第一章随机事件
第一章 随机事件
练习一
1、 设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示：
（1） A 发生，B 、C 都不发生；
（2） 三个事件都发生；
（3） 三个事件都不发生；
（4） 三个事件不多于一个发生；
（5） A 、B 都发生，而C 不发生；
（6） A 、B 、C 中至少有一个发生；
（7） A 、B 、C 中不多于两个发生；
（8） A 、B 、C 中至少有两个发生；
2、 写出下列随机试验的样本空间：
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；
（2） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
（3） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就
停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查结果；
（4） 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。
练习二
1、 设A 、B 、C 是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=
14，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=116，求事件A 、B 、C 全不发生的概率。
2、 已知()0.3,()0.4,()0.5,()P A P B P AB P B A B ===求。
3、 设某长途汽车，在起点站有20位乘客，客车要停10站，设每位乘客在任一站下车是等可能的，求没有三位及三位以上的乘客在同一车站下车的概率。
4、 设电话号码由8位数字组成（首位不为0）。试求下列事件的概率：A ＝{8位数字不出现重复}，B ＝{8位数字不含0和8}。
5、 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
6、 设20名运动员中有两名国家队员。现将运动员任意平分为两组，求两组中各有一名国家运动员的概率。
7、 将4个优等生随机地分到12个班中去，设每个人分配到每班是等可能的。求至少有两个人被分配在同一班的概率。
练习三
1、有5副不同尺寸的手套。甲先任取一只，乙接着也任取一只，然后甲再任取一只，最后乙又任取一只。
试求（1）甲正好取到两只配对的手套的概率；（2）乙正好取到两只配对的手套的概率；（3）甲、乙两人取到手套都配对的概率。
2、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号
码为5的概率。（2）求最大号码为5的概率。
3、设袋中有a只红球，b只白球。每次从袋中任取一球，观察其颜色后放回，并放入c只与所取出的那只球
同色的球。若在袋中连续取球三次，试求第三次才取到红球的概率。
4、某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需要电话的概率，
若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
5、为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A和B，每种系统单独使用时，其有效的概率分别为，，在
A失灵的条件下，B有效的概率为，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。
练习四
1、设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋
中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少
2、一个机床有1
3
的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时，停机的概率时，加工零件B时，
停机的概率为，求这个机床停机的概率。
3、10个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后放回去，第二次又随机地取出2个。（1）问
第二次取到几个新球的概率最大（2）如果发现第二次取到的是两个新球，计算第一次没有取到新球的概率。
4、有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两
箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
5、已知男子有是色盲患者，女子有是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲
患者，问此人是男性的概率是多少
6、将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为。
信息A与信息B传递的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少
7、设共有10张彩票，其中只有2张可获奖。甲、乙、丙三人依次抽取彩票一张，规则如下：每人抽出后不
放回，但补入两张与所抽彩票不同的彩票。问甲、乙、丙三人中谁中奖的概率最大。
练习五
1、设三台机器相互独立地运转着，又第一台、第二台、第三台机器不发生故障的概率依次为，，。求这三台
机器全不发生故障及它们中至少有一台发生故障的概率。
2、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出地概率分别为111
534
，，。问能将此密码译出地概率是多少
3、设每次射击时命中率为，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少有一次击中的概率不小于
第1章 随机事件及其概率(答案)
第1章 随机事件及其概率 一.填空题 1. 向指定目标射三枪，以分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，试用表示以下各事件：（1）只击中一枪记为 123,,A A A 123,,A A A （2）三枪都未击中记为 （3）至少击中一枪记为 . 解1)123123123A A A A A A A A A ++ 2)123A A A 3)123A A A ∪∪ 或123 或123A A A Ω? 2. A,B,C 是三个随机事件，试用A,B,C 表示以下各事件的概率, 则1)A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为 2)A ，B ，C 中都发生的概率为 3)A ，B ，C 都不发生的概率为 . 解1)()P A B C ∪∪ 2)()P ABC 3)()P ABC 3.(97-4-3)设A,B 是任意两个随机事件,则(()()()())P A B A B A B A B ∪∪∪∪= 解:由分配律() ()(()()()())(())(()))P A B A B A B A B P AA B AA B P BB P ∪∪∪∪=∪∪==?