河北省初中毕业生文化课考试模拟试卷

2019年河北省初中毕业生升学文化课考试模拟试卷

数 学 试 卷

本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟.

卷Ⅰ(选择题，共42分)

注意事项： 1. 答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．

一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的),

1. 计算：|－2|－3＝( )

A. －5

B. 5

C. －1

D. 1

2. 某县级政府为推进义务教育的均衡发展，今年预算投入办学经费约为3亿5千万，将3亿5千万用科学记数法表示为( )

A. 3.5×108

B. 3.5×109

C. 35×107

D. 0.35×109 3. 如图1，∠ECB ＝80°，∠A ＝38°，将直线BC 绕点C 按逆时针方向旋转α(0°<α<180°)，得到直线l ，若l ∥AB ，则α等于( )

图1

A. 38°

B. 42°

C. 80°

D. 132° 4. 下列运算正确的是( )

A. 8÷2＝6

B.

3

271-

＝3

1

C. (－3a)3＝－9a 3

D. 2ab 2－ab 2＝ab 2

5. 由两个完全相同的长方体(底面为正方形)和一个正方体组成的几何体如图2所示，则该几何体的俯视图是( )

6.当x>0，k ＝－2时，下列函数中y 随x 的增大而增大的是( ) A. y ＝

x k -1 B. y ＝x k -2 C. y ＝x k 3+ D. y ＝x

k 3

－ 7. 如图3，△ABC 的周长为12，将△ABC 沿BC 方向向右平移得到△DEF ，若点E 恰好为BC 的中点，DE 交

AC 于点G ，则△EGC 的周长为( )

图3

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12 8. 若

3

1-a ＝1，则a －

1的值为( ) A. －

41 B. 4

1

C. －4

D. 4 9. 将正五边形ABCDE 与正六边形AGHDMN 按照如图4所示的位置摆放，则∠EAN 的度数为( )

图4

A. 15°

B. 20°

C. 24°

D. 30° 10. 若代数式(A －

13-a )·2

22+-a a 的化简结果为2a －4，则整式A 为( ) A. a ＋1 B. a －1 C. －a －1 D. －a ＋1

11. 如图5，在单位长度为1的甲、乙两个网格图中，分别画有相同的六边形ABCDEF ，若将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )

图5

A. 甲、乙都可以

B. 甲可以，乙不可以

C. 甲不可以，乙可以

D. 甲、乙都不可以

12. 如图6，有三个不锈钢盘，分别装有数量相同的竹签(每个不锈钢盘中至少有3根竹签)，第一次从左边不锈钢盘中拿出两根竹签放入中间不锈钢盘中，第二次从右边不锈钢盘中拿出一根竹签放入中间不锈钢盘中，第三次从中间不锈钢盘中拿出一些竹签放入左边不锈钢盘中，使左边不锈钢盘中竹签根数是最初的2倍，这时中间不锈钢盘中竹签的根数为( )

图6

A. 1根

B. 2根

C. 3根

D. 4根

13. 如图7，在△ACB 中，∠ACB ＝90°， AF 是∠BAC 的平分线，过点F 作FE ⊥AF ，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是( )

图7

A. △CDF ∽△EBF

B. △ADF ∽△ABF,

C. △ADF ∽△CFD

D. △ACF ∽△AFE

14. 如图8，一次函数y ＝kx ＋2与x 轴交于点A(a ，0)，若1

图8 A. －2

3

B. －3

C. －2

3

2

D. －3

15. 如图9，已知∠α，线段m ，用尺规作图作菱形ABCD ，使它的边长为m ，一个内角等于∠α.其具体步骤如下：

,

图9

(1)作∠EAF ＝∠α；

(2)以点A 为圆心，线段m 长为半径画弧，交AE 于点B ，交AF 于点D ；(3)______________________________________________________； (4)连接BC 、DC ，则四边形ABCD 为所作的菱形．

第(3)步应为( )

A. 分别以点B 、D 为圆心，以AF 长为半径画弧，两弧交于点C

B. 分别以点E 、F 为圆心，以AD 长为半径画弧，两弧交于点C

C. 分别以点B 、D 为圆心，以AD 长为半径画弧，两弧交于点C

D. 分别以点E 、F 为圆心，以AF 长为半径画弧，两弧交于点C

16. 如图10，AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条高线，其交点为点H ，则点H 是( )

图10

A. △DEF 的内心

B. △DEF 的外心

C. △ABC 的内心

D. △ABC 的外心

卷Ⅱ(非选择题，共78分)

注意事项： 1. 答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．

2. 答卷Ⅱ

二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)

17. 比较大小：－2________－(π

3

)0(填“＜”、“＝”或“＞”)．

18. 如图11，对于数轴上的两个数a 和b ，若|a ＋b|＋|2a －b|＝4，则1

2

a －

b ＋1的值为________.

