方程组有解判别定理的一个证明
中值定理证明
中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理 非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充 两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B) ●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？ 考研数学重要定理、性质及公式证明总结 ()()()()()()()()000000001,211112y f x x y f x x y f x x dy f x x f x dx y f x x y f x x f x x x ==''==?====（）函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导且当函数在点处可微时,有； （）如果函数在点处可导,则函数函数在点处必连续,反之不一定.证明:（）参看同济教材七版上册页； （）参看同济教材七版上册82页.设函数在处可导且取极值1.证明一元函数可微、可导及连续的关系: 2.证明费马定理: ()()[]()()()()()()()[]()()()()()()()() () ()0=0.125,,,,,,=0. 126,,,,0,,.130,f x f x a b a b f a f b a b f f b f a f f x g x a b a b g x a b g b g a g f x ξξξξξ''=∈'-'≠?∈= '-,则证明:参看同济教材七版上册页.设在上连续在内可导,且则至少存在一点使得证明:参看同济教材七版上册页.设、在上连续内可导且则,使得证明:参看同济教材七版上册页.设3.证明罗尔定理: 4.证明柯西中值定理: 5.证明洛必达法则: ()()()()() () ()()()()()[]()()()()[]0 0000,:1lim lim 0,2lim ;lim lim .133,,,00,,144x x x x x x x x x x g x x g x f x f x f x f x g x g x g x g x f x a b a b f x f x a b →→→→→'≠''==∞='''><在点的某去心邻域内可导,且又满足（） （）极限存在或为则证明:参看同济教材七版上册页. 设在上连续在内可导,且则在上单调增加（单调减少）.证明:参看同济教材七版上册6.证明函数单调性的充分判别法: ()[]()()()()[]()()0000,,,00,,148(),0,00155f x a b a b f x f x a b f x x x f x f x x x ''><'''==><=页. 设在上连续在内二阶可导,且则在上的图形是凹的（凸的）. 证明:参看同济教材七版上册页.设在处二阶可导若（）,则是极小（大）值点.证明:参看同济教材七版上册页. 7.证明曲线凹凸性的充分判别法: 8.证明极值点的充分条件: @ 考 研 数学 高老 师 一个有关勾股定理的猜想 ：本文通过对勾股定理证明的学习，由此引出一个猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积。并对此进行了论证，由此得出了四个定理及一个猜想。 ：勾股定理，正多边形，直角三角形，面积在无限攀登的学习过程中，我接触到了勾股定理，并对其证明产生了浓厚的兴趣，由此产生了一个大胆的想法：既然以直角三角形的两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，那么以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和会等于以斜边为边长的正多边形的面积吗？带着这个想法，在老师的指导下，我尝试着做了以下的论证： 图1 勾股定理：在一个直角三角形中，若两直角边分别为a、b，斜边为c,则a2+b2=c2。 正三角形的面积：如图2, 一个正三角形的边长为a,则由勾股定理可得其高可表示为：则面为：。 图2 正六边形的面积：如图3, —个正六边形的边长为a,作它的三条对角线,则正六边形被分成了六个边长为的正三角形,故面积为：图3 正八边形的面积：如图4, 一个正八边形的边长为a,作它的两条对角线，则正八边形被分成了两个全等的等腰梯形和一个矩形,故 面积为： 图4 定理一：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。 证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c, 以这三边为边长所作的正三角形的面积分别为：。 则： 即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。 定理二：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。证明：一个直角三角形的两直角边分别为、 ,斜边为,以这三边为边长所作的正四边形的面积分别为：a2, b2, c2。 则：a2+b2=c2 即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。 定理三：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。 证明：一个直角三角形的两直角边分别为、 ,斜边为,以这三边为边长所作的正六边形的面积分别为：。 则： 即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。 六大定理互相证明总 结 六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在 前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又Θ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞ N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理 2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理 在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明； ⑵若{}n x 中无递增子序列，那么?1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列. 于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证. 下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1] 由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞ →lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞ →lim 也存 在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b 平面与平面平行的判定 一、教材分析 1.1教材所处地位与作用 本节课是人教版数学必修（2）第二章第二节第2课内容——平面与平面平行的判定。本节课是在学生学习了线线、线面关系后，已具有一定的空间几何知识和一定的数学能力和方法的基础上进行的。两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。它揭示了线线平行，线面平行，面面平行的内在联系，体现了转化的思想。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的空间想象能力，逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习平面与平面的垂直打下基础。 1.2教学重点、难点 1.2.1教学重点 平面与平面平行的判定定理的理解 1.2.2教学难点 平面与平面平行的判定定理的应用（新教材将线面平行的性质安排在面面平行的判定之后，使得定理无法用理论推理来完成。因此，我采用观察感知，操作发现的研究方法来解决这一难点。通过讨论加深印象，设计更多的例子练习直线与直线的平行。）根据上述教材内容分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我将教学目标分为三部分进行说明： 1.3目标分析 1.3.1知识技能目标 1、了解面面平行判定定理的发现过程。 2、理解证明过程必须的三个条件。 3、运用定理进行证明和解决生活中有关的实际问题。 1.3.2过程与方法 1、学生通过观察、探究、思考，得出两平面平行的判定定理，体验如何把语言文 字描述为数学符号。 2、通过问题的提出与解决，培养学生探究问题、解决问题的能力。通过对例题的 推证，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力。进一步增强学生空间想象能力、空间问题平面化的思想。 1.3.3情感态度价值观 1、通过主动参与探究活动，体验在科学发现中获得成功的喜悦，体验生活中的数学美，激发学习兴趣，养成勇于开拓和创新的科学态度。 2、在师生对图形分析的过程中，培养学生积极进行教学交流，乐于探索创新的科学精神。 3、通过同学之间讨论、互动，培养互帮互助的合作精神。 二、教法、学法 2.1 教法 美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教育的生命线”。遵循“教必须立足于学”的教学理念，为了立足于学生思维发展，着力于知识构建在教法上我采用启发式讲解法。