子空间的运算

§5 子空间的运算

教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用．

教学内容

为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和．

5.1 交与和

命题6.5.1 设W 1，W 2都是数域F 上向量空间V 的子空间，则W 1∩W 2也是V 的子空间，叫做W 1与W 2的交．

证 因为θ∈W 1∩W 2，所以W 1∩W 2≠?．设α，β∈W 1∩W 2，则α，β∈W i ，i =1，2．因为W i 是子空间，所以α+β∈W i ；k α∈W i ，?k ∈F ；i =1,2．于是α+β∈W 1∩W 2，k α∈W 1∩W 2，?k ∈F ．因此，W 1∩W 2是V 的子空间．

由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W 1∩W 2= W 2∩W 1；

2)结合律 (W 1∩W 2)∩W 3= W 1∩(W 2∩W 3)．

由结合律，我们得到多个子空间的交：

t

i i t W W W W 121==，

且由归纳法易见， t

i i W 1=也是V 的子空间．

注 类似命题 6.5.1的证明可得，设I 是任一指标集，若?i ∈I ，W i 是V 的子空间，则{

}I i W W i I i i ∈?∈=∈,αα 也是V 的子空间． 向量空间V 的两个子空间W 1与W 2的并集一般不是V 的子空间．例如，在V 3中，取W 1，W 2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V 3的子空间．W 1∪W 2对加法一般不封闭，因此W 1∪W 2不是V 3的子空间．若我们想构造一个包含W 1∪W 2的子空间，则这个子空间应当包含W 1中的任一向量α1与W 2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个子空间，则集合

},{221121W W ∈∈+αααα (1)

是V 的一个子空间，叫做W 1和W 2的和，记作W 1+W 2．

证 把集合(1)记作W ．显然θ∈W (因为θ =θ +θ )．在W 中任取两个向量α，β，可设

21ααα+=， 21βββ+=，

其中α1，β1∈W 1，α2，β2∈W 2，则

)()(2211βαβαβα+++=+．

由于W 1，W 2是V 的子空间，所以α1+β1∈W 1，α2+β2∈W 2，从而α+β∈W ．

类似可证任取k ∈F ，，，，221121W W W ∈∈∈+=ααααα则W k ∈α．因此W 是V 的一个子空间．

对于W 1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W 1?W 1+W 2．同理，W 2?W 1+W 2．从而W 1∪W 2?W 1+W 2．所以W 1+W 2是包含W 1∪W 2的子空间．

设U 是V 的子空间，且W 1∪W 2?U ，则对于任意αi ∈W i ，i =1，2，有αi ∈U ．从而α1+α2∈U ．由此看出W 1+W 2?U ．这表明W 1+W 2是V 中含W 1∪W 2的最小的子空间． 由命题6.5.2知道

W 1+W 2=},{221121V V ∈∈+αααα． (2)

从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则：

1)交换律 W 1+W 2= W 2+W 1

2)结合律 (W 1+W 2)+W 3=W 1+(W 2+W 3)．

由结合律，我们可以定义t (t ≥2)个子空间的和：

∑==+++t

i i t W W W W 1

21 ， 用归纳法易证，∑=t

i i W 1仍是V 的子空间，并且

t W W W ++21=},,1{21t i W i i t =∈+++，αααα． (3)

命题6.5.3 设r αα,,1 与s ββ,,1 是数域F 上向量空间V 的两个向量组，则

()()()t r t r L L L ββααββαα ，，1111,,,,,,=+． (4)

证 从(2)式得出

()()t r L L ββαα,,11 +，=()(){}

F l k l l k k j i t r r r ∈+++++,1111ββαα =()t r L ββαα ,,,,11．

在V 3中，设W 1是过原点O 的一个平面，W 2是过O 的另一个平面，它们相交于一条直线L ．则W 1，W 2，L 都是V 3的子空间，并且W 1∩W 2=L ．由于V 3中每个向量α可以表示成W 1中一个向量与W 2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W 1+W 2=V 3．由于dim W 1=dim W 2=2，dim L =1,dim V 3=3，因此在本例中，有

()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+．

这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有

定理6.5.1(维数公式) 若W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则W 1∩W 2与W 1+W 2也都是有限维的，并且

()()212121dim dim dim dim W W W W W W ++=+． (5)

证 因为W 1是有限维的，而W 1∩W 2是W 1的子空间，所以W 1∩W 2也是有限维的．设W 1,W 2的维数分别是n 1，n 2，W 1∩W 2的维数是m ．取W 1∩W 2的一个基m αα,,1 ，并将它分别扩充成W 1的一个基m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，扩充成W 2的一个基m αα,,1 ，m n -2,1γγ， ．据(4)式，我们有

W 1+W 2=L (m αα,,1 ，m n -1,1ββ， )+L (m αα,,1 ，m n -2,1γγ， )

