江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)

计数原理与二项式定理

A组——大题保分练

1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集．

(1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；

(2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．

解：(1)110.

(2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个．

当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素,

则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑

k＝1C k n(2k－1)＝

n

∑

k＝0

C k n2k－

n

∑

k＝0

C k n＝3n－2n个．

同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个．

故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n.

2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈

N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i

＞a i＋1

(i∈{1,2,…,n－1})．

(1)求f(3)；

(2)求f(n)．

解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4.

(2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中,

若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1

n－1.

若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)．

综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1

∑

i＝1

C i－1

n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.

从而f (n )＝23 1－2n －3

1－2

－(n －3)＋f (3)＝2n －n －1.

3．(2018·南京、盐城一模)已知n ∈N

*,nf (n )＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n .

(1)求f (1),f (2),f (3)的值；

(2)试猜想f (n )的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想．

解：(1)由条件,nf (n )＝C 0

n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n ,①在①中令n ＝1,得f (1)＝C 0

1C 11＝1.在①中令n ＝2,得2f (2)＝C 0

2C 12＋2C 12C 22＝6,得f (2)＝3.在①中令n ＝3,得3f (3)＝C 0

3C 13＋2C 13C 23＋3C 23C 33＝30,得f (3)＝10.(2)猜想f (n )＝C n

2n －1(或f (n )＝C n －12n －1)．欲证猜想成立,只要证等式n C n

2n －1＝C 0n C 1n ＋2C C ＋…＋r C －C ＋…＋n C C n

成

立．

法一：(直接法)当n ＝1时,等式显然成立．

当n ≥2时,因为r C r n

＝r ×n ！r ！ n －r ！＝

n ！ r －1 ！ n －r ！

＝n × n －1 ！ r －1 ！ n －r ！

＝n C r －1n －1, 故r C r －

1n C r n ＝(r C r n )C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n .故只需证明n C n

2n －1＝n C 0n －1C 0n ＋n C 1n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1·C r －1n ＋…＋n C n －1C n －1n .即证C n

2n －1＝C 0n －1C 0n ＋ C 1n －1C 1n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1C n －1n .而C r －1n ＝C n －r ＋1n ,故即证C n 2n －1＝C 0n －1C n n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1

n .②由等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 可得,左边x n 的系数为C n

2n －1.而右边(1＋x )n －1(1＋x )n ＝(C 0n －

1＋C 1n －1x ＋C 2n －1x 2＋…＋C n －1x n －1)(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n x n ),

所以x n 的系数为C 0n －

1C n ＋ C 1n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1·C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1C 1n .由(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 恒成立可得②成立．

综上,f(n)＝C n2n－1成立．

法二：(构造模型)构造一个组合模型,一个袋中装有(2n－1)个小球,其中n个是编号为1,2,…,n的白球,其余(n－1)个是编号为1,2,…,n－1的黑球．现从袋中任意摸出n

个小球,一方面,由分步计数原理其中含有r个黑球((n－r)个白球)的n个小球的组合的个数为C r n－1·C n－r n,0≤r≤n－1,由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为C0n－1 C n＋C1n－1C n－1n＋…＋C r－1

n＋…＋C n－1C1n.

n－1C n－r＋1

另一方面,从袋中(2n－1)个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为C n2n－1.

故C n2n－1＝C0n－1C n n＋ C1n－1C n－1n＋…＋ C r－1

n＋…＋ C n－1n－1C1n,余下同法一．

n－1C n－r＋1

法三：(利用导数)由二项式定理,

得(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n x n.③

两边求导,得n(1＋x)n－1＝C1n＋2C2n x＋…＋r C r n x r－1＋…＋n C n n x n－1.④

③×④,得n(1＋x)2n－1＝(C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n)·(C1n＋2C2n x＋…＋r C r n x r－1＋…＋n C n x n－1)．⑤

左边x n的系数为n C n2n－1.

