平面向量学习知识重点情况总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.

举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r

按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r

，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r

共线

的单位向量是||

AB AB ±u u u r

u u u r ）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向

量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r

、b r 叫

做平行向量，记作：a r

∥b r ，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r )；

④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r

、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r

的相反向量记作a -r

举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r

r .

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若AB DC =u u u r u u u u r

，则ABCD 是平行四边形.

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r

（5）若a b =r

r ，b c =r r ，则a c =r r .

（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r

.其中正确的是 . 结果：（4）（5）二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r

，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r

等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同

的两个单位向量,i j r r 为基底，则平面内的任一向量a r

可表示为

(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r

的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

三、平面向量的基本定理

定理设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r

是该平面内任一向量，

则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r

（1）定理核心：11

a λe λe =+r r r

；

（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.

（3）向量的正交分解：当1

,e e r r 时，就说11

a λe λe =+r r r

为对向量a r 的正交分

解．

举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322

a b -r

r . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B

A.1

(0,0)e =r ，2

(1,2)e =-r B.1

(1,2)e =-r ，2

(5,7)e =r C.1

(3,5)e =r ，2

(6,10)e =r D.1

(2,3)e =-r

，2

13,24e ??=- ???

r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC

u u u r

可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433

a b +r

r . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r

，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积

实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr

，它的长度和方向规定如下：

（1）模：||||||a a λλ=?r r

；

（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr

的

方向与a r

的方向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，

注意：0a λ≠r .

五、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角：对于非零向量a r

，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把

(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r

，b r 的夹角.

当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r

，b r 反向；当2

θ=时，a r

，b r 垂

直.

2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a r

，b r

，它们的夹角为θ，

我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r

与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r r ，

即||||cos a

b a b θ?=?r r r r

. 规定：零向量与任一向量的数量积是0.

注：数量积是一个实数，不再是一个向量.

举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r

_________. 结

果：9-.

（2）已知11,2a ??= ???

r ，10,2b ??=- ???r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹角为4π

，则k = ____. 结果：1.

（3）已知

||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-r

r ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r

r 的夹角为____. 结果：30o

3.向量b r 在向量a r

上的投影：||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0.

举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=r

r ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125

. 4.a b ?r r 的几何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r

在a r

上的投影的积.

5.向量数量积的性质：设两个非零向量a r

，b r ，其夹角为θ，则：

（1）0a b a b ⊥??=r r

r r ；

（2）当

a r

、b r 同向时，||||a

b a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r ||||a b a b ?=?r r r r 是a r

、b r 同向的充要分条件；

当a r 、b r 反向时，||||a

b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r

、b r 反向的充要分条件；

当θ为锐角时，0a b ?>r r ，且a r

、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐角的必要不充分条件；

当θ为钝角时，0a b ?

、b r 不反向；0a b ?

（3）非零向量a r

，b r 夹角θ的计算公式：cos ||||

a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r . 举例6 （1）已知(,2)a

λλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r

与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且1

λ≠；（2）已知

OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ?=u u u r u u u r ，若12S <，则OF u u u r ，FQ u u u r 夹角θ的

取值范围是_________. 结果：,43ππ??

???

；（3）已知

(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满足|||ka b a kb +-r r r r

（其中0k >）.

①用k 表示a b ?r r ；②求a b ?r

r 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小.

结果：①2

1(0)4k a b k k +?=>r r ；②最小值为1

，60θ=o

. 六、向量的运算

1.几何运算（1）向量加法

运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.

运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r

与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u u

r u u u r u u u r r r ；

作图：略.

注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法

运算法则：三角形法则.

运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u u

r u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.

作图：略.

注：减向量与被减向量的起点相同.

举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r

；③

()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r

；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r

. 结果：

（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC △的

形状为. 结果：直角三角形；

（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足

0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||

AP PD λ=u u u r

u u u r ，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r

，则ABC △的内角C 为 . 结果：120o

2.坐标运算：设11(,)a x y =r

，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--r

r .

