六章平稳时间序列

第六章平稳时间序列模型

时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。

第一节基本概念

一、随机过程

在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数 ，它是一个随机变

量。若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考查它随时间变化的情形，则｛t GNP ｝就是一个随机过程。

一般地，若对于每一特定的t （t T ∈），t y 为一随机变量，则称这一族随机变量｛t y ｝为一个随机过程。随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集T 和t y 的取值的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。为了简便，我们以参数集和t y 的取值的特征来分类。以参数集T 的性质，随机过程可分为两大类：T 为可数集合与不可数集合。

以t y 所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类：离散状态，即t Y 所取的值是离散的点；连续状态，即t y 所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类：离散参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。

二、时间序列

离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。

时间序列的特点是：序列中的数据依赖于时间顺序；序列中每个数据的取值具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的相关性--系统的动态规律；序列整体上呈现某种趋势性或周期性。时间序列的统计特征通常用其分布及数字特征来刻画。例如期望()t E y ，方差()t Var y 和协方差Cov(,)t s y y 。

研究时间序列具有重要的现实意义，通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。

三、时间序列的平稳性与滞后算子

所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时，其估计方法、检验过程才可能采用前面几章所介绍的方法。

直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程｛t y ｝的联合分布函数与时间的位移无关。设｛t y ｝为一随机过程，n 为任意正整数, h 为任意实数，若联合分布函数满足：

()()1

2

1

,,,1,

,1,

,,,t t

t t h t h

n

n y y y n y y n F x x F x x ++=

则称｛t y ｝为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。

弱平稳是指随机过程{t y }的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。若｛t y ｝满足以下三条件：

()t E y μ=，2()t Var y σ=，Cov(,)()t s y y f t s =-

则称｛t y ｝为弱平稳随机过程。在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱平稳，弱平稳通常也被称作宽平稳。

需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。

由于时间序列分析中经常用到白噪声过程，所以有必要对它介绍一下。 对于一个随机过程{,}t y t T ∈，如果()0t E y =；2()t Var y σ=<∞；

(,)0t s Cov y y =，t s ≠，则称{,}t y t T ∈为白噪声过程。

白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果{}t y 同时还服从正态分布，则它

就是一个严平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。下图是由噪声过程产生的时间序列。

-3

-2-1

012

320

40

60

80

100120140160180200

white noise

-4

-20

24

204060140160DJ PY

图1 由白噪声过程产生的时间序列 图2 日元对美元汇率的收益率序列

在时间序列分析中，我们经常要用到滞后算子L ，它的定义为

1-=t t y Ly

这个滞后算子L 是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。如果应用两次滞后算子，我们有

21)(--==t t t y Ly Ly L

记两个滞后算子的乘积为2L ，有22-=t t y y L 。规定t t y y L =0，即它是一个恒等映射。滞后算子L 的逆算子1-L 满足11+-=t t y y L 。一般地，对于任意的整数，我们有

k t t k y y L -=

滞后算子L 对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数β和时

间序列+∞-∞=t t y }{，+∞

-∞

=t t x }{，+∞-∞=t t w }{，我们有 t t Ly y L ββ=)( t t t t Lw Lx w x L +=+)(

这样如果t t Lx bL a y )(+=，那么有

212)(--+=+=t t t t bx ax x bL aL y

另一个例子是

2

211212

2212121)()1()1)(1(--++-=+--=--t t t t x x x x L L L x L L λλλλλλλλλλ

像)(2bL aL +这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。

第二节 移动平均（MA ）过程

在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型(Moving-Average Model, 缩写为MA 模型)，它可以看作是白噪声序列的简单推广。

一．一阶移动平均过程()1MA

如果{}t u 满足白噪声过程，定义过程

1t t t y u u μθ-=++

其中μ和θ为常数，这个序列称为一阶移动平均过程()1MA 。

期望为 ()()()1t t t E y E u E u μθμ-=++= 方差为 ()()()2

2

2211t t t E y E u u μθθσ--=+=+

一阶自协方差为 ()()()21112cov ,t t t t t t y y E u u u u θθθσ----=++= 高阶自协方差为 ()()()11cov ,0t t j t t t j t j y y E u u u u θθ-----=++= （1j >） 上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管θ为何，()1MA 过程都是协方差平稳的。

而一阶自相关系数 ()21222

11θσθ

ρθθσ==++ （） 高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1阶处截尾。 [例1] 10.8t t t y u u -=+，此时12

0.80.51 1.64

θρθ=

=?+ 11

0.8

t t t x u u -=+

, 此时122

1/0.80.511(1/0.8)θρθ==?++

这时MA(1)序列}{t x 与}{t y 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合适呢

对于MA(1)过程，还有几点值得注意：(1) 正的θ值得到正的自相关系数，一个大的t y 后面通常是一个比平均值大的t y ；(2) 负的正的θ值得到负的自相关系数，一个大的t y 后面通常是一个比平均值小的t y ；(3) 自相关系数的取值区间[]11,1ρ∈-，并且对于每一个()10.5,0.5ρ∈-，都有θ和1/θ与之对应；(4)某些金融时间序列可能是零均值，这时就应当是把这个常数均值μ从模型中移除，使得MA(1)模型变为1t t t y u u θ-=+。

二．q 阶移动平均过程()MA q ：

q 阶滑动平均过程的表达式为：

1122...t t t t q t q y u u u u μθθθ---=+++++

其中{}t u 为白噪声过程，()12,,...,q θθθ为任何实数。其均值、方差、自协方差和自相关函数分别为：

()t E y μ=

()()

()2

011222222

1

2

... 1...t t t t q t q q

Var y E u u u u γθθθθθθσ

---==++++=++++ （）

()

()()()11112

1122cov , ......... 1,2,..., 0 j t t j t t q t q t j t j q t j q j j j q q j y y E u u u u u u j q j q

γθθθθθθθθθθθσ--------++-==++++++?++++=?=?

>??

（）

即自协方差函数在q 阶处截尾。

由(12)式立即可得q 阶移动平均过程的自相关函数为

??

?

??>=++++++++=-++q k q k q k

q q k k k k 0,,2,1 1222212211 θθθθθθθθθθρ (13)式告诉我们，当移动平均过程的阶为q 时，间隔期大于q 的自相关函数值为零。这个性质称为)(q MA 的自相关函数的截尾性，意思是说，自相关函数的图形随着自变量k 到达)1(+q 时突然被截去。)(q MA 的截尾性给我们一个重要启示：如果某时间序列是来自一个移动平均过程，则当该时间序列的样本自相关函数，

从某个间隔期)1?(+q

开始，其值均为零时，我们就可以推测，原时间序列的阶数为q

?。 [例2] ()2MA 过程 1122t t t t y u u u θθ--=++

容易算得 ()2220121γθθσ=++ ，()21112γθθθσ=+，222γθσ=，0j γ=， 2j >；

121122121θθθρθθ+=

++，2

2

22

121θρθθ=++，0j ρ=， 2j >。

[例3] 下式为一个一阶移动平均过程

11.60.3t t t y u u -=++

其中t u 是22σ=高斯白噪声过程，表1是它容量为100的一个样本。

表1 一阶自回归过程11.60.3t t t y u u -=++的一个实现

t t Y

t t Y

t t Y

t t Y

1 26 51 76

2 27 52 77

3 28 53 78

4 29 54 79

5 30 55 80 6

31

56

81

7 32 57 82 8 33 58 83 9 34 59 84 10 35 60 85 11 36 61 86 12 37 62 87 13 38 63 88 14 39 64 89 15 40 65 90 16 41 66 91 17 42 67 92 18 43 68 93 19 44 69 94 20 45 70 95 21 46 71 96 22 47 72 97 23 48 73 98 24 49 74 99 25

50

75

100

(1)画出t y 的线图；(2)求t y 的总体自相关函数； (3)根据表中样本求样本自相关函数。

在EViews 中输入命令 Plot y,可得该样本的线图如下

-4

-20246810

20

30

40

5060

70

80

90

100

Y

图3 过程1t t t -的线图

根据公式(13)式，容易求得t y 的总体自相关函数为

1

22

10.30.2752, 1110.30, 1k k k θθρ?=≈=?

++=??>?

在EViews 中双击序列t y ，然后点击View\Correlograms,选择水平序列可得Autocorrelation and Partial correlations 函数图如下，

图4 过程11.60.3t t t y u u -=++的自相关与偏相关柱状图

从上图的样本自相关函数值可以看出：滞后2期的自相关函数值

2?0.112ρ

=与1?0.404ρ=相比，大幅度减少，2>k 的样本自相关函数值越来越小。

三．无限阶移动平均过程()MA ∞

对于一个)(q MA 过程，如果让∞→q ，我们就得到如下的过程：

11220t j t j t t t j y u u u μθεμθθ∞

---==+=++++

∑

我们称此过程为)(∞MA 过程，这里01θ=。我们可以证明：如果)(∞MA 过程的系数是平方可和的，即

2

j

j θ

∞

=<∞∑

那么)(∞MA 是一个平稳的过程。一般地我们用一个更强的绝对可和条件

∞<∑∞

=0

j j

ψ

来代替平方可和条件，绝对可和蕴涵平方可和。系数是绝对可和的

)(∞MA 过程的均值和自协方差分别为

1122[]lim ()t t t t T t T T E y E u u u u μθθθμ---→∞

=++++

+=

22

011222222

1

2

()lim ()lim(1)t t t t T t T T T

T E y E u u u u γμθθθθθθσ

---→∞

→∞

=-=+++

+=+++

+

2

01122()()

