISO, following that, we design the MIMO system in frequency domain which base on the polynomial matrix theory.

This paper has four methods in the design of control item. These are classic control design of SISO Magnetic Bearing system; modern control design of SISO Magnetic Bearing system; MIMO design of Magnetic Bearing system; the out.put feedback design of compensator. Then analyze the advantages and disvantages of each method, I have a good understanding and comparison.

Keywords: Magnetic Bearing, Control, Stability, Analysis system model

目录

摘要....................................................................................................... I ABSTRACT ................................................................................................II 1绪论.. (1)

1.1 课题背景 (1)

1.1.1 课题目的及意义 (1)

1.1.2 磁轴承的发展趋势 (1)

1.2 磁轴承系统的控制 (2)

1.2.1 磁轴承系统的各种控制方法 (2)

1.2.2 转子不平衡性的消除方法 (4)

1.3 本文内容介绍 (5)

2磁轴承实验系统简介 (6)

2.1 磁轴承的基本原理 (6)

2.1.1 磁悬浮轴承工作原理 (6)

2.1.2 磁轴承悬浮力的计算 (8)

2.2 实验系统介绍 (8)

2.2.1 磁轴承系统 (8)

2.2.2 构件参数 (9)

2.3 本章小结 (11)

3磁轴承系统的理论分析与模型建立 (12)

3.1 刚性转子数学模型 (12)

3.1.1 刚性转子力学特性分析 (12)

3.1.2 SISO 磁轴承系统的状态空间描述 (14)

3.2 磁轴承系统模型的进一步研究 (16)

3.2.1 转子柔性 (16)

3.2.2 涡流和磁滞 (17)

3.3 本章小结 (17)

4实验系统的辨识 (19)

4.1 辨识机理 (19)

4.1.1 开环辨识 (19)

4.1.2 闭环辨识 (19)

4.2 辨识磁轴承实验系统 (21)

4.3 模型匹配 (22)

4.4 本章小结 (24)

5滤波器设计 (25)

5.1 模拟滤波器设计原理 (25)

5.2 系统谐振分析与设计 (26)

5.2.1 谐振分析 (26)

5.2.2 滤波器特性分析 (28)

5.3 滤波器的物理实现 (29)

5.3.1 滤波电路结构 (29)

5.3.2 参数计算 (30)

5.4 本章小结 (32)

6控制器设计 (33)

6.1 模型的简化 (33)

6.2 磁轴承的SISO 设计 (34)

6.2.1 SISO 磁轴承系统的古典控制设计 (34)

6.2.2 SISO 磁轴承系统的现代控制设计 (37)

6.3 磁轴承的MIMO 设计 (39)

6.3.1 双入双出系统分析 (39)

6.3.2 含补偿器的输出反馈设计 (41)

6.4 本章小结 (44)

7结致

论 (45)

谢 (46)

参考文献 (47)

附录 (49)

1 绪论

1.1 课题背景

1.1.1 课题目的及意义

磁悬浮轴承也称磁轴承，是利用磁场力将轴承无机械摩擦、无润滑地悬浮在空间的一种新型高性能轴承。在航空航天、涡轮机械、真空技术以及机床等领域具有广泛的应用前景。它具有回转精度高、功耗低、刚度高、寿命长等一系列独特的优点，因此近年来对其研究颇为重视。磁悬浮轴承技术涉及多个领域，多项技术的交织，研究和开发利用的难度较大，对其研究力度正在进一步加强。经过30 多年的发展，磁悬浮轴承在国外的应用场合进一步扩大，从应用角度看，在高速旋转和相关高精度的应用场合磁悬浮轴承具有极大的优势并已逐渐成为应用研究的主流。自1988 年起，国际上每两年举行一届磁轴承国际会议，交流和研讨该领域的最新研究成果。国内对磁轴承的研究起步较晚，但已有多家单位开展了相应的研究。