图11

19. 如图12，已知在△ABC 中，∠A ＝155°，第一步：在△ABC 的上方确定点A 1，使∠A 1BA ＝∠ABC ，∠A 1CA ＝∠ACB ；第二步：在△A 1BC 的上方确定点A 2，使∠A 2BA 1＝∠A 1BA ，∠A 2CA 1＝∠A 1CA ；…，则∠A 1＝________；照此继续，最多能进行________步．

图12

三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下： 2962＝(300－4)2第一步

＝3002－2×300×(－4)＋42第二步 ＝90000＋2400＋16第三步 ＝92416.第四步

老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误． (1)你认为小亮的解题过程中，从第几步开始出错； (2)请你写出正确的解题过程．

如图13，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝16 cm .

(1)若△ABC 的腰不变，将底变为12 cm ，得到△A′B′C′，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，这两个等腰三角形面积一定不相等．甲、乙同学的说法对吗？请做出判断，并说明理由；

(2)若△ABC 的底边BC 上的高增加x cm ，底边减小x cm ，面积比原来增加12 cm 2，用列方程的方法确定x 的值．

图13

某校级足球队决定通过定点射门方式从甲、乙两名同学中补充一名队员．在同等条件下，对两名同学进行射门测试，每次射10个球，共进行10次测试，并将两名同学的进球情况绘制成如图14所示的折线统计图．

(1)若甲、乙两名同学进球数的平均数相同． ①请补全折线统计图；

②请从平均数、中位数及折线统计图的趋势上，判断哪名同学应入选足球队；

(2)若甲进球数的平均数比乙进球数的平均数小1

5

，求甲进球数的众数．

图14

如图15，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥DB ，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF.

(1)求证：△ADE ≌△GDF ；

(2)若AE ＝

BD ，求∠CFG 的度数；

(3)连接CG ，求证：四边形BCGD 是矩形.

图15

某超市每天以12元/千克的价格购进一批蔬菜，以16元/千克的价格售出，若该蔬菜当天没有售完，则剩下的蔬菜由菜农以10元/千克的价格回收处理，超市综合考虑各方面情况后，决定每天购进该蔬菜250千克．

(1)①求销售该蔬菜当天利润y(元)与日需求量x(千克)之间的函数关系式；

②若超市相邻两天的利润相差60元，则这两天的日需求量差的最小值是多少？ (2) 若从记录的数据中随机抽取一天，求恰好抽到当天利润低于760元的概率. 25. (本小题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x ＋c(c 为常数)的对称轴如图16所示，且抛物线过点C(0，c)． (1)当c ＝－3时，点(x 1，y 1)在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上，求y 1的最小值；

(2)若抛物线与x 轴有两个交点，自左向右分别为点A 、B ，且OA ＝1

2

OB ，求抛物线的解析式；

(3)当－1＜x ＜0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围．

图16

26. (本小题满分12分)

如图17，在正方形ABCD 中，AB ＝12，以AB 为直径作半圆O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1个单位的速度向点D 运动，点Q 从点C 出发，沿CB 方向以每秒3个单位的速度向点B 运动，两点同时开始运动，当一点到达终点后，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t(s )．

发现：设点M 为半圆O 上任意一点，则DM 的最大值为________，最小值为________；

思考：(1)设PQ 交半圆O 于点F 和点G(点F 在点G 的上方)，当PQ ∥AB 时，求FG ︵

的长度；

(2)在运动过程中，PQ 和半圆O 能否相切，若相切，请求出此时t 的值，若不能相切，请说明理由；

拓展：点N 是半圆O 上一点，且S 扇形BON ＝6π，当运动t(s )时，PQ 与半圆O 的交点恰好为点N ，求此时t 的值．

图17

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数 学 试 卷

参考答案及评分标准

说明：

1. 在阅卷过程中，如考生还有其他正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．

2. 坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．

3. 解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数．

4.详细解析在第七页

二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分) 17. < 18. －1 19. 130°；6 三、解答题(本大题有7个小题，共68分) 20. 解：(1)从第二步开始出错；(3分) (2)正确的解题过程是：2962＝(300－4)2 ＝3002－2×300×4＋42(5分) ＝90000－2400＋16(7分) ＝87616.(9分)

