第1讲 一次函数的概念与图像(学生版)
第1讲 一次函数的概念与图像
知识精要
一、一次函数的概念
1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。
定义域：一切实数。
2、一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 3、常值函数
一般的，我们把函数()
y c c =为常数叫做常值函数。
二、一次函数的图像 1、画法：列表、描点、连线
2、直线的截矩：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。
3、一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到：
当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 单位。
4、已知两直线111y k x b =+和222y k x b =+
1）12k k ≠?两直线相交
2）1212k k b b =≠?且两直线平行
3）1212k k b b ==?且重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系：
由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）
。在一次函数y kx b =+的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集。
精解名题
例1、直线2y x =-与y 轴交于点A ，直线y kx b =+与y 轴交于点B ，且与2y x =-交于点C ，已知点C 点纵坐标为1，且S △ABC ＝9，求k 与b 的值。
例2、一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
例3、 已知：一条直线经过点A （0，4）、点B （2，0），将这条直线向左平移与x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点C 、点D ，使DB ＝DC 。求：以直线CD 为图象的函数解析式
例4、如图，直线L ：22
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点 C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。 （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
巩固练习
1、下列函数中，是一次函数的有（ ）个 △y=x; △x y 3=
;△65+=x y ;△1
1-=x y ;△23x y =. A.1 B.2 C.3 D.4
2、下列哪个点在一次函数43-=x y 上（ ） A.(2,3) B.(-1,-1) C.(0,-4) D.(-4,0)
3、一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（ ）
A.一、二、三
B.二、三、四
C.一、三、四
D.一、二、四 4、如图所示，表示直线y=-x -2的是( )
2
-2-2
2
-2
-2
22
D
C
B
A
y
x
O
y
x
O y x
O O x
y
5、点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x + 3 图象上的两个点，且 x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＞y 2 ＞0
C ．y 1＜y 2
D ．y 1＝y 2
6、一次函数y=kx+b 的图像经过第一、三、三、四象限，则（ ） A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＜0 D.k ＜0,b ＞0
7、已知正比例函数y=kx 的图像经过第一、三象限，则一次函数y=kx -k 的图像可能是图中的（ ）
8、一根蜡烛长30cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时蜡烛剩余的长度h （cm ）和燃烧时间
t （小时）之间的函数关系用图像可以表示为图4中的（ ）
9、一次函数y=kx+b 的图像经过点（12+m ，1）和（-1，12
+m ）（m≠0），则k 、b 应满足的条件是（ ）
A.k ＞0,b ＞0
B.k ＞0,b ＜0
C.k ＜0,b ＜0
D.k ＜0,b ＞0
10、小红骑自行车到离家为2千米书店买书，行驶了5分钟后，遇到一个同学因说话停留
10分钟,继续骑了5分钟到书店.图5中的哪一个图象能大致描述她去书店过程中离书店．．．
D
C B A y
x
O
y
x
O
y
x
O
O
x
y
D
B
A
的距离．．．s (千米)与所用时间t （分）之间的关系( )
11、已知y m +与()
,x n m n +为常数成正比例， （1） 判断y 与x 成什么函数关系；
（2）如果当3x =时，y =5;当x =5时，y =11, 求y 与x 的函数关系式。
12、已知一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26x -≤≤，相应函数值y 的取值范围
是119y -≤≤，求此函数的关系式。
13、已知直线1l 过点A(0,2)及C(1,1)直线2l 过点B （0，-2）及点C
（1） 求直线1l 和直线2l 的函数解析式；
（2）当x 为何值时，
12
y y =？
12
y y >？
12
y y <？
（3）当x 为何值时，不等式组12
0y y >??>?成
14、已知直线23y x =+与直线21y x =--，（1）求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标； （2）求两直线交点C 的坐标；（3）求ABC ?的面积。
15、在直角坐标系中，O 为原点．点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数12
y x
=
的图象经过点A ． （1）求点A 的坐标；
（2）如果经过点A 的一次函数图象与y 轴的正半轴交于点B ，且OB AB =，求这个一次函数的解析式．
热身练习
1、函数39y x =-+的截距是 ，它与x 轴的交点坐标为
2、一次函数y kx b =+的图像经过点（1，5），交y 轴于点(0,3),则k= ，b=
3、若点（2m,m+3）在函数1
22
y x =-
+的图像上，则m= 4、直线36y x =+与坐标轴围成的三角形的面积为
5、若直线y ＝
2
x
＋n 与y ＝mx －1相交于点（1，－2），则（ ）． A. m ＝
12，n ＝－52 B. m ＝
1
2
，n ＝－1 C. m ＝－1，n ＝－
52 D. m ＝－3，n ＝－32
6、已知一次函数的图像经过点（-1，3）和点（2，-3），
y
x
O
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点（-2，5）是否在该函数的图像上。
7、已知函数()()243y m x n =++-，求