本文是对磁轴承实验系统进行的一些初步的研究，它一方面可以提供控制系统设计的一个实验平台，另一方面也可对磁悬浮技术有一个初步的了解，为进一步研究打下基础。

1.1.2 磁轴承的发展趋势

利用磁力使物体处于无接触悬浮状态的设想由来已久，但实现起来并不容易。早在1842 年，Earnshow 就证明：只靠永磁铁不可能使物体在六个自由度实现稳定悬浮。然而，真正意义上的磁悬浮研究是从本世纪初利用电磁相吸原理的悬浮车辆研究开始的。1937 年，Kenper 申请了第一个磁悬浮技术专利，他认为要使铁磁体实现稳定的磁悬浮，必须根据物体的悬浮状态不断的调节磁场力的大小，即采用可控电磁铁才能实现，这一思想成为以后开展磁悬浮列车和磁悬浮轴承研究的主导思想。

伴随着现代控制理论和电子技术的飞跃发展，本世纪60 年代中期对磁悬浮技术的研究跃上了一个新台阶。英国、日本、德国都相继开展了对磁悬浮列车的研究。磁悬浮轴承的研究是磁悬浮技术发展并向应用方向转化的一个重要实例。据有关资料记载，1969 年法国军部科研实验室（LRBA）开始对磁悬浮轴承的研究，1972 年，将第一个磁悬浮轴承用于卫星导向轮的支撑上，从而揭开了磁悬浮轴承发展的序幕。此后，磁悬浮轴承很快被应用到国防、航天等各个领域。美国在1983 年11 月搭载于航天飞机上的欧洲空间试验仓里采用了磁悬浮轴承真空泵。日本将磁悬浮轴承列为80 年代新的加工技术之一，1984 年，S2M 公司与日

本精工电子工业公司联合成立了日本电磁轴承公司，在日本生产、销售涡轮分子泵和机床电磁主轴等[1]。

从应用角度看，磁轴承的潜力尚未得到充分发掘。就发展状况而言，它本身也远未达到替代其他轴承的水平。原因除造价昂贵及设计理论尚不成熟外，还在于磁材料的性能及磁轴承系统的控制方面尚有许多课题需要研究和解决[2]。

磁悬浮轴承可以按悬浮方式和结构等多种方法来分类，类型多样。按悬浮方式可分为主动式和被动式；按结构可分为立式、卧式、内转子型和外转子型；按作用力可分为吸引式和排斥式；按接触方式可分为完全非接触型和部分接触型；按电磁铁类型可分为超导式、交流控制式和直流控制式。

1.2 磁轴承系统的控制

1.2.1 磁轴承系统的各种控制方法

①PID 控制方法

传统的反馈控制系统通常采用PID 控制器，比例反馈能够调节磁轴承的刚度，微分反馈能够调节阻尼特性，积分环节则可用来提高系统的静刚度。PID 控制器结构简单，易于调节，可靠性好，应用广泛[3，4]。

②最优控制方法

最优控制通常采用被控系统的输出与控制输人的加权二次型作为性能指标，以使被控系统的动态响应和控制经济性均得到保证。Akishita 等人在研究柔性转子。磁轴承系统的最优控制时，提出了与转动频率相关的评估函数以降低模态截断对系统稳定性的不良影响。由于可观测的信号数量通常少于状态变量，最优控制律的实现要借助状态观测器，当系统模型阶数较高时，观测器参数对模型扰动很敏感，会导致系统失稳。为此Larsonneur 和Herzog 研究了一种结构预定义最优控制方法，所使用的优化方法与普通LQG 方法很相似，所不同的是引人“结构预定义”，即事先对控制器结构施加了约束，采用分散控制结构。这样不仅降低