()

j t t j j j j E y y γμμσθθθθθθ-++=--=+++

四、移动平均过程的识别

由(13)式可知，MA 过程的阶等于自相关函数值不为零的最大滞后阶数k 。我们怎么能够由可得之时间序列来判断MA 过程的自相关函数在某处(即某间隔长度)的值为零呢从例3可知，即使是MA 过程的自相关函数在某处的真值为零，但由MA 过程所产生的一个实现来计算的样本自相关函数在同一处的值却不等于零。这表明，我们不能因为样本自相关函数在某处的值不为零来断定总体自相关函数在同一处的值也不为零。幸而，我们可以知道样本自相关函数值的分布。这样，我们就可以根据样本自相关函数值的分布来进行总体相应的自相关函数值是否为零的显著性检验。

根据George G. Judge (1982)等所述1，在样本充分大的条件下，自相关函数k ρ的置信度为95%的置区间近似为

)2?,2?(n

n k k +-ρ

ρ

其中，1

2

1

()()

?()n k

t

t k t k n

t

t y

y y y y

y ρ

--==--=-∑∑为样本自相关函数，n 为样本容量。于是我们有：

如果自相关函数值0=k ρ，则在大样本条件下，相应的样本自相关函数值以95%

的概率落入区间????

?

?-n n 2,2。由此可得显著性检验程序如下：

第一步：根据所得随机时间序列的一个样本计算样本自相关函数值k ρ

?。 第二步：检验k ρ?是否落入区间???? ?

?-n n 2,2，或者检验k ρ

?的绝对值是否小于n

2：

如果k ρ?落入区间?

???

?

?-n n 2,2或其绝对值小于n 2，则在5%的显著性水平下，不拒绝0=k ρ；如果k ρ?在区间?

???

?

?-n n 2,2之外或其绝对值大于n 2，则拒绝0=k ρ。

[例4] 设时间序列t y 是来自MA 过程，表2的数据是它的一个样本容量为48的一个实现，试确定这个MA 过程的阶。

表2 移动平均过程t y 的一个实现

1 George G. Judge, R. Carter Hill, William E. Griffiths, Helmut L ütkepohl, and Tsoung-Chao Lee

“Introduction to the Theory and Practice of Econometrics ”, , Copyright 1982, 1988 by John Wiley & Sons, Inc.

时期 t t y

时期

t t y

时期

t t y

1 17 33

2 18 34

3 19 35

4 20 36

5 21 37

6 22 38

7 23 39

8 24 40

9 25 41 10 26 42 11 27 43 12 28 44 13 29 45 14 30 46 15 31 47 16

32

48

[解] 由表2，根据样本自相关系数，计算可得k ρ

?的一系列值：

而

2887.048

22==

n

，显然有

???><=>1

,2887.01,2887.0?k k k ρ

故在5%的显著性水平下，拒绝01=ρ，接受0=k ρ，当1>k 。这表明表2的数据产生于一个MA(1)过程。 五、移动平均过程的参数估计

移动平均过程的参数据估计就是在已确定移动平均过程的阶以后，根据它的一个现实或样本),,,(21'n Y Y Y ，来估计移动平均过程的均值)(t Y E =μ，诸移动平均系数(或称权数)θ，以及被假定为白噪声过程或高斯白噪声过程的t u 的方差

2u σ。由于不可逆的移动平均过程意义不大，所以我们只研究的可逆的移动平均过程，因为有限阶移动平均过程是平稳的，所以其均值为常数，而这个常数完全可以由样本平均数来估计。因此，均值的估计也就不成为问题。正因为如此，不失一般性，我们假定)(q MA 的均值0)(==t Y E μ，以便于对其它参数的估计(若不然，只要将移动平均过程的每一项减去其均值，而均值的估计值是可得的)。

