(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式

微分中值定理主要有下面几种：

1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有

0()0f x '=.

2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：

（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；

（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；

（3）()()f a f b =,

则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

()0f ξ'=.

3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：

（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；

（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；

则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

()()()f b f a f b a

ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：

（1）在闭区间[,]a b 上连续；

（2）在开区间(,)a b 内可导；

（3）()f x ',()g x '不同时为零；

（4）()()g a g b ≠；

则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得

()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-='-.

微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.

例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；

⑵()f x ''在(,)a b 内存在；

⑶()()0;f a f b ==

⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >

求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.

证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以

1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!

f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<.

例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b

--≤≤.

证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立.

下证 当0b a <<时,有

ln a b a a b a b b

--<< ① 作辅助函数()ln f x x =,

则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ?∈使

ln ln 1a b a b ξ

-=- ② 由于0b a ξ<<<,所以

111a b

ξ<< ③ 由②③有1ln ln 1a b a a b b

-<<-,即 ln a b a a b a b b

--<<. 总结： 一般证明方法有两种

①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为： 第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；

第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；

第三步 把()f ξ'适当放大或缩小即可。