了控制器阶数，又避免了观测不精确问题的出现。Lee 和Kim 没有借助观测器，而是采用基于输出反馈的次最优控制方法来抑制柔性转子系统因模态截断产生的溢出。

LQG 最优调节器的另一个不足之处是对受控对象模型的精确性要求较高，因而当系统内部特性或外部扰动变化很大时，系统的性能指标常常会下降，甚至会导致系统失稳。

③智能控制方法

智能控制方法是指那些基于在线学习和辨识的控制方法，如模糊控制、神经网络控制等，此类方法的特点是被控系统可当作“黑箱”来处理，不需要任何有关

的先验知识，控制器可根据输出响应来学习系统特性并根据需要对控制参数实施

在线调节。

Sinha 等人研究了磁轴承的神经网络控制方法，Hung 研究了磁轴承的模糊

控制方法，Chen 和Lewis 用模糊控制律来调节PID 控制中的微分反馈环节，目的是降低控制器在高频段（500－2000Hz）的增益，以削弱高频噪声对系统的影响。上述方法的优点是能够克服磁轴承非线性特性给系统造成的影响，但这些方

法在工程中未得到普遍应用。原因在于这些方法比较复杂，而且大多数情况下，

磁轴承均能工作在平衡点附近的线性区内，因而与一般的线性控制方法相比，上

述方法并未体现出明显优势。

④鲁棒控制方法

鲁棒控制的基本原理是选择反馈控制律能使闭环系统稳定并且对模型摄动及

外界扰动具有一定的抵抗力。目前颇受关注的鲁棒控制方法主要有H∞控制和变

结构控制等[5，6，7]。

H∞控制是以外界扰动与系统输出之间传递函数的H∞范数作为度量工具，其控制目标力求使受扰动系统最“坏”情况的输出误差达到最小。Nonami 等人以柔性转子系统为对象，研究了鲁棒控制问题和混合灵敏度问题，Herzog 和Bleuler 以磁悬浮机床主轴为研究对象，讨论了H∞控制器能够达到的性能指标，指出电磁

作动器与外界扰动之间的非并置问题是影响控制效果的重要因素。Nonami 等人

还研究了磁悬浮主轴的H∞控制，结果表明采用该控制律的主轴系统在上浮过程

和受到扰动情况下的性能均优于PID 控制。

变结构控制是一种非线性控制方法，其基本原理为：寻求一个或几个切换函数，当系统状态达到切换函数时，系统的控制由一种结构转换成另一种结构。Oguchi 等人以磁轴承，小球系统为控制对象，研究了单自由度变结构控制。Smith 和Weldon 研究了刚性转子，磁轴承系统的变结构控制，Nonami 研究了柔性转子一磁轴承系统的离散变结构控制。

以上研究结果表明变结构控制器和H∞控制器对系统模型摄动（包括转子和

电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好的鲁棒性。控制器对系统模型摄

动（包括转子和电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好的鲁棒性。控制

器对系统模型摄动（包括转子和电磁作动器中的参数变化）及外界扰动具有良好

的鲁棒性[8，9，10]。

随着计算机科学技术的发展，配备了数字控制系统的磁轴承能够方便地实现

多种功能，如适应不同的运行条件，抑制不平衡响应，启动和停机时的过程控制

以及滤波、诊断和监控等。数字控制具有硬件集成度高、控制性能好的优点，因

此正逐步替代传统的模拟控制器而成为当代磁轴承控制的发展主流。早期实现磁

轴承数字控制的硬件是普通计算机，后来逐渐被专用处理器所替代。目前应用最普遍的是数字信号处理器（DSP），这种配备高速数据采集及多指令处理功能的处理器将高速运算能力与微机操作系统结合在一起，运算速度远高于普通计算机，还可以采用多处理器结构以提高系统的容错能力。

数字控制所面临的主要问题是实时性。对于磁轴承这类开环不稳定系统，控制器需要具有相位超前的功能，频带通常要达到 1 kHz 以上。影响相位的因素主要是A/D 和D/A 的转换时间以及控制参数的计算时间。计算量过大，采样频率就会相应降低。