=0 4.(92-3-3)将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 解：C 字母每个位置都有2种可能，其它事唯一确定的， 2!2!7!= 1 1260 5.(07-1,3,4-4)在( 0,1 )中随机地取2个数,则两数之差的绝对值小于1/2的概率为 解:12x y ?<,如图所示,1 141P ? = =34 . 6. (93-3-3) 一批产品共有10件正品,2件次品，每次取1件,现不放回抽取3次，则第2次取次品的概率 解：法1（抽签原理） 212=16 法2（排列问题），第2次取次品，第1,3次是剩下任取2个的排列： 21110121110××=××1 6 7. (97-1-3) 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有2人依次随机从袋中各取一球，不放回，则第2个人取黄球的概率 . 解：法1：（抽签原理） 2050=2 5 法2：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人从剩下的49个取一个） 20492 50495 ×=× 法3：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人取黄球或白球） ()201930201920302 504950495 ×+×+×==×× （注：抽签原理最简，只跟中签数与总签数的比值有关，与抽取第几个无关；排列问题——分次完成） 8. (92-1-3) 已知()()()11 ()()(),0,41P A P B P C P AB P AC P BC === ===6 ，事件A,B,C 全不发生的概率为 解:()()()11 ()()(),0,,416 ()()(P A P B P C P AB P AC P BC ======∵ )00ABC AB P ABC P AB P ABC ?≤=∴=, ()()()()()()()11(1()1[]132416P ABC P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =?∪∪=?++???+=?×?×=3 8
第一章 随机事件及其概率课后习题参考答案
第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解：
随机事件与概率 考研试题
第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
习题1 随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
概率论第一章随机事件及其概率答案2
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率 一、随机事件 1、必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件. 2、不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件. 3、随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件. 4、确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件. 5、试验 为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验. 【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.
（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象. （3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件. 二、基本事件空间 1、基本事件 在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件. 2、基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件. 【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏. 三、频率与概率 1、频数与频率 在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n = 为事件A 出现的频率.
《随机事件及其概率》教案(1)
随机事件及其概率 教学目标: （1）通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念。（2）根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键； （3）理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系； （4）通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识. 教学重点: 根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象, 理解频率和概率的区别和联系. 教学难点: 理解随机事件的频率和概率定义及计算方法, 理解频率和概率的区别和联系. 教学过程: 一、问题情境 1、观察下列现象发生与否，各有什么特点？ （1）在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾； （2）导体通电，发热； （3）同性电荷，互相吸引； （4）实心铁块丢入水中，铁块浮起； （5）买一张福利彩票，中奖； （6）掷一枚硬币，正面朝上。 注：显然（1）、（2）两种现象必然发生的，（3）、（4）两种现象不可能发生，从而它们都是确定性现象。（5）、（6）两种现象可能发生，也可能不发生（是随机现象）。 2、实验1：奥地利遗传学家（G.Mendel）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中F1 为第一子代，为F2第二子代）： 性状F1的表现F2的表现 种子的形状全部圆粒圆粒5474 皱粒1850 圆粒︰皱粒≈2.96︰1 茎的高度全部高茎高茎787 矮茎277 高茎︰矮茎≈2.84︰1 子叶的颜色全部黄色黄色6022 绿色2001 黄色︰绿色≈3.01︰1 豆荚的形状全部饱满饱满882 不饱满299 饱满︰不饱满≈2.95︰1 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％，后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究某种性状发生的频率作出估计，他发现了生物遗传的基本规律。 实验2 A B 1 模拟次数10 正面向上的频率0.3 2 模拟次数100 正面向上的频率0.53 3 模拟次数1000 正面向上的频率0.52 4 模拟次数5000 正面向上的频率0.4996