21. 解：(1)甲的说法对，乙的说法不对；(2分) 理由：如解图13－1，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝16 cm ， ∴BD ＝CD ＝8 cm ，∴AD ＝6 cm ， ∴S △ABC ＝1

2×BC ×AD ＝48 cm 2；(4分)

如解图13－2，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′， ∵A ′B ′＝A′C′＝10 cm ，B ′C ′＝12 cm ， ∴B ′D ′＝C′D′＝6 cm ，∴A ′D ′＝8 cm ， ∴S △A ′B ′C ′＝1

2×B ′C ′×A ′D ′＝48 cm 2，(5分)

∴S △ABC ＝S △A ′B ′C ′；(6分)

解图13－1 解图13－2

(2)由题意可得1

2(6＋x)(16－x)＝48＋12，(7分)

解得x 1＝4，x 2＝6.(9分)

22. 解：(1)①补全折线统计图如解图14：

解图14

(3分)

②甲、乙两名同学进球数的平均数相同，

将甲同学的进球数按照从小到大的顺序排列为3，6，6，7，7，7，8，8，9，9，其中位数为7，乙同学的进球数按照从小到大的顺序排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，其中位数为7.5，乙同学进球的中位数大于甲同学进球的中位数，(5分)

从折线统计图的趋势上，判断乙比甲好，(6分)

所以从平均数、中位数及折线统计图的趋势上，判断乙应入选足球队；(7分) (2)设甲同学第10次的进球数为y ，

则依据题意，得9＋6＋7＋6＋3＋7＋7＋8＋8＋y 10＝7－1

5，

解得y ＝7，(8分)

所以甲进球数的众数为7.(9分)

23. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，(1分)

由折叠可知，BC ＝DG ，CF ＝FG ，∠G ＝∠C ，EF 垂直平分BD ， ∴∠A ＝∠G ，AD ＝ DG ， 又∵AD ⊥BD ， ∴EF ∥AD ∥BC ，

∴点E 、F 分别平分AB 、CD ， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝1

2CD ＝CF ＝DF ，

∴AE ＝FG ,

∴△ADE ≌△GDF(SAS )；(4分) (2)解：∵AE ＝BD ，AE ＝BE ＝1

2AB ，

∴BD ＝1

2AB ，

∴sin A ＝BD AB ＝1

2

，

∴∠A ＝30°， ∵DF ＝CF ＝FG ，

∴∠FDG ＝∠DGF ＝∠A ＝30°， ∴∠CFG ＝∠FDG ＋∠DGF ＝60°； (7分)

解图15

(3)证明：如解图15 ，连接CG . 由折叠可知，BC ＝DG ，BC ∥DG ， ∴四边形BCGD 是平行四边形，(8分) ∵AD ⊥BD ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥BD ， ∴∠CBD ＝90°，

∴四边形BCGD 是矩形．(9分)

24. 解：(1)①当x ≥250时，y ＝(16－12)×250＝1000；(1分)

当0≤x<250时，y ＝(16－12)x －(12－10)(250－x)＝6x －500；(3分) ②设这两天的日需求量分别为x 1、x 2，所获得的利润分别为y 1、y 2，

当x 1≥250，x 2≥250时，y 1＝y 2＝1000，不符合题意；(4分) 当x 1≥250，0≤x 2<250时，有y 1＝1000元， 所以y 2＝1000－60＝6x 2－500，解得x 2＝240， 所以x 1－x 2≥10；(5分)

当0≤x 1<250，0≤x 2<250时，y 1－y 2＝6x 1－500－6x 2＋500＝6(x 1－x 2)， 因为y 1－y 2＝60，

所以x 1－x 2＝10，(6分)

所以这两天日需求量差的最小值是10千克；(7分) (2)令6x －500<760，解得x<210，(8分)

一共30天，其中利润低于760元，即日销售量小于210千克的有10天， 所以P(恰好抽到当天利润低于760元)＝1030＝1

3.(10分)

