二次函数与等腰三角形

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题

【学习目标】

这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨

论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.

【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.

一、考点突破

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例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若

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已知 A 点的坐标为（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式；

P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在

点P 点坐标；若不存在，请说明理

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，

另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

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例3、如图，已知抛物线y ax2bx c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l 上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

（3）点M 也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

变式题组】

2 4 3

1、如图，抛物线y=ax +bx+（c a ≠0 ）的图象过点M（﹣2 ，3 ），顶点坐标为N（﹣1， 3 3

），且与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P 的坐标；

3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．

1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；

4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使

△CPQ