（1）当n m ,为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方？ （2）n m ,为何值时，函数图像经过原点？
自我测试
1、直线24y x =-+经过点 与点
2、函数53y x =-，当2x =时，y = ；当7y =时，x = 。
3、在同一坐标系中，直线2y x =-与直线23y x =-+的位置关系是 。
4、将直线1
32
y x =-
+向下平移3个单位，得到直线y = 。 5、在同一直角坐标系中，直线3y x =-+和直线23y x =-+都经过点 。
6、将直线45y x =-向上平移7个单位，得到直线 。
7、已知函数3m b
y x
b -=+是正比例函数，则m = ，b = 。
8、一次函数y kx b =+的图像经过点(1,1)-，且与直线25y x =-+平行，则此一次函数的解析式为 。
9、已知2y +与x 成正比例，且1x =时，6y =-，则y 与x 的函数关系式是
10、已知23y -与31x +成正比例，且2x =时，5y =，（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数。（2）当1x >-时，求函数y 的取值范围。
11、已知正比例函数1y k x =的图像与一次函数29y k x =-的图像交于点P （3，-6），
（1）求12,k k 的值；（2）如果一次函数29y k x =-的图像与x 轴交于点A ，求?AOP 的面积。
12、已知A(8,0)及在第一象限的动点P （x,y)，且10x y +=,设△OPA 的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；
（3）求S=12时P点坐标。
1 第1讲 函数及其表示
知识点 最新考纲 函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 函数的基本性 质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 1 2的图象和性质. 函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其 应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决. 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A 、B 设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ， 使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应
名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3 x 3＋1 C ．y ＝x 2 x ＋1 D ．y ＝x 2＋1 解析：选B.对于A ，函数y ＝( x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义 域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y
第1讲 一次函数的概念与图像(学生版)
第1讲 一次函数的概念与图像 知识精要 一、一次函数的概念 1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。 定义域：一切实数。 2、一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 3、常值函数 一般的，我们把函数() y c c =为常数叫做常值函数。 二、一次函数的图像 1、画法：列表、描点、连线 2、直线的截矩：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。 3、一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到： 当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 单位。 4、已知两直线111y k x b =+和222y k x b =+ 1）12k k ≠?两直线相交 2）1212k k b b =≠?且两直线平行 3）1212k k b b ==?且重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系： 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<） 。在一次函数y kx b =+的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集。 精解名题 例1、直线2y x =-与y 轴交于点A ，直线y kx b =+与y 轴交于点B ，且与2y x =-交于点C ，已知点C 点纵坐标为1，且S △ABC ＝9，求k 与b 的值。 例2、一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
第04讲-函数的概念(讲义版)
第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π
一次函数的概念-图像和性质复习
一次函数的概念，图像和性质 一次函数的概念 一般地，解析式形如 y=kx+b(_____是常数，且_____)的函数叫做一 次函数。 一次函数的定义域是一切实数。当b=0时，y=kx （0≠k ）是_____函数。一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做函_____数。Y=-1,π=y ,2)(= x f 都是常值函数。 二、一次函数的图像 1.正比例函数y=kx (k≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1当k ＞0时图像经过___和第_____像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第_____像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k≠0)的图像是经过A （_____）和B （_____）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的_____.（截距有正负） （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （_____）和 B （_____）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程_____都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.（如图13-19）
一次函数的图像与性质知识点总结
一次函数的图像与性质知识点总结 知识点1 、一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的 1x 一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= 2 1x，y=-x都是正比例函数. 等都是一次函数，y= 2 知识点2、函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点3、一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成 b，0）.但也直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（- k 不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k＞0，b﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k﹤0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系 （1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上． 例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．
一次函数概念图像及性质
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 《数学思维与能力训练》辅导讲义 姓名 辅导时间 一次函数的定义与图像 【知识要点】 1、一次函数的定义 形如y = kx + b (k ≠0) 的函数叫做一次函数；它的定义域是一切实数。 2、常值函数 函数y = c (c 为常数) 叫做常值函数；它的自变量由所讨论的问题确定 3、一次函数的图像 一次函数y = kx + b (k ≠0) 的图像是一条直线，一次函数y = kx + b 的图像也称为直线y = kx + b ，这时，我们把一次函数的解析式y = kx + b 称为一直线的表达式 4、直线的截距 一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距；直线y = kx + b (k ≠0) 与y 轴的交点坐标是 (0，b)，直线y = kx + b (k ≠0) 的截距是b 。 5、直线的平移与平行 一次函数y = kx + b (b ≠0) 图像可由正比例函数y = kx 的图像平移得到。当b > 0时，向上平移b 个单位；当b < 0时，向下平移 | b | 个单位 如果b 1≠b 2，那么直线 y = kx + b 1与直线y = kx + b 2 平行；反之，如果直线y = k 1x + b 1与直线y = k 2x + b 2 平行，那么k 1 = k 2，b 1≠b 2 【夯实基础】 一．填空题 1．已知一次函数()31f x x =+，若()5f a =-，则=a ． 2．已知1 2(2)2k y k k x k -=-+＋是一次函数，则k = ． 3．已知y 与4x －1成正比例，且当x = 3时，y = 6，写出y 与x 的函数关系式 ． 4．对于一次函数32--=x y ，当x _______时，图象在x 轴下方. 5．函数2(5)y x =+的图象是由2y x =向______平移______个单位而得到． 6．直线b kx y +=与15+-=x y 平行，且经过（2，1），则k= ,b= . 7．已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点（m ，8），则a b +=_________． 函数的定义及表示 知识讲解 一、函数 1.函数的概念 概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A ?其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3.函数的表示法 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4.求函数定义域注意事项 1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义； 3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2 x x k k Z π π ??，； 6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集． 5.分段函数 定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 6.复合函数 定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称 为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式． 二、映射 定义：设A B ， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是 ()y f x = x 称为y 的原象，映射f 也可记为： :f A B ? ()x f x ? 其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ． 映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ?，集合A 中每一个元素 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素． 三、函数求解析式 1.换元法 2.方程组法 四、函数求值域 1.直接法（分析观察法） 2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域． 3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中 要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a 1或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a 1类的函数的值域问题，均可使用配方法． 4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法． 1、 一次函数的概念 （1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数； （3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比 例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定． 一次函数的图像及性质 知识结构 知识精讲 模块一：一次函数的概念 【例1】下列函数中，哪些是一次函数? （1）232y x =-； （2）12y x -=； （3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)k y kx k x =+≠； （6）(3)(3)y k x k =-+≠-． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________； （2）当m =________时，函数2 15 (4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个 函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 例题解析 【例4】已知一次函数()2 33 17k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+， （1） 求(0)f 的值； （2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈ 课题一次函数的概念及其性质 一、本次课授课目的及考点分析：授课目的： 1、掌握一次函数的定义、图象和主要性质； 2、了解一次函数与正比例函数的关系； 3、会根据已知条件求出一次函数的解析式．结合例题培养学生观察、归纳的思维和渗透数形结合思想． 教学重点： 会根据已知条件求出一次函数的解析式； 教学难点： 在y=kx+b中，k和b的数与形的联系； 二、本次课的内容：一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质 教学过程 一、错题回顾： 二、教授新课： (一)复习 1．写出正比例函数的解析式． 2．正比例函数的图象是什么形状？当k＞0，k＜0时，图形的位置怎样？ (二)新课 这些函数的共同的特点都是含自变量的一次式． (1)一次函数的一般形式：一般地．如果y=kx+b①(k，b是常数，k≠0)．那么y叫做x的一次函数． (2)一次函数与正比例函数的关系．当b=0时，①式为y=kx是正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特殊情况． (3)两个条件确定一次函数式．因为一次函数含有两个系数k，b．而要求两个系数k，b需要列出两 个独立且不矛盾的方程，也就是说要想求出一个一次函数式，需要两个条件． 例1已知x是自变量，a，b是常量，下面各式中，是x的一次函数的是[ ]． (A)(1) (B)(1)，(5) (C)(1)，(2)，(4) (D)(1)，(2)，(4)，(6) 这六个式子是 (1)y=3x+5；(2)3x+5；(3)y=3x2+5； 分析：(3)是二次函数，(5)是分式函数，这两个都不是一次函数．容易被认为不是一次函数的是(4)3a+5x，因为其中没有y，即不是y=3a+5x形式．其实3a+5x本身就是x的函数，y=3a+5x只是用字母y来表示3a+5x而已，所以本题应选(D)． 例2已知y是x的一次函数，当x=3时，y=5；当x=2时，y=2；则x=-2时，y=______． 解：设此一次函数式为y=kx+b．由已知，可列出方程组 所求的一次函数为y=3x-4，所以x=-2时，y=3(-2)-4=-10． (4)一次函数图象与正比例函数的图象的关系． 我们从下面的列表，观察、归纳. 一次函数的图象与性质（基础） 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b 的图象与正比例函数y kx 的图象之间的关系； 2. 能正确画出一次函数y kx b 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有 关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】 要点一、一次函数的定义 一般地，形如y kx b （k , b是常数，k工0）的函数，叫做一次函数? 要点诠释：当b = 0时，y kx b即y kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函 数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求, 一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1. 函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象是一条直线； 当b >0时，直线y kx b是由直线y kx向上平移b个单位长度得到的； 当b v0时，直线y kx b是由直线y kx向下平移| b l个单位长度得到的? 2. 一次函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象与性质： 3. 、对一次函数y kx b的图象和性质的影响: k决定直线y kx b从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b 一起决定 直线y kx b经过的象限. 4.两条直线11: y k1x b和l2: y k2x b2的位置关系可由其系数确定： （1）k i k2 l i 与 J 相交；（2）k i k2，且b i b2 h 与 J平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数y kx b （k , b是常数，k丰0）中有两个待定系数k , b，需要两个独立 条件确定两个关于k, b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x, y的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法?由于一次函数y kx b中有k和b两个待定系数，所 以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式? 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 第4讲 函数及其表示 基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围． 考向一 相等函数的判断 【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ） A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y = D y=2x 【例2】x x y 2 =与???-∞∈-+∞∈=). 0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域 高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意： （1）分式函数中分母不为0； （2）开偶次方时，被开方数大于等于0； （3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）； （4）0次幂的底数不为0。 第1讲 函数概念及函数特性 讲授内容 一、函数概念 （1）函数定义 定义1 给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数M y ∈与它相对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作 M D f →:， .y x (1) 数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记为)(x f ． )}(),(|{)(M D x x f y y D f ?∈==称为函数f 的值域． (1)中第一式“M D →”表示按法则f 建立数集D 到M 的函数关系；第二式“y x ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(x f x ”．习惯上，我们称此函数关系中的x 为自变量，y 为因变量． （2）函数的表示法 函数的表示法主要有三种，即解析法(或称公式法)、列表法和图象法．有些函数在其定义域的不同部分用 不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数．例如，函数?? ? ??<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 是分段函数，称为符号函数. 又如函数||)(x x f =也可用如下的分段函数形式来表示：x x x f sgn )(= . 有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示，只能用语言来描述．如定义在R 上的狄利克雷 )(Dirichlet 函数： ?? ?=为无理数 当为有理数当x x x D ,0,,1)( 定义在[)1,0上的黎曼)(Riemann 函数：()?? ???=∈= =+内的无理数和当为既约真分数当1,01,0 ,0),,,( ,1 )(x q p N q p q p x q x R （3）函数的四则运算 给定两个函数f ，1D x ∈和2D x ∈，记21D D D =，并设φ≠D ．我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：,),()()(D x x g x f x F ∈+=,),()()(D x x g x f x G ∈-=D x x g x f x H ∈=),()()(. 若在D 中剔除使0)(=x g 的x 值，即令,},0)(|{21* φ≠∈≠=D x x g x D D 可在*D 上定义f 与g 的商的运算如下：.,) ()()(* D x x g x f x L ∈= 注：若,21φ==D D D ，则f 与g 不能进行四则运算．例如41)()(2 2 -+-=+x x x g x f （4）复合函数 设有两函E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(，记E D x g x E })(|{*∈=．若,* φ≠E 则对每一个 * E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y ．这就确定了一个 定义在* E 上的函数，它以x 为自变量，y 为因变量，记作 * * ))(()),((E x x g f y E x x g f y ∈=∈=，或 称为函数f 和g 的复合函数．并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量．函数f 和g 的复合运算也可简单地写作g f ． 例1 函数),0[,)(+∞=∈= =D u u u f y 与函数R E x x x g u =∈-==,1)(2 的复合函数为 ,1))((1))((22 x x g f x x g f y -=-= = 或 其定义域E E ?-=]1,1[* . 复合函数也可由多个函数相继复合而成．例如，由三个函数= =u u y ,sin v 与2 1x v -=(它们的定义 一次函数的定义和图像 【知识要点】 一、平面直角坐标系 1.含义:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。对于平面内任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应xxPPyy ，，a,b的数分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序实数对叫做点的坐标。PPa、b ，，Pa,b2.坐标平面内的点的坐标的特性 在第一象限:_______________ 在第二象限:_______________ 在第三象 限:_______________ 在第四象限:_______________ 在x轴正半 轴:_______________ 在x轴负半轴:_______________ 在轴正半 轴:_______________ 在轴负半轴:_______________ yy x、y在轴交点处( ):_________________ 二、函数 1.变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 xx2.定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和，如果在的允许范围内给定y xxx一个值，相应的就唯一确定了一个值，称是自变量，是因变量，是的函数。 yyy3.函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。 4.函数的图像:一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数 的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象( 5.描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。三、一次函数 1 ，，，那么叫做的一次函数，其中1.定义:一般地，如果y,kx，bk,b是常数，k,0xxy 是自变量.特别的，当一次函数中的为时，则y,kx，，k为常数，k,0.这时 y,kx，bb0 叫做的正比例函数. xy 2.(1)要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成的形式( y,kx，b ykx,b,0k,0 (2)当，时，仍是一次函数( k,0 (3)当时，它不是一次函数( (4)正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数( 3.一次函数和正比例函数图像: 正比例函数一次函数 图象都是一条直线 b必过点 (0，0)、(1，k) (0，b)和(-，0) k 走向 k>0时，直线经过一、三象限; k,0，b,0,直线经过第一、二、三象限k<0时，直线经过二、四象限 k,0，b,0,直线经过第一、三、四象限 k,0，b,0,直线经过第一、二、四象限 第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10 =-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边1一次函数的定义与图像
1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义
一次函数的概念和图像
1.1 函数的概念及其基本性质
一次函数的概念和性质
一次函数的图象和性质(基础)知识讲解
一次函数的图像与性质
高中数学必修一 第1讲函数及其表示
第1讲函数概念及特性2009
一次函数的定义和图像
第五讲 函数的基本概念与性质