随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2 3 41|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{| 2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤<11.1随机事件及其概率
高二概率同步练习1（随机变量及其概率） 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种 结果。 。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 。
6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。 7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。 8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?, )|(),|(AB A P B A AB P ?. （2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第 三、四次取到红球的概率。 9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
(第一章)随机事件与概率习题
第一章 随机事件与概率 亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。 ──祖冲之 内容提要 1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n i i i i i i i i A A A A ===== = ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数) ）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n =（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量） ）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质 （1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数： ()()()()()o o 1:P A 021 o 3,,() 1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性： （2） 性质： 11 1111. ()0,2.:,,()3.()()()()() 4.()1(), 5. 6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地 111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ??? ∑∑ 4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （1） 条件概率的定义 直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记
第一章 随机事件与概率-教案
第一章随机事件与概率－教案引言在这一章将介绍： ·《概率》中用到的基本概念和术语， ·随机事件之间的关系以及概率的基本关系式, ·再介绍应用非常广泛的两类概率问题：等可能概型、n重贝努利概型. 这一章是学习《概率》的基础. §1.1 随机事件 【教学目的】 1.理解《概率》研究的对象是随机现象的统计规律性，随机现象的特点具有不确定的一面，即试验前哪一个结果发生不知道，也有确定性的一面，即统计规律性，也称频率稳定性. 2.理解随机试验的条件，样本点、样本空间术语. 3.理解随机事件术语，掌握随机事件的关系、运算与运算律，注意 （1）从发生的角度清楚事件的关系与运算的涵义； （2）熟练掌握由简单事件表示复杂事件的方法； （3）掌握事件关系的常用变形，如 -=-=，A S A =+，A B A AB AB A B A AB B AB +=+=+，A AB AB =-； （4）理解事件互斥与对立不等价. 【教学内容】 一、随机现象与频率稳定性 确定性现象 ◆自然与社会存在两类现象不确定性现象随机现象 其他 随机现象的特点不确定性——事情发生之前，不清楚那一个结果会发生. 确定性——频率稳定性，也称作统计规律性. 《概率论与数理统计》研究的对象即随机现象的统计规律性. ◆又《概率论》是研究概率的，“概率”与“统计规律性”什么关系？以后解决. 二、随机试验、样本空间
1．随机试验 定义1对随机现象作实验或观察，且具有如下三个特点，统称为随机试验，记作E. （1）可以在相同条件下重复进行； （2）试验的可能结果不唯一，全部可能结果已知； （2）试验前不能确定哪一个结果发生. 注关于“相同”当然只能是相对而言，事实上正是因为有很多不确定因素的影响，才造成了结果的不确定性. 2．样本点样本空间 ·随机试验的每一个结果称为样本点，记作e、ω等. ·全部可能结果，即全体样本点组成的集合，称为样本空间，记为S，即S={e}. 例1看如下随机试验与相应的样本空间. （1） E：掷一颗色子，观察出现的点数. 1 E：一枚硬币掷两次，观察朝上一面的图案.记字面朝上为正，朝下为反. （2）2 （3） E：记录120急救站一个小时内接到的呼叫次数. 3 （4） E：对灯泡做破坏性试验，记录灯泡的寿命. 4 E：按户调查城市居民食品、穿衣的支出. （5） 5 其中， S，2S的样本点数为有限个，称为有限样本空间. 3S，4S，5S中样本点数为无限个，称为无 1 限样本空间. 又 S中样本点可按一定顺序排列，简称可列样本空间.4S，5S中样本点则不可排列. 3 三、随机事件的概念、关系与运算 1．随机事件 ◆随机试验E的样本空间S的子集，称为E的随机事件，通常记为A、B、C等. ◆随机事件发生是常用的一个术语，规定： 随机事件A发生的充分必要条件是随机试验时A中的一个样本点出现. 利用符号“?”表示“充分必要”也称“等价”，则随机事件发生的规定可以简记为： 随机事件A发生?随机试验时A中的一个样本点出现. ◆特殊的随机事件： e}或e； 基本事件：一个样本点构成的事件，记作{ 必然事件：每次试验都必然发生的事件，即样本空间S； 不可能事件：每次试验都不会发生的事件，即空集φ. 2．事件间的关系与运算
第一章 随机事件与概率(中山大学)
第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==，3112 94882296k A C C A =+=