1.2.2 转子不平衡性的消除方法

转子因不平衡而在旋转过程中产生与转速同频率的涡动，其会引起机座的振动。消除转子不平衡影响可采用以下几种方法[11，12，13]：

①基于观测器的方法。该方法可分为两类，第一类方法通过观测器来估计转子的不平衡特性，将其当作扰动外力看待。由磁轴承产生电磁力来抵消此扰动。采用这种方法可以使转子精确地绕固定坐标轴旋转。但该方法要求电磁力与转速平方成正比，随着转速的提高，电磁作动器会产生溢出。这种方法还要求精确建模，因为任何微小的模型偏差都可能严重影响观测器的性能和精度。

另一种方法采用观测器来估计转子的不平衡特性，将其当作传感器的误差信号来处理，通过适当的控制方法将此误差消除。

②自动平衡方法。对于刚性转子，只要气隙足够大，就可以使其绕自身的惯性轴旋转。这时不论转速多高，都没有不平衡力产生，因而转子对定子的反作用力也完全消除。实现自动平衡的方法是在控制环节中加人一个与转速同频率的陷波器，使电磁作动器在该频率处的刚度大大降低。

自动平衡方法可使转子在转动频率上的振动大大降低，因而也没有任何反作用力传导给机座。这种方法的一个主要缺点是，陷波器的使用不仅抑制了主轴振动，同时也使控制器在转动频率处失效，当转子穿越谐振频率时，系统会严重失稳。为克服这一缺点，Kanemitsu 等人提出了一种新方法，将两个与转速同频率

的周期（正弦和余弦）信号加人控制器中以抑制振动信号中的周期成分。Shafai

等人又在此基础上提出了一种具有自适应功能的自动平衡法，使得这两个周期信号的幅值和相位可由操作者根据运行状况在线调整。Mohamed 等人采用了一种Q 参数法来实现自动平衡，这种方法将设计指标用一个参数Q 来表示，从而将控制器的设计化成Q 的寻优问题。仿真结果表明，当Q 值选择适当时，系统具有良好的动态稳定性。

③周期学习控制法。该方法是一种基于内模的控制方法，控制原理是应用反传递函数补偿法计算出补偿信号并加人反馈控制回路中，控制目标是使线圈电流

的波动趋于零。引人补偿信号的位置可有两种选择。一种是将信号直接加到控制电流中，另一种是将信号从反馈控制器的输人端引人。Hichgui 等人的研究表明，周期学习法能够在57 kr/min 的高转速下有效抑制不平衡响应。

上述控制方法的主要功能是抑制周期扰动。但是，当系统运行状况比较复杂或出现突发事件（如发动机叶片脱落）时，仅依靠这些方法是不够的，必须借助其他控制律来保证系统稳定。

1.3 本文内容介绍

本文主要的研究内容都是基于磁轴承实验系统进行而欲使磁轴承系统稳定下来，无论是磁推还是磁悬挂轴承，其磁环无论是轴向磁化还是径向磁化都存在稳定性问题，这是由于轴向与径向相互制约造成的。同时轴承本身的参数对系统的稳定及优化也存在影响[14]，在此并不考虑这一点。本文主要工作如下：

①在认为水平方向与竖直方向解耦的情况下，对磁轴承实验系统，利用状态空间法逐步进行了SISO 系统模型的推导；

②考虑到机理建模时忽略了转子的柔性，传感器、电流放大器以及悬浮力的非线性，所得到的模型是不完全的，利用了系统辨识的办法来研究系统模型；

③由于转子的柔性、作用于转子上的电磁力关于位移和控制电流非线性引起了转子谐振，本文对最大谐振进行了简单的滤波处理；

④磁轴承系统是一个不稳定的机电系统，在实验系统的三路补偿器的基础上对系统进行了单入单出设计；

⑤考虑到水平方向与竖直方向解耦且其形式相同，同时为了更加直观，对水平方向采用了基于多项式矩阵理论的频域多入多出设计。

2 磁轴承实验系统简介

2.1 磁轴承的基本原理

2.1.1 磁悬浮轴承工作原理

磁悬浮轴承是一个复杂的机电耦合系统。在早期的研究过程中，它由机械系统和控制系统两个子系统组成。计算机技术的发展为实现整个系统的智能化提供了条件，将计算机加到系统中得到磁悬浮轴承系统。在这个系统中，利用计算机可以更方便地从外界拾取信号，并对其进行智能处理，实现轴承的稳定运行与控制。