=L (m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ， ) (6)

于是W 1+W 2是有限维的．若能证明m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ 线性无关，则它就是W 1+W 2的一个基，从而有dim(W 1+W 2) =m +(n 1－m )+(n 2－m )= n 1+ n 2－m =dim W 1+dim W 2－dim(W 1∩W 2)，即维数公式成立．于是，设

m n m n m m p p k k --+++++111111ββαα θγγ=+++--m n m n q q 2211 ，

则

m n m n m m p p k k --+++++=111111ββααα

m n m n q q -----=2211γγ ． (7)

由(7)的第一个等式知道α∈W 1，由第二个等式知道α∈W 2．于是α∈W 1∩W 2．因此α可由m αα,,1 线性表出，令

m m l l ααα++= 11． (8)

由(7)的第二式以及(8)式得

θγγαα=+++++--m n m n m m q q l l 221111 ．

因为m αα,,1 ，m n -2,1γγ 线性无关，所以

0211======-m n m q q l l ．

从而α=θ．再由(7)的第一式便得到

θββαα=+++++--m n m n m m p p k k 111111 ．

因为m αα,,1 ，m n -1,1ββ， 线性无关，所以

0111======-m n m p p k k ，

这证明了m αα,,1 ，m n -1,1ββ， ，m n -2,1γγ 线性无关．

推论6.5.1 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则

dim(W 1+W 2)= dim W 1+dim W 2=?W 1∩W 2=0，

这里0表示V 的零子空间．

下面举一个例子说明在F n 中如何具体求两个子空间的和与交的基及维数． 例1 设V =F 4，W 1=L (α1，α2，α3)，W 2=L (β1，β2)，其中

α1=(1，2，1，0)，α2=(-1，1，1，1)，α3=(0，3，2，1)，

β1=(2，-1，0，1)，β2=(1，-1，3，7)．

分别求W 1与W 2的和与交的基及维数．

解 因为

W 1+W 2= L (α1,α2,α3)+ L (β1,β2)= L (α1,α2,α3,β1,β2)，

所以向量组α1,α2,α3,β1,β2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W 1+W 2的维数．按照第三章的方法，把α1,α2,α3,β1,β2写成列向量，构成矩阵A ，对A 作一系列初等行变换，化成阶梯形矩阵：

?????

? ??-→?????? ??---=0000031000401101010171110302111131212011A (9) 由此得出α1，α2，β1是W 1+W 2的一个基，故dim(W 1+W 2)=3．同时也知道，β2可经α1，α2，β

1线性表示，其系数应当是线性方程组

x 1α1+x 2α2+x 3β1=β2

的解，且从上述A 及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2，4，5列可以看出，此方程组的解是(－1，4，3)．因而β2=－α1+4α2+3β1，故3β1－β2∈W 1∩W 2．又由维数公式易得

dim(W 1∩W 2)=2+2－3=1．

所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W 1∩W 2的一个基．

5.2 直和

考察推论6.5.1成立的情形，下面引入

定义1 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的子空间．若和W 1+ W 2中每个向量α都能唯一地表示为

α=α1+α2，α1∈W 1，α2∈W 2， (10)

则称W 1+W 2为直和，记作W 1⊕W 2．

定理6.5.2 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的子空间，则下列陈述彼此等价：

1)和W 1+W 2是直和；

2)和W 1+W 2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W 1，α2∈W 2，则α1=α2＝θ；

3)W 1∩W 2=0．

证 1) ?2) 显然．

2) ?3) 设?α∈W 1∩W 2，则零向量可表为

θ =α+(－α)，α∈W 1，－α∈W 2．

故由2)得α=θ．因此W 1∩W 2=0．

3) ?1) 任取α∈W 1+W 2，假设α有两种表法：

α=α1+α2，α1∈W 1，α2∈W 2

α=β1+β2，β1∈W 1，β2∈W 2

则α1－β1=β2－α2∈W 1∩W 2．因为W 1∩W 2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W 1+W 2是直和．

定理6.5.3 设W 1，W 2是数域F 上向量空间V 的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价：

1)和W 1+W 2是直和；

2)dim(W 1+W 2)=dim W 1+dim W 2；

3)W 1的一个基与W 2的一个基合并起来是W 1+W 2的一个基．

证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1)? 2)．

3)?2)是显然的．现在证2)?3)：设s αα,,1 是W 1的一个基，r ββ,,1 是W 2的一个基，则 W 1+W 2=L (s αα,,1 )+L (r ββ,,1 )=L (s αα,,1 ,r ββ,,1 )

因为dim(W 1+W 2)=dim W 1+dim W 2=s +r ，所以向量组s αα,,1 ，r ββ,,1 的秩等于s +r ，从而是线性无关的，因此它是W 1+W 2的一个基．