22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关，都是1 1n -（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。 解：(1)基本事件数为!n ，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位， 1,2,,1i n r =--，共1n r --中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位 置可调换，有12C 种，故有利事件数由乘法原理有 12C （n-r-1）(n-2)!，由古典概型的计算公式，得 1 22(1)(1)C n r P n n --== -（n-r-1）(n-2)!n! 甲乙相邻的概率为： 12(1)!2!C n P n n -== 另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有(1)n n -,有利事件 数为2(n-r-1).故有 2(1)(1)n r P n n --= - 另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列. 212212(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------== - (2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位置取 2个人的排列，共有2n A 种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有 21 1n n P A n = =- 甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(2)!n -种排 列，故 2(2)!2(1)!1n P n n -== --. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故21P n = -(只考虑乙) 16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率. 解: 基本事件数为 5 10252n C ==,有利事件数为 1) 2个伍分,其他任意,有23 2856C C = 2) 1个伍分,2个贰分:12223560C C C =
第一章_随机事件及其概率习题(可编辑修改word版)
1 1 3 第一章 随机事件及其概率 习 题 一 一、填空题 1．设样本空间Ω = {x | 0 ≤ x ≤ 2} ，事件 A = {x | 1 < x ≤ 1}, B = {x | 1 ≤ x < 3 }，则 A B 2 4 2 = {x | 0 ≤ x < 1} {x | 3 ≤ x ≤ 2} , 4 2 AB = {x | 4 ≤ x ≤ 2} {x |1 < x < 2 } . 2. 连续射击一目标， A i 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω ，则 Ω ={ A 1； A 1 A 2； ； A 1 A 2 A n -1 A n ； } . 3. 一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、 3、4 概率为 1 . 12 4. 一批( N 个)产品中有 M 个次品、从这批产品中任取 n 个，其中恰有个 m 个次品的概 率是 C m C n -m / C n . M n - M N 5. 某地铁车站, 每 5 分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯 车时间不超过 3 分钟的概率为 0.6 . 6. 在区间（ 0, 1） 中随机地取两个数， 则事件“ 两数之和小于 6 5 ” 的概率为 0.68 . 7．已知 P (A )=0.4, P(B )=0.3, (1) 当 A ,B 互不相容时, P (A ∪B )= 0.7; P(AB )= 0 . (2) 当 B ?A 时, P(A+B )= 0.4 ; P (AB )= 0.3 ； 8. 若 P ( A ) = α, P (B ) = β, P ( AB ) = γ , P ( A + B ) = 1- ; P ( A B ) = - ; P ( A + B ) = 1-+ . 9. 事件 A , B , C 两两独立, 满足 ABC =，P ( A ) = P (B ) = P (C ) < 1 ,且 P (A+B+C )= 9 ， 2 16 则 P ( A ) =0.25？？ . 10. 已知随机事件 A 的概率 P ( A ) = 0.5 ，随机事件 B 的概率 P (B ) = 0.6 ，及条件概率 P (B | A ) = 0.8 ，则和事件 A + B 的概率 P ( A + B ) = 0.7 .
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
3. ① 43=4 ②事件A 与B 互斥: 习题1 （随机事件及其运算） 一-填空题 1. 设儿8- C 是三个随机事件，用字僻表示下列事件: 事件A 发生，事件8, C 不都发生为 用A 表示“第/次射击中靶"（扫123）.下列事件的含义是: 人表示. A/2人3 + 4/?每+ 4/?比 表示. 瓦U 兀U 召表示, 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生X 用B 表示“选到的是二 年级的学 生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式T ABC=C 成立的条件是 1. 在事件ASX 中，8与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ① A\JBC = A, ② A\JBC = A, ③ AUBC = 4 ④ AUBC = n. 4, 若槪率P （AB ）=O,则必有（ 事件 B, C 都不发生为 事件A, 8, C 至少一个发生为 事件A, B, C 至多一个发生为 2?用 A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”, 则A 表示（ ①“甲产品滞销.乙产品畅销”: ②“甲、乙产品都畅销S ③“甲产品滞销或乙产品畅销I ④“甲、乙产品都滞销”. 2.某人射击三次,
③事件A与B对立: ④ P(A\JB) = P(A) + P(B). 三-解答题 1?将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间C及事件&=｛点数之和为偶数｝：B = ｛点数之和能被3整除｝? 2?将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Q及事件A=｛点数之和为6｝：B = ｛点数之差为2｝? 3.某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%,求下列事件的概率：C=｛至少订一种报｝； D巩恰订一种报｝: &｛不订任何报｝? 4?若已知 P(A) = P(B) = P(C) = 03. P(AB) = P(AC) = 0? P(BC) = 02求概率P(ABC)： P(AUBUC)： P(ABC).