图 2.1 径向轴承结构简图

Fig.2.1 Block diagram of Radial bearing

图 2.2 轴向轴承结构简图

Fig.2.2 Block diagram of Axial bearing structure

机械系统由转子和定子组成（径向轴承结构如图 2.1，推力轴承结构如图2.2），通常它们都是由铁磁叠片构成的。转子叠片装在轴径。磁悬浮轴承工作的

基本原理：通过位置传感器检测转子的轴偏差信号，将该信号送入控制器，通过功率放大器控制电磁铁中的电流，从而产生电磁力的变化使转子悬浮于规定的位置。上定子叠片上开有槽，并缠绕着线圈以提供磁力。

控制系统指控制转子位置的电气系统，简单的控制系统由传感器、控制器和功率放大器组成（如图 2.3）。传感器：即检测元件，是磁悬浮轴承的重要组成部分，位置传感器用于检测转子的偏移情况，速度传感器用于检测转子的运动速度。控制器：是整个磁悬浮轴承的核心，其性能决定了磁悬浮轴承的好坏，其作用是对传感器检测到的位置偏差信号进行适度的运算，使得转子有高精度的定位，在外力的干扰作用下能通过迅速而恰当的电流变化使转子回到基准位置。功率放大器：其作用是向电磁铁提供产生电磁力所需的电流。

控制器功率

放大器

E1 +

+

轴承

（电磁铁与转子）

E2 +

+

位移参

考信号传感器位移量

图 2.3 轴承控制系统简图

Fig.2.3 diagram of bearing control system

目前，在磁悬浮轴承研究领域主要以主动的直流控制式磁悬浮轴承为研究对象。图2.4 为主动的直流控制式磁悬浮轴承的工作原理示意图。

图 2.4 主动磁悬浮轴承工作原理示意图

Fig.2.4 Schematic diagram of active magnetic bearing woking

(B 1 B 2 ) B = control S (i control + I 0 ) 2

(i I 0 ) 2

需要指出的是：与主动磁悬浮轴承相比，被动磁悬浮轴承具有系统设计简 单，并在无控制环节的情况下即可稳定，但是它不能产生阻尼，亦即缺少像机械 阻尼或如同主动轴承那样的附加手段，因此这个系统的稳定域是很小的，外界干 扰很小的变化也会使它趋于不稳定[15，16]。

2.1.2 磁轴承悬浮力的计算

由于转子（轴）偏离平衡位置时，通过位移传感器检测出来，无论向那个方 向的扰动，最终转子都能稳定下来。那么转子所受的力到底为多大呢？忽略漏磁 和磁滞的影响，并假设磁路的磁场是均匀的。由麦克斯韦电磁理论知道：

F = S ? 0

2

2

(2.1)

其中 F ——气隙内轴所受的合力（N ）

S ——磁路的截面积（m 2）

? 0 ——真空中的磁导率（H/m ）

B 1，B 2——上下磁铁气隙处的磁感应强度

而单线圈下产生的磁感应强度为：

(i

g

+ I 0 )

(2.2)

其中 i control ——控制电流（A ）

g ——间隙宽度（m ） I 0——偏置电流（A ）

从而可得轴所受合力为：

F = [

( x 0 x ) 2

control

( x 0 + x ) 2

]

(2.3)

x ——转子（轴）偏移平衡位置量（m ）

x 0——总气隙（m ）

通过上面的简单叙述可以得到磁轴承转子所受力与控制电流、转子位移之间 的关系，可见其与控制电流的平方成正比，与转子位移的平方成反比[7]。而在大 多数情况下，对系统进行分析都是基于线性模型的，多数要对系统进行线性化， 这就不可避免地造成了误差。并且悬浮力与电流、位移的这种非线性关系是转子 振荡的原因之一[17，18]。

2.2 实验系统介绍

2.2.1 磁轴承系统

被控对象为电磁轴承实验系统磁轴承，其方框图如图 2.5

图 2.5 磁轴承系统结构图

Fig.2.5 Block diagram of magnetic bearing system

该系统包含可在电磁铁下悬浮的不锈钢轴（转子）、霍尔效应传感器、四路电流放大器。转子每一端有二自由度，这两个自由度是垂直于Z 轴的水平方向平移（x1，x2）和垂直方向平移（y1，y2）。如图 2.6 所示。

下面将介绍磁轴承的部分结构的模型及参数。当然这些模型是名义上的，只提供一些指导，系统辨识是确定系统精确模型的最佳途径，其可推广到对非线性系统的描述[19，20]。

X1

霍尔传感器

电磁铁

名义宽度=0.40mm

图 2.6 磁轴承与轴相对位置图

2.2.2 构件参数

①转子及相对位置参数

Fig.2.6 Relative location between magnetic bearing and axis

F x = k (i control + 0.5) 2 (i control 0.5) 2

轴由弹性系数为 1.97 ? 105Mpa，密度为8 ? 10-3kg/cm3，直径为 1.24cm，长为26.9 cm 的无磁性303 不锈钢制成，轴承安装位置距转子轴末端的距离为2.4cm，

霍耳效应传感器距转子轴末端距离为0.28cm。

②磁轴承参数

弹簧支撑圈上有0.5Amp 的斜线供添加控制信号，由单一的蹄铁钢电磁石产

生的力为：

F =k (i control+0.5)2/g2 (2.4)

其中k=2.8 ? 10-7N.m2/Amp2

i control i——电流放大器提供的控制电流（A）

g——间隙宽度（m）

i control i要减去0.5A 的偏置电流，因电磁铁引起的偏移电流与控制电流有相反的符号，当存在控制电流加于两弹簧支撑圈时，由（2.3）式可知产生的合力为：

k

(x1 .0004) 2(x1 + .0004) 2 (2.5)

其中x1是图 2.6 中左轴承内的轴的位移量，对于另一轴承以及y方向的力有同样的描述。

③放大器名义模型

电流放大器模型有简单的一阶响应，每路电流放大可描述为：

i control =

0.25

(1 + 2.2 ?10 4 s)

A / volt ? V control (2.6)

其中V

control——控制电压（V）

④传感器的名义模型

由图 2.6 中相对的电气化连接的两霍尔效应传感器而获得轴的位移X1，X2，Y1，Y2间有如下关系，以X1为例的（近似）描述为：

V sense =5Volt/mm X1+24Volt/mm3X13（+1V 或-1V 偏移）(2.7)

其中V

sense——传感器输出的反馈电压（V）

⑤补偿器名义模型

四路补偿器是系统自带的控制器，它可以为我们演示悬浮状态。名义上的补偿器模型来自电路示意图，V control与V sense之间的传递函数为：

V control =

1.45(1 + 0.9 ?10 3 s)

(1 + 3.3 ?10 4 s)(1 + 2.2 ?10 5 s)

V sense (2.8)