25. 解：(1)当c ＝－3时，抛物线为y ＝x 2－2x －3， ∴抛物线开口向上，有最小值，

∴y 最小值＝4ac －b 24a ＝4×1×（－3）－（－2）2

4＝－4，

∴y 1的最小值为－4；(2分)

(2)抛物线与x 轴有两个交点，

解图16－1

①当点A 、B 都在原点的右侧时，如解图16－1， 设A(m ，0)，∵OA ＝1

2

OB ，

∴B(2m ，0)，

∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的对称轴为x ＝1， 由抛物线的对称性得1－m ＝2m －1，解得m ＝2

3，

∴A(2

3

，0)，

∵点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上， ∴0＝49－43＋c ，解得c ＝89

，

此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋8

9

；(4分)

②当点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧时，如解图16－2，

解图16－2 设A(－n ，0)，∵OA ＝1

2OB ，且点A 、B 在原点的两侧，

∴B(2n ，0)，

由抛物线的对称性得n ＋1＝2n －1， 解得n ＝2，∴A(－2，0)，

∵点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上， ∴0＝4＋4＋c ，解得c ＝－8，

此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －8，(6分)

综上，抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋8

9

或y ＝x 2－2x －8；(7分)

(3)∵抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点，

∴对于方程x 2－2x ＋c ＝0，判别式b 2－4ac ＝4－4c ≥0， ∴c ≤1.

当x ＝－1时，y ＝3＋c ；当x ＝0时，y ＝c ，

∵抛物线的对称轴为x ＝1，且当－10且c<0，解得－3

综上，当－3

当PQ ∥AB 时，四边形ABQP 是矩形， ∴AP ＝BQ,

∵AP ＝t ，CQ ＝3t ， ∴BQ ＝12－3t ，

∴t ＝12－3t ，解得t ＝3， ∴AP ＝3，(3分)

如解图17－1，过点O 作OE ⊥PQ 于点E ，连接OF 、OG ，

解图17－1

∴OE ＝AP ＝3， ∵sin ∠OFE ＝

OE OF ＝12

， ∴∠OFE ＝30°， ∵OF ＝OG ＝6，

∴∠OGF ＝∠OFE ＝30°， ∴∠FOG ＝120°，(4分) ∴FG ︵＝120π×6180

＝4π；(6分)

(2)不能相切．(7分)

理由：若PQ 与半圆O 相切，设切点为点S ，

解图17－2

由切线长定理，得AP ＝PS ，BQ ＝QS ， ∴PQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋12－3t ＝12－2t.

过点P 作PH ⊥BC 于点H ，如解图17－2， ∴四边形APHB 是矩形， ∴AP ＝BH ，

∴QH ＝BQ －BH ＝12－3t －t ＝12－4t ，(7分) ∵在Rt △PHQ 中，PH 2＋QH 2＝PQ 2， ∴122＋(12－4t)2＝(12－2t)2， 即为t 2－4t ＋12＝0，

∵b 2－4ac ＝16－4×12＝－32<0， ∴此方程无解，

∴在运动过程中，PQ 和半圆O 不能相切；(9分)

拓展：由题意，点Q 是以每秒3个单位的速度向点B 运动，点P 是以每秒1个单位的速度向点D 运动，两点同时开始运动，当一点到达终点后，另一点也随之停止运动，BC ＝12，

∴0≤3t ≤12，即0≤t ≤4，

解图17－3

如解图17－3，过点N 作IJ ⊥BC ，交BC 于点J ，交AD 于点I ，过点N 作NT ⊥AB 于点T ， 则四边形ATNI 和四边形BTNJ 都是矩形，

∵S 扇形BON ＝∠BON ·π·OB 2

360＝6π，∴∠BON ＝60°，(10分)

∵ON ＝OB ＝6，

∴OT ＝3，NT ＝33，

当点P 运动到点I 时，t ＝33＞4，不符合题意， ∴AP 始终小于AI ，

∴AI ＝BJ ＝NT ＝33，NI ＝AT ＝AO ＋OT ＝9，NJ ＝BT ＝OB －OT ＝3， ∵CQ ＝3t ，AP ＝t ，

∴PI ＝AI －AP ＝33－t ，QJ ＝BC －CQ －BJ ＝12－3t －33，(11分) ∵AD ∥BC ，∴NI NJ ＝IP

JQ

，

∴9

3＝33－t 12－3t －33，解得t ＝9－332， ∵0＜9－332

＜4，

∴当运动9－33

2

s 时，PQ 与半圆O 的交点恰好为点N.(12分)