故可设

q t q t t t t u u u u Y ---++++=θθθ 2211

其中{}t u 是一白噪声过程。

估计式中的参数的一个直接方法是将它化成)(∞AR 的形式(因为它是可逆的，所以这种转换是可行的)：

t t u Y L L L =++++)1(33221 ηηη

即

t t t t t u Y Y Y Y +----=--- 332211ηηη

求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸η，即求诸η，使

∑∞

=---++++=12332211321)(),,,(t t t t t Y Y Y Y S ηηηηηη

最小。

但由于样本容量是有限值n ，所以上式可简化为

∑=----+++++=n

t t t t t t n Y Y Y Y Y S 1

211332211321)(),,,,(ηηηηηηηη

即，我们的估计问题首先就是要求求诸η，使),,,,(321n S ηηηη 最小(10=η)。当我们估计出诸η以后，再根据诸η与诸θ的关系，求出诸θ的估计值，而t u 的方差2u σ则可由下式估计：

q

n S n u -=)?,,?,?,?(?3212ηηηη

σ

或

n

S n u

)?,,?,?,?(?3212ηηηη

σ =

上述过程所用的方法是最小二乘法，但是由于诸η与诸θ的关系十分复杂，所以上述估计属于非线性估计，往往要在一组初始值下进行迭代。有计量经济学软件EViews 中有相应的程序对)(q MA 过程进行参数估计。

例如：如要估计MA(2)过程，则估计命令为

Ls y c MA(1) MA(2)

下图是某MA(2)序列的EViews 估计的输出结果

图5 MA(2)过程的EViews 估计结果

若假设式中{}t u 是一高斯白噪声过程，则可用最大似然估计来估计模型中的参数。

例如对于高斯()1MA 过程

1t t t Y u u μθ-=++ （）

其中()2 0,t

u iid N σ。()2,,μθσ=θ表示要估计的总体参数。如果1t u -已知，则

()()21

1,t t t Y u N u μθσ--+ （）

其概率密度函数为：

(

)()12112;2t t t t t t Y u y u f y u μθθσ---??

---=??????

（） 如果已知00u =，则

()210

,Y u N μσ （）

给定观察值1y ，则1u 就是确定的

11u y μ=- （）

代入（），得到

(

)()210221210,02,0;2Y Y u y u f y y u μθθσ=??---==??????

（） 因为1u 确知，2u 可由下式求出：

221u y u μθ=-- （）

通过迭代法由{}12,,...,T y y y 求出{}12,,...,T u u u 整个序列：

1t t t u y u μθ-=-- （）

1,2,...,t T =，从00ε=开始。则第t 个观测值的条件密度为：

()(

)121011210,,...,,0212,,...,,0;;2t t t t t t t t Y Y Y Y u t t t Y u f y y y y u u f y u θθσ-----=-=??

-==??

??

（）

则样本似然函数为

()

()()

1101012101210,,...,01012100,,...,,02,,,...,0;0;,,...,,0;T T t t t T T T Y Y Y u T

t t t Y u Y Y Y Y u t f y y y y u f y u f y y y y u θθθ-----=--=======∏ （）

条件对数似然函数为

()()()()110110,,...,022

2

1ln ,,...,0; ln 2ln 222T T T T Y Y Y u T

t t L f y y y u u T T θθπσσ

--==??

==??

=---∑ （） 其中，利用（）和观察值序列可以求出隐含的白噪声序列。但是条件似然函数仍然是非线性函数。需要使用数值解法求参数。

第三节 自回归（AR ）过程

另一类常用的模型是自回归模型(Auto Regressive Model ，缩写为AR 模型)。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP ）价值指数的月收益率t r 具有统计显著的间隔为1的自相关系数，这表明延迟的收益1-t r 在预测t r 时会有一定的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。 一．一阶自回归过程()1AR

表达式为方程：

1t t t y c y u φ-=++ （）

t u 为白噪声序列。

如果1φ>，过程（）中t u 对t y 的影响随着时间累增而不是消失，过程不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。当1φ<时，过程为协方差平稳过程，此时利用滞后算子过程变为：

()1t t L y c u φ-=+ （）

利用求逆，从而得到此过程的解为()MA ∞过程：

()2221211 1......1 .....