这一补偿器可由一外部控制器实现，但要以调节时间为代价。

较小的磁轴承系统是快速非线性不稳定的多变量系统。系统面板输入输出间

带12 同轴电缆接插件（BNC）线路的图形描述。对面板上的四个开关，可以将其断开而分别调节内部轴控制器。断开一个回路开关，就可以演示简单的单入单

出（SISO）控制设计实验，若将内部回路均开环，则可实现复杂的 4 输入 4 输出的外部控制器。控制器的带宽大约是1KHz，因此这类外部控制器多基于数字信

号处理芯片或者模拟器件[21]。

2.3 本章小结

本章介绍了磁轴承系统控制部分的基本工作原理，对于研究的系统结构及部

分参数作了简单的说明，值得注意的一点是，这些参数特别是功放、补偿器、传

感器的模型都是名义上的，可能会因为工作情况的改变而改变。

。而在下面的分析是直接从转子轴的受力平衡和力矩平衡来研究的。 3

磁轴承系统的理论分析与模型建立

磁轴承是以电磁理论和控制理论为基础的高新技术，如何建立一个精确、便 于控制的模型就重要起来。若欲进行控制系统的设计，设计者首先须对被控对象 有充分的认识。然而磁轴承系统是一个典型的非线性系统，对于非线性系统分析 的一些理论目前尚不成熟。因此，只能对磁轴承在其平衡点附近进行，利用成熟 的线性系统理论对其分析。设计者须从一切可能的途径收集关于系统的信息，然 后将这些信息以数学模型的形式描述出来，信息的来源之一是构建系统的机理， 通过机理分析可以获得对某输入的运动微分方程，通过状态空间描述（SSD ）或 多项式矩阵描述（PMD ）来刻画分析系统的内部特性如极点、传输零点、解耦零 点、能控能观性（互质性）等，从而为系统的分析与综合奠定基础[22]。

3.1 刚性转子数学模型

控制的目标是转子轴在任意初始位置、任意初始速度下稳定地变化到另一任 意位置和速度下，并要尽可能不引入预磁电流。电磁轴承可以通过线圈的电流或 是电压来控制。因此，对其可采用电流控制、电压控制或串级控制即一个电压内 环，一个电流外环。而在控制器设计伊始，对单自由度的分析可以使问题简单明 了，而单自由度的研究又可以简化为电磁铁控制的一维磁场中小球的控制问题

[23]

3.1.1 刚性转子力学特性分析

在本章中，将基于系统机理推导磁轴承系统的模型。首先，视转子为刚体而

推导相应的运动方程。

磁轴承系统本生带有四路控制器，在其接入反馈回路时转子（轴）可悬浮， 首先对磁轴承系统单输入单输出实验的研究，因此利用其中的三路控制器，而将 其中一路断开。

为了简化系统分析，假定转子为不改变形状的刚体，只考虑转子平动和转动 而不考虑弯曲。在忽略重力的情况下水平方向和垂直方向即 X ，Y 方向动特性可 认为是不相耦合的，因而在 X 和 Y 方向其动特性具有一致性。以下分析只以 X

方向为例[24，25]。

x 1 0 ( l ) sin ?

= x x 2 0 + ( l ) sin ?

= x X 1 = x 0 ( l 2 ) sin ?

X 2 0 2l ) sin ? = x + ( (3.1) 图 3.1 转子结构图

Fig.3.1 Block diagram of rotor structure

通过对图 3.1 的几何分析，可得如下关系：

L

2 L

2 L

2

L

2

各符号意义见表 3.1， 3.2 考虑到系统物理结构的限制， ? 很小，得近似：

sin ? E ? ，cos ? E 1

对转子作分析，利用力平衡和力矩平衡可帮助推导系统力学特性，首先利用 力的平衡可得：

再从力矩平衡可得： F = ma .

F ——作用于系统的合外力

m ——转子质量 a ——系统质心加速度

M = I ?

M ——合外力矩

I ——对过质心的旋转轴的转动惯量 ? ——系统角加速度 (3.2)

(3.3)

' x??0 ∞ ?0 1 0 0/ ' x ∞ '0 0 0 0∞ ' ?0 ∞ = '

' ? ∞

' ?? ∞ '≤0 0 0 0∞?

∞ F

∞ ? 1 / ' ? ∞ '

' x0 ∞ + '

?∞00∞≤F∞?'≤ ? ∞? ≤ 1/ I 0 (L / 2 l ) 1 / I 0 (L / 2 l )?

表 3.1 系统变量

Table.3.1 System variables

'≤ ? ∞?

∞

'0 0 0 1∞

? x0 / ? 0

0 /

'? ∞ ' ∞

1/ m1/ m