通过采用提出疑问，引导学生自主思考、探索通过直观感知、操作确认逐步发现平面与平面平行判定的方法，加深对判定定理的理解。通过问题探究激发学生学习的积极性和创造性，让学生分享到探索知识的方法和乐趣。 2.2 学法 以学生观察实践、自主探究、合作交流为主要形式的启发式讲解法。强调动脑思考，动手操作，亲身体验，注重多感官参与，多心理能力的投入，通过教师在教学过程中的点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现与领悟。 三、教学设计 3.1 教材 普通高中课程标准实验教科书人教A版必修2 3.2 教学目标 知识与技能：理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用。 过程与方法：主动地去获取知识、发现问题并解决问题 情感态度与价值观:进一步培养观察、发现的能力及空间想象能力 3.3 教学重点 2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理) 费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立 定理与证明(一) 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 教学建议 （一）教材分析 1、知识结构 2、重点、难点分析 重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性． 难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．（二）教学建议 1、四个注意 （1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据． （2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等． （4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由． 2、逐步渗透数学证明的思想： （1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为……，所以……”句式，“如果……，那么……”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 蝴蝶定理的证明 定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（） 故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。 证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 2 图 3 图 4 华罗庚证明的哥德巴赫猜想与三素数定理、陈氏定理的比 童信平 1742年6月7日，时任普鲁士派往俄罗斯的公使、数学业余爱好者哥德巴赫写 信给欧拉。同年的6月30日，欧拉回了信。这二封信确立了下面的二个哥德巴赫 猜想: 哥德巴赫猜想(A): “大于 4 的偶数可以写成二个奇素数相加。”又称为偶数哥 德巴赫猜想。简称“ 1+1” 哥德巴赫猜想(B): “大于7 的奇数可以写成三个奇素数相加。”又称为奇数哥 德巴赫猜想。 20 世纪20 年代，哈代和李特伍德二人进一步提出了这二个猜想的表法个数( 答案数量)的猜想:公式(1) 是偶数哥德巴赫猜想的表法个数(答案数量)的计算公式， 称为哈代-李特伍德猜想(A) 。公式(2) 是奇数哥德巴赫猜想的表法个数计算公式， 称为哈代-李特伍德猜想(B) 。参照素数定理的证明过程，需要通过公式(1a) 、(2a) 来证明公式(1) 、(2) ，条件是找到公式中前面的那些参变量和后面的0(1)并证 明，N??寸， 0(1)?0。 p-1N1 [1][2](1) r(n) ，2c(n) 【其中，c(n)(=c(N))= ? (1- ) ? 。】 222(p-1)p-2lnN 3?p?N p|N 3?p?N N[1][2](1a) r(n)(= r(N)) ，2c(N)(1+ 0(1)) 【要求找到前面的参变量和0(1) 并证明，N??寸，0(1)?0。】2221nN NNNl nInNNInIn N[3](1b) ①(N)= S(N)+ 0()=2 c(N) + 0() 1985 年，华罗庚指出，r(N)(= 15/25/222(lnN)(lnN)lnNlnN 第四讲 中值定理的证明技巧 一、 考试要求 1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。 2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值 定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。 3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要 1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理 设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=0 2、 罗尔定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f = 则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理 若函数)(x f 满足： （1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ 4、 柯西中值定理 若函数)(),(x g x f 满足: （1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g 则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(') ()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 5、 泰勒公式 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在 ),(b a 内时, )(x f 可以表示为0 x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和，即 )())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间). 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1．展开的基点； 2．展开的阶数； 3．余项的形式． 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式． 而基点和阶数，要根据具体的问题来确定． 6、 积分中值定理 若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得 b a ?f(x)dx=f(c)(b-a) 三、 典型题型与例题 题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得 n n n c c c x f c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()()(ξ 例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ 使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+ 例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 ???==b b a a dx x f dx x f dx x f ξξ )(2 1)()(。 例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2 x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1)x x x e →+=与 0sin lim 1x x x →=的推论， 它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1) lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。 2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？ 探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？27.命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解
线性方程组有解的判别定理
两个平面平行的判定和性质
重要定理的证明
2019一个有关勾股定理的猜想精品教育.doc
六大定理互相证明总结讲课讲稿
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
线性方程组解的判定
面面平行的判定教案
2016考研数学中值定理证明思路总结
定理与证明(一)
关于高等数学常见中值定理证明及应用
(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广
华罗庚证明的哥德巴赫猜想与三素数定理、陈氏定理的比较
第五讲中值定理的证明分析
(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一)
高中数学必修二2.2.1线面与面面平行的判定