右边x n的系数为C1n C n＋2C2n C n－1n＋…＋r C r n C n－r＋1n＋…＋n C n C1n＝C1n C0n＋2C2n C1n＋…＋r C r n C r－1n＋…＋n C n C n－1n＝C0n C1n＋2C1n C2n＋…＋r C r－1n C r n＋…＋n C n－1n C n.

由⑤恒成立,得n C n2n－1＝C0n C1n＋2C1n C2n＋…＋r C r－1n C r n＋…＋n C n－1n C n n.

故f(n)＝C n2n－1成立．

法四：(构造模型)由nf(n)＝C0n C1n＋2C1n C2n＋…＋r C r－1n C r n＋…＋n C n－1n C n,

得nf(n)＝n C n－1n C n＋(n－1)C n－2n C n－1n＋…＋C0n C1n＝n C0n C1n＋(n－1)C1n C2n＋…＋C n－1n C n,所以2nf(n)＝(n＋1)(C0n C1n＋C1n C2n＋…＋C n－1n C n n) ＝(n＋1)(C n n C1n＋C n－1n C2n＋…＋C1n C n n),构造一个组合模型,从2n个元素中选取(n＋1)个元素,则有C n＋12n种选法,现将2n个

元素分成两个部分n,n,若(n＋1)个元素中,从第一部分中取n个,第二部分中取1个,

则有C n n C1n种选法,若从第一部分中取(n－1)个,第二部分中取2个,则有C C种选法,…,由分类计数原理可知C n＋12n＝C n n C1n＋C n－1n C2n＋…＋C1n C n n.

故2nf(n)＝(n＋1)C n＋12n,

所以f (n )＝

n ＋12n · 2n ！ n ＋1 ！ n －1 ！＝ 2n －1 ！n ！ n －1 ！

＝C n 2n －1.4．(2018·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝(x ＋5)2n ＋1(n ∈N *,x ∈R )．(1)当n ＝2时,若f (2)＋f (－2)＝5A ,求实数A 的值；(2)若f (2)＝m ＋α(m ∈N *,0<α<1),求证：α(m ＋α)＝1.

解：(1)当n ＝2时,f (x )＝(x ＋5)5＝

C 05x 5＋C 15x 4

5＋C 25x 3(5)2＋C 35x 2(5)3＋C 45x (5)4＋

C 5(5)5,

所以f (2)＋f (－2)＝(2＋5)5＋(－2＋5)5＝2[C 15(5)124＋C 35(5)322＋C 5(5)5]＝

2(5×165＋10×4×55＋255)＝6105,

所以A ＝610.

(2)证明：因为f (x )＝(x ＋5)2n ＋1＝C 02n ＋1x 2n ＋1＋C 12n ＋1x 2n 5＋C 22n ＋1x 2n －1(5)2＋…＋C 2n ＋1(

5)2n ＋1,

所以f (2)＝C 02n ＋122n ＋1＋C 12n ＋122n 5＋C 22n ＋122n －1(5)2＋…＋C 2n ＋1(5)2n ＋1,

由题意知,f (2)＝(5＋2)2n ＋1＝m ＋α(m ∈N *,0<α<1),首先证明对于固定的n ∈N *,满足条件的m ,α是唯一的．

假设f (2)＝(2＋5)2n ＋1＝m 1＋α1＝m 2＋α2(m 1,m 2∈N *,0<α1<1,0<α2<1,m 1≠m 2

,

α1≠α2),

则m 1－m 2＝α2－α1≠0,而m 1－m 2∈Z ,α2－α1∈(－1,0)∪(0,1),矛盾．所以满足条件的m ,α是唯一的. 下面我们求m 及α的值：

因为f (2)－f (－2)＝(2＋5)2n ＋1－(－2＋5)2n ＋1＝(2＋5)2n ＋1＋(2－5)2n ＋1＝2[C

02n ＋122n ＋1＋C 22n ＋1·22n －1(

5)2＋C 42n ＋122n －3(5)4＋…＋C 2n 2n ＋121(5)2n ],

显然f (2)－f (－2)∈N *. 又因为5－2∈(0,1),故(5－2)

2n ＋1∈

(0,1),即f (－2)＝(－2＋5)2n ＋1＝(5－2)2n ＋1∈(0,1).

所以令m ＝2[C 02n ＋122n ＋1＋C 22n ＋122n －1(5)2＋C 42n ＋1·22n －3(5)4＋…＋C 2n 2n ＋121(5)2n ],

α＝(－2＋5)2n ＋1,

则m ＝f (2)－f (－2),α＝f (－2),又m ＋α＝f (2),

所以α(m ＋α)＝f (－2)·f (2)＝(2＋5)2n ＋1·(－2＋5)2n ＋1＝(5－4)2n ＋1＝1.

B 组——大题增分练

1．(2016·江苏高考)(1)求7C 3

6－4C 47的值；(2)设m ,n ∈N *,n ≥m ,求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)·C m

m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m

n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.解：(1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0.(2)证明：当n ＝m 时,结论显然成立．

当n ＞m 时,(k ＋1)C m

k ＝ k ＋1 ·k ！m ！· k －m ！

＝(m ＋1)·

k ＋1 ！

m ＋1 ！·[ k ＋1 － m ＋1 ]！

＝(m ＋1)C m

＋1k ＋1,k ＝m ＋1,m ＋2,…,n .又因为C m

＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2,所以(k ＋1)C m

k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1),k ＝m ＋1,m ＋2,…,n .因此,(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ]

＝(m ＋1)C m ＋2＋(m ＋1)[(C 2m ＋3－C m ＋2)＋(C 2m ＋4－C 2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m

＋2n ＋2.2．(2018·南京、盐城二模)现有n n ＋1

2

(n ≥2,n ∈N *)个给定的不同的数随机排成一个

下图所示的三角形数阵：

*

**

***

……………

…………………**…………**

…………第1行…………第2行…………第3行…………第n 行设M k 是第k 行中的最大数,其中1≤k ≤n ,k ∈N *.记M 1

.(1)求p 2的值；

(2)证明：p n >C 2n ＋

1

n ＋1 ！

.

解：(1)由题意知p 2＝2A 2A 3＝2

3,即p 2

的值为23.(2)证明：先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为

n n n ＋1 2

＝2

n ＋1

；去掉第n 行已经排好的n 个数,则余下的

n n ＋1

2

－n ＝

n n －1

2

个数中最大数在第n －1行的概率为

n －1n n －1 2

＝2

n

；

…

故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1 n ＋1 ×n ×…×3＝2n

n ＋1 ！

.

由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0

n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n >C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1,故2n n ＋1 ！>C 2n ＋2 n ＋1 ！,即p n >C 2n ＋

1 n ＋1 ！

.3．(2018·苏州暑假测试)设集合M ＝{－1,0,1},集合A n ＝{(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈M ,i ＝

1,2,…,n },集合A n 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2

|＋…＋|x n |≤m ”的元素个数记为S n m .(1)求S 2和S 4

2的值；(2)当m

<3n ＋2m ＋1－2n ＋1

.解：(1)S 2＝8,S 4

2＝32.(2)证明：设集合P ＝{0},Q ＝{－1,1}．

若|x 1|＋|x 2|＋…＋|x n |＝1,即x 1,x 2,x 3,…,x n 中有n －1个取自集合P,1个取自集合

Q ,

故共有C n －

1n 21种可能,即为C 1n 21,同理,|x 1|＋|x 2|＋…＋|x n |＝2,即x 1,x 2,x 3,…,x n 中有n －2个取自集合P,2个取自集合Q ,

故共有C n －

2n 22种可能,即为C 2n 22,若|x 1|＋|x 2|＋…＋|x n |＝m ,即x 1,x 2,x 3,…,x n 中有n －m 个取自集合P ,m 个取自集合Q ,

故共有C n －

m n 2m 种可能,即为C m n 2m ,所以S n m

＝C 1n 21＋C 2n 22＋…＋C m n 2m ,