详解详析

1. C 【解析】|－2|－3＝2－3＝－1.

2. A 【解析】，×108.

3. B 【解析】∵∠ECB ＝80°，∠A ＝38°，∴∠ABC ＝∠ECB －∠A ＝80°－38°＝42°，∵将BC 绕点C 按逆时针方向旋转α，得到直线l ，且l ∥AB ，∴α＝∠ABC ＝42°.

4. D

5. D 【解析】正方体的俯视图是正方形，横放的长方体的俯视图是个矩形，竖放的长方体的俯视图是个正方形，所以该几何体的俯视图如选项D 所示．

6. D 【解析】当x>0，k ＝－2时，A.y ＝1－k x ＝3x ，y 随x 的增大而减小；B.y ＝2－k x ＝4

x ，y 随x 的增大而减

小；C.y ＝

k ＋3x ＝1x ，y 随x 的增大而减小；D.y ＝k －3x ＝－5

x

，y 随x 的增大而增大． 7. B 【解析】由平移的性质，可得EG ∥AB ，又∵点E 是BC 的中点，∴点G 是AC 的中点，∴EG 是△ABC 的中位线，∴EG ＝12AB ，∴△EGC 的周长＝CE ＋EG ＋CG ＝12BC ＋12AB ＋12AC ＝12△ABC 的周长＝1

2

×12＝6.

8. B 【解析】去分母，得1＝a －3，解得a ＝4，经检验，a ＝4是原分式方程的解，所以a －1＝4－

1＝14.

一题多解由

1a －3

＝1，可知a －3与1互为倒数，所以a －3＝1，所以a ＝4，所以a －1＝4－

1＝14.

9. C 【解析】如解图4，连接AD ，∵六边形AGHDMN 是正六边形，∴∠DAN ＝1

2∠GAN ＝60°，∵五边

形ABCDE 是正五边形，∴∠AED ＝108°，AE ＝DE ，∴∠DAE ＝180°－108°

2＝36°，∴∠EAN ＝∠DAN －∠DAE

＝60°－36°＝24°.

解图4

10. A 【解析】∵(A －3a －1)·2a －2a ＋2＝2a －4，∴A ＝(2a －4)÷2a －2a ＋2＋3a －1＝2(a －2)×a ＋22（a －1）＋3

a －1＝

a 2－4a －1＋3

a －1＝a 2－1a －1

＝a ＋1. 11. A 【解析】如解图5所示，甲和乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．

解图5

12. A 【解析】设开始时每个不锈钢盘中竹签的数量为x ，第一次从左边不锈钢盘中拿出两根竹签放入中间不锈钢盘中，这时左边不锈钢盘中的竹签数量为x －2，中间不锈钢盘中竹签的数量为x ＋2，第二次从右边不锈钢盘中拿出一根竹签放入中间不锈钢盘中，这时中间不锈钢盘中竹签的数量为x ＋3，第三次从中间不锈钢盘中拿出一些竹签放入左边不锈钢盘中，使左边不锈钢盘中竹签数是最初的2倍，则需从中间不锈钢盘中向左边不锈

钢盘放入竹签数量为2x －(x －2)＝x ＋2，这时中间不锈钢盘中竹签的数量为(x ＋3)－(x ＋2)＝1.

13.

14.＋2经过点(3，0)时，有0＝3k ＋2，解得k ＝－23，所以k 的取值范围是－2

3

.

15. C 【解析】首先由步骤(1)和步骤(2)可知AD ＝AB ，又∵四条边都相等的四边形是菱形，∴BC ＝CD ＝

AD ＝AB ，∴当步骤(3)是分别以点B 、D 为圆心，以AD 长为半径画弧，两弧交于点C ，此时点C 才能符合使得四边形ABCD 为菱形．

16. A 【解析】如解图10，过B 、F 、H 三点作圆，∵∠BFH ＝90°，∴BH 是圆的直径，∵∠BDH ＝90°，∴点D 和点F 都在圆上，∴∠HFD ＝∠HBD ，同理可得∠HAE ＝∠EFH ，而∠HBD ＋∠ACB ＝90°，∠HAE ＋∠ACB ＝90°，∴∠HBD ＝∠HAE ，∴∠EFH ＝∠HFD ，同理可得，点H 也是△DEF 中其余两个内角的平分线的交点，∴点H 是△DEF 的内心．

解图10

17. < 【解析】∵(π3)0＝1，∴－(π3)0＝－1，∵1<2，∴1<2，∴1<2，∴－2<－1，∴－2<－(π

3)0.

一题多解∵2≈1.414，∴－2≈－1.414，∵(π3)0＝1，∴－(π3)0＝－1，∵－1.414<－1，∴－2<－(π

3)0.

18. －1 【解析】由a 、b 在数轴上的位置可知a ＋b>0，2a －b<0，所以|a ＋b|＋|2a －b|＝a ＋b ＋b －2a ＝2b －a ＝4，所以12a －b ＋1＝12(a －2b)＋1＝－12(2b －a)＋1＝－1

2

×4＋1＝－2＋1＝－1.

19. 130°；6 【解析】由题意得，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝25°，∠A 1＝180°－2(∠ABC ＋∠ACB)＝

130°；进行n 步时，∠A n ＝180°－(n ＋1)(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－25°×(n ＋1)＞0，解得n<6.2，∵n 是正整数，∴n 的最大值为6.

20. 解：(1)从第二步开始出错；(3分) (2)正确的解题过程是： 2962＝(300－4)2

＝3002－2×300×4＋42(5分) ＝90000－2400＋16(7分) ＝87616. (9分)

21. 解：(1)甲的说法对，乙的说法不对；(2分) 理由：如解图13－1，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝16 cm ，

∴BD ＝CD ＝8 cm ，∴AD ＝6 cm ， ∴S △ABC ＝1

2×BC ×AD ＝48 cm 2；(4分)

如解图13－2，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′， ∵A′B′＝A′C′＝10 cm ，B ′C ′＝12 cm ， ∴B ′D ′＝C′D′＝6 cm ，∴A ′D ′＝8 cm ， ∴S △A ′B ′C ′＝1

2×B ′C ′×A ′D ′＝48 cm 2，(5分)

∴S △ABC ＝S △A ′B ′C ′；(6分)

解图13－1 解图13－2

(2)由题意可得1

2

(6＋x)(16－x)＝48＋12，(7分)

解得x 1＝4，x 2＝6.(9分)

22. 【题图分析】(1)①由折线统计图可得乙同学每次的进球数，从而求得乙同学进球数的平均数，再根据甲、乙两名同学进球的平均数相同，从而列方程即可求得甲同学第10次的进球数，进而补全折线统计图；②利用中位数的概念分别求出甲、乙两名同学进球数的中位数，然后再结合折线统计图的趋势比较即可；(2)设甲同学第10次进球数为y ，根据甲进球数的平均数比乙进球数的平均数小1

5

，列方程求解即可．

解：(1)①补全折线统计图如解图14：

解图14

(3分)

【解法提示】乙同学进球数的平均数为： 2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10

10＝7，

设甲同学第10次进球数为x ，则依据题意， 得

9＋6＋7＋6＋3＋7＋7＋8＋8＋x

10

＝7，解得x ＝9；

②甲、乙两名同学进球数的平均数相同，

将甲同学的进球数按照从小到大的顺序排列为3，6，6，7，7，7，8，8，9，9，其中位数为7，乙同学的进球数按照从小到大的顺序排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，其中位数为7.5，乙同学进球的中位数大于甲同学进球的中位数，(5分)

从折线统计图的趋势上，判断乙比甲好，(6分)

所以从平均数、中位数及折线统计图的趋势上判断乙应入选足球队；(7分) (2)设甲同学第10次的进球数为y ， 则依据题意，得

9＋6＋7＋6＋3＋7＋7＋8＋8＋y 10＝7－1

5

，

解得y ＝7，(8分)

所以甲进球数的众数为7.(9分)

23. 【思维教练】(1)要证△ADE 与△GDF 全等，可知△DFG 是由折叠所得，所以考虑利用折叠性质找相等关系，再由平行四边形对边平行且相等找相等的边和角，通过等量代换证明；(2)观察可知∠CFG 不在三角形中，

则考虑利用三角形内外角关系求解，由已知线段相等，应想到特殊三角形，利用特殊三角形性质求解；(3)由已知AD ⊥BD 可知，四边形BCGD 中一个内角为90°，则考虑利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明．

(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，(1分)

由折叠可知，BC ＝DG ，CF ＝FG ，∠G ＝∠C ，EF 垂直平分BD ， ∴∠A ＝∠G ，AD ＝ DG ， 又∵AD ⊥BD ， ∴EF ∥AD ∥BC ，