推论6.5.2 设V 是数域F 上的有限维向量空间，U 是V 的一个子空间，则存在V 的一个子空间W ，使得

V =U ⊕W ．

证 因为V 是有限维的，所以子空间U 是有限维的．若U =0，则W =V ．若U ≠0，取U 的一个基s αα,,1 ，把它扩充成V 的一个基

n s s αααα,,,,,11 +．

令W =L (n s a ,,1 +α)，则

U +W =L (s αα,,1 )+L (n s a ,,1 +α)=L (n s s αααα,,,,,11 +)=V

由于U 的一个基与W 的一个基合并起来是U +W 的一个基，因此和U +W 是直和．故V =U ⊕W ．

定义2 设V 是数域F 上的向量空间，U 是V 的一个子空间，若存在V 的一个子空间W ，使得V =U ⊕W ，则称W 是U 在V 里的补空间．这时U 也称为W 在V 里的补空间．

从推论6.5.2知道，若V 是有限维的，则它的每一个子空间都有补空间．注意，一个子空间的补空间未必唯一．例如，在V 3中，设W 是过原点O 的一个平面，则任意一条经过点O 但不在W 上的直线都是W 的补空间．

显然，子空间U 在V 里的补空间的概念与子集U 在V 里的补集的概念是不同的概念，请不要混淆．

例2 设V =M n (F )，其中F 是数域．用W 1表示F 上所有n 阶对称矩阵组成的子空间，用W 2表示所有n 阶反对称矩阵组成的子空间，证明V =W 1⊕W 2．

证 先证V =W 1+W 2．W 1+W 2?V 是显然的．注意到?A ∈V =M n (F )，有

22A A A A A '-+'+=

． 易验证212

2W A A W A A ∈'-∈'+，．因此A ∈W 1+W 2．故V ?W 1+W 2．因此V = W 1+W 2． 又任取B ∈W 1∩W 2，则B ′=B ，并且B ′＝－B ．于是B = －B ，从而2B =0．故B =0．于是W 1∩W 2=0．所以V = W 1⊕W 2．

子空间直和的概念可以推广到s (s ≥2)个子空间的情形．

定义3 设W 1，W 2，…，W s 都是数域F 上向量空间V 的子空间，若和W 1+W 2+…+W s 中每个向量α可唯一地表示成

()s i W i i S ,,2,1,21 =∈+++=ααααα，

则称这个和为直和，记作W 1⊕W 2⊕…⊕W s 或i s

i W ⊕=1.

定理6.5.4 设W 1，W 2，…，W s 是数域F 上向量空间V 的子空间，则下列命题彼此等价：

1)和W 1，W 2，…，W s 是直和；

2)和∑=s

i i W 1中零向量的表法唯一；

3)W i ∩0=∑≠i

j j W ，i =1,2,…,s ．

证 1)? 2) 显然．

2)?3) 任取α∈W i ∩∑≠i j j W ，则－α∈W i 且α∈∑≠i

j j W ．于

是α=∑≠i

j j α，其中αj ∈W j ．因此零向量可以表成

θ=(－α)+α=(－α)+∑≠i

j j α

故由2)得－α=θ，所以α=θ．于是W i ∩∑≠i

j j W =0．

3) ?1) 任取α∈∑=s

i i W 1，假设α有两种表法：

α=α1+α2+…+αs ，αi ∈W i (i =1，2，…，s )，

α=β1+β2+…+βs ，βi ∈W i (i =1，2，…，s )．

任取i ∈{1，2，…，s }，由上两式可得

()∑∑≠≠∈-=-i

j j i i j j j i i W W βααβ

因为W i ∩∑≠i

j j W =0，所以βi －αi =θ，即βi =αi ，i =1,2,…,s ．

定理6.5.5 设W 1，W 2，…，W s 是数域F 上向量空间V 的有限维子空间，则下列命题互相等价：

1)和∑=s

i i W 1是直和；

2)dim(W 1+W 2+…+W s )= ∑=s i i W 1dim ；

3)W i 的一个基，i =1，2，…，s ，合并起来是∑=s

i i W 1的一个基．

证 1)?2) 因为和∑=s i i W 1是直和，据定理6.5.4得，W i ∩∑≠i

j j W

=0，i =1，2，…，s ．于是

dim(∑=s i i W 1)=dim(W 1+∑≠1j j W )=dim W 1+dim(∑≠1

j j W )

注意到W i ∩

∑≠1，i j j W ?W i ∩∑≠i

j j W =0．因此对s 用归纳法，则得 dim(∑≠1

j j W )=∑≠1dim j j W ，

从而得到 dim(∑=s i i W 1)=∑=s i i W 1

dim ．

2)?3) 类似于定理6.5.3 证明中的2) ?3)．

3)?1) 易证和∑=s i i W 1中零向量的表法唯一,从而∑=s

i i W 1是直和.

课外作业：

P328：1、2)；2；3；8．