举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r

，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12

；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22

x y ππ

∈-，则x y += .结

果：6π或2

π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1

(3,4)F =u u r ，2

(2,5)F =-u u r ，3

(3,1)F =u u r

，则合力1

F F F F =++u u r u u r u u r u u r

的终点坐标是 . 结果：(9,1).

（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r

（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13

AC AB =u u u r u u u r

，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3

-. （4）平面向量数量积：1212a

b x x y y ?=+r

. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r

（1）若3

x π=，求向量a r 、c r

的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最大值为1

，求λ的值.结果：（1）150o

；（2）12

或1

（5）向量的模

：2222||||a

a x y a ==+?=r r r

举例11 已知,a b r

r 均为单位向量，它们的夹角为60o

，那么|3|a b +=

r r ＝ .

结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y

，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，

xOy ∠=P 关于斜坐标系

的斜坐标是这样定义的：若1

OP xe ye =+u u u r r r ，其中12

,e e r r

y 轴同方向的单

位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .

（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；

（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）22

10x y xy ++-=. 七、向量的运算律

1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r ，a b b a ?=?r r r r

；

2.结合律：()a

b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r

； 3.分配律：()a a a λμλμ+=+r r r

，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .

举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r

；③

222

()||2||||||a b a a b b -=-+r r

r r r r ；

④ 若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r r r r 则a c =r r ；⑥22

||a a =r r ；⑦2

a b b

a a

?=r r r r r ；⑧2

22()

a b a b ?=?r

r r ；⑨2

22()

2a b a a b b -=-?+r

r r

r r r .

其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r

，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件

221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ???=?-=r r r r

r r r r .

举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且方向相同. 结果：2.

（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r

r r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.

（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r

，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.

九、向量垂直的充要条件

12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r r

r r r r .

特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ????+⊥- ? ? ? ?????

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r

，则m = .结果：32

m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m

=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.

十、线段的定比分点

1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实

数λ ，使1

2PP PP λ=u u u r u u u r

，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r

的以定比为λ的定比分点.

2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系

（1）P 内分线段12P P u u u u r

，即点P 在线段12PP 上0λ?>；

（2）P 外分线段12P P u u u u r

时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.

注：若点P 分有向线段12

PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21

P P u u u u r

所成的比为1

λ.

举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34

，则A 分BP u u u r

所成的比为 .

结果：73

-. 3.线段的定比分点坐标公式：

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r

所成的比为λ，则定比分点坐标公式为12

,1(1).1x x x y y y λλλλλ

+?=??

+≠-?

+?=?+?

. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式121

2,2

x x x y y y +?=???+?=?? 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，1

(,)x y 、2

(,)

x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.

（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.

举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u u

r ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3

--；（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r

，则a =

. 结果：２或4-. 十一、平移公式

如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y ''，则,

x x h y y k '=+??

'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r

平移得曲线(,)0f x h y k --=.

说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；

（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是

cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4

-. 十二、向量中一些常用的结论

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r

（1）右边等号成立条件： a b r

r 、同向或 a b r

r 、中有0r

||||||a b a b ?+=+r

r r ；

（2）左边等号成立条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?-=+r r r r

；

（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r

r r r

3.三角形重心公式在ABC △中，若

11(,)

A x y ，22(,)

B x y ，33(,)

C x y ，则其重心的坐标为

123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重

心的坐标为 .结果：24,33??

- ???

. 5.三角形“三心”的向量表示

（1）1()3

PG PA PB PC G =++?u u u r u u u r u u u r u u u r

为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G

++=?u u u r u u u r u u u r r 为△ABC 的重心.

（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r

u u u r u u u r

为△ABC 的垂心.

（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r

为△ABC 的内心；向量

(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???

u u u r u u u r

u u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r

所成的比λ向量形式

设点P 分有向线段12P P u u u u r

所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则

1MP MP

MP λλ

+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12

MP MP

MP +?=u u u u r u u u u r

u u u r .

7. 向量

,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r

中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得

PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r

且1αβ+=．

举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，

若点C 满足1

OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r

,其中12,λλ∈R 且12

1λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .