经典学而思全等三角形全套
第一讲全等三角形的性质及判定
【例1】 如图,AC DE ∥,BC EF ∥,AC DE =.求证:AF BD =.
【补充】如图所示:AB CD ∥,AB CD =.求证:AD BC ∥.
【例2】 已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB DC =,BE CF =,B C ∠=∠.求证:
OA OD =.
【补充】已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.
【补充】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,E 为CD 中点,连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F .求
证:FC AD =.
F
E
D
C
B
A
【例3】 如图,AB CD ,相交于点O ,OA OB =,E 、F 为CD 上两点,AE BF ∥,CE DF =.求证:
AC BD ∥.
O
F E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
D
C
B A F E O D
C B A O
D C B
A
【补充】已知,如图,AB AC =,CE AB ⊥,BF AC ⊥,求证:BF CE =.
F E C
B
A
【例4】 如图,90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=?=⊥⊥,,,,垂足分别为A B ,,试说明AD AB BE +=
E
D
C
B
A
【例10】 如图所示, 已知AB DC =,AE DF =,CE BF =,证明:AF DE =.
【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.
P
F
E
D
C
B
A
【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求证:
BG CF BC +=.
G
A B
C D
E
F
F D
C B
A
【例12】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点.求证:AM CD ⊥.
【补充】如图所示:AF CD =,BC EF =,AB DE =,A D ∠=∠.求证:BC EF ∥.
A B
C
D E
F
【例13】 (1)如图,△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连结EG ,试判
断△ABC 与△AEG 面积之间的关系,并说明理由.
(2)园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知
中间的所有正方形的面积之和是a 平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米,这条小路一共占地多少平方米?
G
F
E
D
C
B A
【例14】 如图,ABC ?中,AB BC =,90ABC ∠=?,D 是AC 上一点,且CD CB AB ==,DE AC ⊥交AB
于E 点.求证:AD DE EB ==.
C
B D
E
A
M E
D
C B A
【例15】 ABC ?中,90B ∠=?,M 为AB 上一点,使得AM BC =,N 为BC 上一点,使得CN BM =,连
AN 、CM 交于P 点.试求APM ∠的度数,并写出你的推理证明的过程.
图3
P D
M N B C A
【例16】 如图,I 是ABC △的内心,且CA AI BC +=.若80BAC ∠=?,求ABC ∠和AIB ∠的大小.
A
B C
I
【例17】 已知:BD CE 、是ABC ?的高,点P 在BD 的延长线上,BP AC =,点Q 在CE 上,CQ AB =,
求证:⑴AP AQ =;⑵AP AQ ⊥.
P
D
Q
C
B
E
A
【例18】 ⑴ 如左下图,在矩形ABCD 中,E 为CB 延长线上一点且AC CE =,F 为AE 的中点.求证:
BF FD ⊥.
⑵ 如右下图,在ABC ?中,BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高,D 为BC 的中点,DM EF ⊥于M .求证:FM EM =.
F E
D
C
B
A M
F
E
D C
B A
18.补充:如图,已知60ABD ACD ∠=∠=?,且1
902
ADB BDC ∠=?-∠.求证:ABC ?是
等腰三角形.
【例19】 如图,ABC ?为边长是1的等边三角形,BDC ?为顶角()BDC ∠是120?的
等腰三角形,以D 为顶点作一个60?角,角的两边分别交AB 于M ,AC 于N ,连接MN ,形成一个AMN ?.求AMN ?的周长.
【习题1】 已知:如图,AB DE ∥,AC DF ∥,BE CF =. 求证:AB DE =.
F
E
D
C B A
【习题2】 已知:△DEF ≌△MNP ,且EF =NP ,∠F =∠P ,∠D =48°,∠E =52°,MN =12cm ,求:∠P 的
度数及DE 的长.
家庭作业
B A
A
M
N
B C
D
【习题3】如图,矩形ABCD 中,E 是AD 上一点,CE EF ⊥交AB 于F 点,若2DE =,矩形周长为16,且CE EF =,求AE 的长.
E
D
C
B
F A
【习题4】在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E .求证:当BE 是B ∠的角平分线
时,有AD BC AB +=.
【备选1】 如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠.
【备选2】 如图所示,在ABC △中,AD BC ⊥于点D ,2B C ∠=∠.求证:AB BD CD +=.
【备选3】 如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F ,交AC 的平行线BG 于G 点,
DE ⊥DF ,交AB 于点E ,连结EG 、EF . (1)求证:BG =CF .
(2)请你判断BE +CF 与EF 的大小关系,并说明理由.
月测备选
A
B
C
D
E
O
C D B A
F
E D
C
B
A
G
第二讲 全等三角形与中点问题
版块一 倍长中线
【例1】 在△ABC 中,9,5==AC AB ,则BC 边上的中线AD 的长的取值
范围是什么?
【补充】已知:ABC ?中,AD 是中线.求证:1
()2
AD AB AC <+.
【例2】 已知:如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,点E 是CD 的中点,BE 的延长线与AD 的延长线相交
于点F .求证:BCE FDE ??≌.
D
F
E
C
B
A
【例3】 如图,在ABC ?中,D 是BC 边的中点,F ,E 分别是AD 及其延长线上的点,CF BE ∥.求证:
BDE CDF ??≌.
B
B C F E
D C B A
【例4】 如图,ABC ?中, 【例5】 如图,已知在ABC ?中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延 长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =. 【例6】 如图所示,在ABC ?和A B C '''?中,AD 、A D ''分别是BC 、 B C ''上的中线,且AB A B ''=,AC A C ''=,AD A D ''=,求证ABC A B C '''??≌. 【例7】 如图,在ABC ?中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交EF 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为ABC ?的角平分线. 【例8】 已知AD 为ABC ?的中线,ADB ∠,ADC ∠的平分线分别交 AB 于E 、交AC 于F .求证:BE CF EF +>. B C F E D C B A B F G E D C B A A 【例9】 在Rt ABC ?中,90A ∠=?,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED FD ⊥.以 线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形? 【例10】 已知△ABC ,∠B =∠C ,D ,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD =CE ,连接DE 交底BC 于G , 求证GD =GE . 【例11】 如图所示,在ABC ?中,D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222BM CN DM DN +=+,求 证()2221 4 AD AB AC =+.(勾股定理的内容,选做) G E D C B A F E D C B A N M D C B A 【例10】 在Rt ABC ?中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在边CA 、CB 上, 满足90DFE ∠=?.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________. 【习题1】 如图,在等腰ABC ?中,AB AC =,D 是BC 的中点, 过A 作AE DE ⊥,AF DF ⊥,且AE AF =. 求证:EDB FDC ∠=∠. 【习题2】 如图,已知在ABC ?中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且 BE AC =,延长BE 交AC 于F ,AF 与EF 相等吗?为什么? 【习题3】 如右下图,在ABC ?中,若2B C ∠=∠,AD BC ⊥,E 为BC 边的中点.求证:2AB DE =. 家庭作业 图 6 G E F D B C A F E D C B A D F E C B A A 【备选1】如图,已知AB=DC,AD=BC,O是BD中点,过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.求证:∠E=∠F 【备选2】如图,ABC ?中,AB AC =,90 BAC ∠=?,D是BC中点,ED FD ⊥,ED与AB交于E,FD 与AC交于F.求证:BE AF =,AE CF =. 第三讲全等三角形与角平分线问题 【例1】在ABC ?中,D为BC边上的点,已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =,求证:AB AC =. D C B A 【例2】已知ABC ?中,AB AC =,BE、CD分别是ABC ∠及ACB ∠平分线.求证:CD BE =. E D C B A 【例3】如图,在ABC ?中,60 B ∠=?,AD、CE分别平分BAC ∠、BCA ∠,且AD与CE的交点为F.求证:FE FD =. A B C D E F F B E D C A 【例4】 如图,已知ABC ?的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D , 且3OD =,求ABC ?的面积. 【补充】如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠. 【例5】 已知ABC ?中,60A ∠=o ,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、 CD 、BC 的数量关系,并加以证明. O E D C B A 【例6】 如图,已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =. E D C B A 4 32 1 【例7】 如图所示,OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线,OA OC =,OB OD =.