第一章随机事件与概率-概念总结
第一章随机事件与概率－概念总结 一、教学要求 1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算． 2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算． 3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算． 4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算． 5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率． 本章重点：随机事件的概率计算． 二、知识要点 1．随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验： (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； · (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现． 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用Ω表示，其中的每一个结果用e 表示，e 称为样本空间中的样本点，记作{}e Ω=． 2．随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作φ) 看作特殊的随机事件． 3．事件的关系及运算 (1) 包含：若事件A 发生，一定导致事件B 发生，那么，称事件B 包含事件A ，记作 A B ?(或B A ?)． (2) 相等：若两事件A 与B 相互包含，即A B ?且B A ?，那么，称事件A 与B 相等，记作A B =． (3) 和事件：“事件A 与事件B 中至少有一个发生”这一事件称为A 与B 的和事件，记 作A B ?；“n 个事件1,2, ,n A A A 中至少有一事件发生”这一事件称为 1,2, ,n A A A 的和，记作12n A A A ?? ?（简记为1 n i i A =）． (4) 积事件：“事件A 与事件B 同时发生”这一事件称为A 与B 的积事件，记作A B ?(简 记为AB )；“n 个事件1,2, ,n A A A 同时发生”这一事件称为1, 2, ,n A A A 的积 事件，记作12n A A A ???（简记为12 n A A A 或1 n i i A =)． (5) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ=，那么称事件A 与B 互不相 容(或互斥)，若n 个事件1,2, ,n A A A 中任意两个事件不能同时发生，即i j A A φ=(1 ≤i 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ； 概率 第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件习题 1. (1) {1,2,3,4,5,6,7,8}Ω= ; (2) AB={2,4}; {1,2,3,4,6,8};A B ?= {1,3,5,7};B = {1,3};A B -= {1,2,3,4,5,7,8};BC = {1,5,7}B C ?=. 2. (1) 123A A A (2) 123A A A ?? (3) 123123123A A A A A A A A A ?? (4) 123123123123122313A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?????或 (5) 123123123123122313A A A A A A A A A A A A A A A A A A ?????或 3. (1)(2)(3)(4) 4. 解: (1) C AB AB =+, D A B =?, F AB = (2) 不是, ,,.C F C F F C φ=≠Ω≠ 虽但即 §1.2 概率习题 1. 解: ()()()()0.50.60.80.3;P AB P A P B P A B =+-?=+-= ()()1()10.80.2; P A B P A B P A B = ? =- ? =-= ()()1()10.30.7. P A B P A B P A B ?==-=-= 2. 解: 设A={小王能答出甲类问题}, B={小王能答出乙类问题},则 P(A)=0.7, P(B)=0.4, P(AB)=0.3 (1) ()()()0.70.30.4;P AB P A P AB =-=-= (2) ()()()()0.70.40.30.8;P A B P A P B P AB ?=+-=+-= (3) ()()1()10.80.2.P AB P A B P A B =?=-?=-= 3. 解: ()0.8P A =, ()()0.8,P A B P B == ()()0. 2P A B P A = = ()()0,P A B P φ-== ()()()() 0.6. P A B P B A P B P A = - = -=第1章 随机事件及其概率
第1章随机事件及其概率习题答案