1t t t t t t u c y L L c L L u c u u u φφφφφφφφ--=

+

--=++++-=++++- （）

明显，当1φ<时，满足绝对可加性：

1

1j

j j j θφφ

∞∞

====

<∞-∑∑ （） 此时过程的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为：

()1t c

E y μφ

==

- ()()()2

2

2301232

2

4

6

2

2

..... 1.....1t t t t t E y E u u u u γμφφφσφφφσφ---=-=++++=++++=

-

()()

()()()2212122

4

2

2

2

........ ... 1j t t j t t t t j t j t j j j

j j E y y E u u u u u u γμμφφφφφφφ

φ

σσ

φ--------++=--=++++++=+++=- （） 0

j

j j γρφγ=

= 从自相关函数可以发现：当1φ<时，自相关函数按几何方式衰减。t u 增加一个单位对于t j y +的影响等于t y 和t j y +之间的相关系数。正的φ值意味着t y 和

t j y +之间正相关。负的φ值意味着t y 和t j y +之间负相关。此时自相关函数拖尾。

如果假定过程是协方差平稳的，可直接利用差分方程1t t t y c y u φ-=++计算各阶矩。对（）式两边取期望：

()()1t t E y c E y φ-=+

从而，

()1t c

E y μφ

==

- （）

对（）式变形，得到：

()11t t t y y u μφφ-=-++ 或()()1t t t Y Y u μφμ--=-+ （）

两边平方求期望：

()()()()2

2

22

112t t t t t E y E y E y u E u μφμφμ---=-+-+????

将()21123....t t t t y u u u μφφ-----=+++代入（25），可得

2200γφγσ=+

从而得到协方差平稳()1AR 过程的方差：

2

02

1σγφ=- （）

根据同样的道理，（）两侧同时乘以()t j y μ--，再求期望，可得自协方差函数：

()()()()()1t t j t t j t t j E y y E y y E y μμφμμεμ----??????--=--+-??????

即

1j j γφγ-= （）

解自协方差函数的差分方程，得到

0j j γφγ= （）

自相关函数为：

j

j j γρφγ=

= （） 二．二阶自回归过程()2AR

表达式为

1122t t t t y c y y u φφ--=+++ （）

或者写成滞后算子形式：

()2

1

2

1t

t L L y

c u φφ--=+ （）

差分方程（）的平稳条件是特征方程()22110z z φφ--=的根都落在单位圆外。此时自回归算子的逆为：

()()

1

22120121....L L L

L L ?φφ???-=--=+++ （）

这里的j ?由矩阵j F 的第()1,1个元素给出。

将（）两边同时乘以()L ?得到：

()()t t y L c L u ??=+

显然

()()12

1t c E y L c μ?φφ===

-- （）

也可直接对（）两边取期望，从而有

()()()112212t t t E y c E y E y c μφφφμφμ--==++=++ （）

再次得到

()12

1t c E y μφφ==

-- （）

系统（）变形为

()1211221t t t t y y y u μφφφφ--=--+++

进一步变形

()()1122t t t t y y y u μφμφμ---=-+-+ （） 两边同时乘以()t j y μ--，求期望，得到

1122j j j γφγφγ--=+ 1,2,....j = （）

两边同时除以0γ，得到

1122j j j ρφρφρ--=+ 1,2,....j = （）

可见，对于()2AR 过程，其自协方差和自相关函数仍然是差分方程。当1j =时，

()112/1ρφφ=-；当2j =时，2112ρφρφ=+；由此通过逐次求解迭代就可以求得

自相关函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。

下面我们求二阶自回归过程的方差。（）两侧同时乘以()t y μ-，再求期望得到：

()()()()()()2

1122t t t t t t t E y E Y y E y y E u y μφμμφμμμ---=--+--+-???? 即

22011220110220γφγφγσγφργφργσ=++?=++

整理一下，得到

()()()22022

221111φσγφφφ-=??+--??

（） 三．p 阶自回归过程()AR p

表达式为：

1122....t t t p t p t y c y y y u φφφ---=+++++ （）

其平稳性条件为特征方程2121...0p p z z z φφφ----=的根都在单位圆外。假设过程协方差平稳，则对（）两边求期望，得到：

12...p c μφμφμφμ=++++

从而可以得到均值：

()12/1...p c μφφφ=---- （）

表达式（）可以写成：

()()()1122....t t t p t p t y y y y u μφμφμφμ----=-+-++-+ （）

表达式两侧同时乘以()t j y μ--，再取期望可得自协方差：

11222

1122... 1,2,...

...+ 0

j j p j p j p p j j φγφγφγγφγφγφγσ---+++=?=?+++=? （） 已知j j γγ-=，因此得到结论：当0,1,2,...,j p =时，01,,...,p γγγ是212,,,...,p σφφφ的函数。

（）两侧同时除以0γ，得到尤拉--沃克（Yule-Walker ）方程：

1122...j j j p j p ρφρφρφρ---=+++ 1,2,....j = （）

因此表达式（）和（）表明，p 阶自回归过程的自协方差函数和自相关函数具有相同形式的p 阶差分方程，其自相关函数的具有拖尾特征。也就是说随着k 的增