求证:AB CD =. A D O C B A B C D E O P D B O C A 【例8】 如图所示,已知ABC ?中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =.求 证:EF ∥AB F A C D E B 【例10】 如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作CE AB E ⊥于,并且1 ()2 AE AB AD =+,则 ABC ADC ∠+∠等于多少? E D C B A 【补充】长方形ABCD 中,AB =4,BC =7,∠BAD 的角平分线交BC 于点E ,EF ⊥ED 交AB 于F ,则 EF =__________. F E D C B A 【补充】在ABC ?中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点. 求证:AB AC PB PC ->-. C D B P A 【例11】 如图,在ABC ?中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=. D C B A 【例12】 如图,ABC ?中,AB AC =,108A ∠=?,BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+. A B C D 【巩固】已知等腰ABC ?,100A ∠=?,ABC ∠的平分线交AC 于D ,则BD AD BC +=. 【例13】 如图所示,在ABC ?中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=. M D C B A 【例14】 如图,ABC ?中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ,AE CE ⊥ C B 于E .求证:AD AE =. H G D A B C E 【例15】 如图,180A D ∠+∠=?,BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上. ① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系. E D C B A 【习题2】如图,在ABC ?中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:2B C ∠=∠. D C B A 【习题3】AD 是ABC ?的角平分线,BE AD ⊥交AD 的延长线于E ,EF AC ∥交AB 于F .求证:AF FB =. 家庭作业 D E C F B A 【习题4】如图所示,AD平行于BC,DAE=EAB ∠∠,ABE=EBC ∠∠,AD=4,BC=2,那么AB=________.【习题5】ABC ?中,D为BC中点,DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E,EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G.求证:BF CG =. E G F D C B A 【备选1】在ABC ?中,AD平分BAC ∠,AB BD AC +=.求: B C ∠∠的值. C D B A 月测备选 【备选2】如图,已知在ABC ?中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥.求证:2AC AB BE -=. 21E C B A 【备选3】如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,A ∠的平分线AE 交DC 于E ,求证:当BE 是B ∠的平分线时,有AD BC AB +=. E B C D A 第四讲 全等三角形与旋转问题 【例1】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.(1)求证:AN BM =. (2)求证:CD=CE A C (3) 求证:CF 平分∠MCN (4) 求证:DE ∥AB 【例2】 如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .求证:AE CG . G F E D C B A A C B A C B 【例3】 如图,等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点.求证:AE BD =. D E C B A 【例4】 如图,D 是等边ABC ?内的一点,且BD AD =,BP AB =,DBP DBC ∠=∠,问BPD ∠的度数是 否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由. P D C B A 【例5】 如图,等腰直角三角形ABC 中,90B =?∠,AB a =,O 为AC 中点,EO OF ⊥.求证:BE BF +为定值. O B E C F A 【补充】如图,正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转,其交点为E 、F ,求证:AE CF AB +=. 5 432 1 O H B E D K G C F A 【例6】 (2004河北)如图,已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点,点F 是CB 的延长线上一点,且 EA AF ⊥. 求证:DE BF =. F E D C B A 【补充】如图所示,在四边形ABCD 中,90ADC ABC ∠=∠=?,AD CD =,DP AB ⊥于P ,若四边形ABCD 的面积是16,求DP 的长. P D C B A 【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =?∠,AH EF ⊥,H 为垂足,求 证:AH AB =. 【巩固】如图,正方形ABCD 的边长为1,点F 在线段CD 上运动,AE 平分BAF ∠交BC 边于点E . ⑴求证:AF DF BE =+. ⑵设DF x =(01x ≤≤),ADF ?与ABE ?的面积和S 是否存在最大值?若存在,求出此时x 的值及S .若不存在,请说明理由. F E D C B A C H F E D B A