∴点E 、F 分别平分AB 、CD ，

∴AE ＝BE ＝12AB ＝1

2CD ＝CF ＝DF ，

∴AE ＝FG ,

∴△ADE ≌△GDF(SAS )；(4分) (2)解：∵AE ＝BD ，AE ＝BE ＝1

2AB ，

∴BD ＝12AB ，∴sin A ＝BD AB ＝1

2

，

∴∠A ＝30°，

∵DF ＝CF ＝FG ，∴∠FDG ＝∠DGF ＝∠A ＝30°， ∴∠CFG ＝∠FDG ＋∠DGF ＝60°；(7分) (3)证明：如解图15 ，连接CG . 由折叠可知，BC ＝DG ，BC ∥DG ， ∴四边形BCGD 是平行四边形，(8分) ∵AD ⊥BD ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥BD ， ∴∠CBD ＝90°，

∴四边形BCGD 是矩形．(9分)

解图15

24. 解：(1)①当x ≥250时，y ＝(16－12)×250＝1000；(1分)

当0≤x<250时，y ＝(16－12)x －(12－10)(250－x)＝6x －500；(3分) ②设这两天的日需求量分别为x 1、x 2，所获得的利润分别为y 1、y 2， 当x 1≥250，x 2≥250时，y 1＝y 2＝1000，不符合题意；(4分) 当x 1≥250，0≤x 2<250时，有y 1＝1000元， 所以y 2＝1000－60＝6x 2－500，解得x 2＝240， 所以x 1－x 2≥10；(5分)

当0≤x 1<250，0≤x 2<250时，y 1－y 2＝6x 1－500－6x 2＋500＝6(x 1－x 2)， 因为y 1－y 2＝60，

所以x 1－x 2＝10，(6分)

所以这两天日需求量差的最小值是10千克；(7分) (2)令6x －500<760，解得x<210，(8分)

一共30天，其中利润低于760元，即日销售量小于210千克的有10天，

所以P(恰好抽到当天利润低于760元)＝1030＝1

3

.(10分)

25. 【思维教练】(1)c 已知相当于抛物线解析式已知，当解析式已知求最值有两种方法：①用配方法将一般式化为顶点式得到；②根据抛物线y ＝x 2

－2x ＋c 开口向上，直接根据y 最小值＝4ac －b 2

4a

求得；(2)a 、b 已知，要求

抛物线解析式，只需求出抛物线上一个点的坐标，代入求出c 值即可．根据已知画出简图分析，结合OA ＝1

2OB

可以发现A 点在原点左侧和右侧均可，故需要分情况讨论；(3)当给定x 的取值范围时，要先判断x 的取值区间是在对称轴的左侧、右侧还是包含对称轴，然后根据抛物线与x 轴有且只有一个公共点易知x ＝－1和x ＝0时对应函数值是异号的，结合函数在所在区间的增减性即可得到关于c 的不等式组，求解即可．

解：(1)解法一：∵当c ＝－3时，抛物线为y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)，

∵点(x 1，y 1)在抛物线y ＝x 2－2x －3上， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴y 1的最小值为－4；(2分)

解法二：当c ＝－3时，抛物线为y ＝x 2－2x －3， ∴抛物线开口向上，有最小值，

∴y 最小值＝4ac －b 24a ＝4×1×（－3）－（－2）2

4＝－4，

∴y 1的最小值为－4；(2分)

(2)抛物线与x 轴有两个交点，

解图16－1

①当点A 、B 都在原点的右侧时，如解图16－1， 设A(m ，0)，∵OA ＝1

2

OB ，

∴B(2m ，0)，

∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的对称轴为x ＝1， 由抛物线的对称性得1－m ＝2m －1， 解得m ＝23，∴A(2

3

，0)，

∵点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上， ∴0＝49－43＋c ，解得c ＝8

9

，

此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋8

9

；(4分)

解图16－2

②当点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧时，如解图16－2， 设A(－n ，0)，∵OA ＝1

2OB ，且点A 、B 在原点的两侧，∴B(2n ，0)，

由抛物线的对称性得n ＋1＝2n －1， 解得n ＝2，∴A(－2，0)，

∵点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋c 上，

∴0＝4＋4＋c ，解得c ＝－8，

此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －8，(6分)

综上，抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋8

9

或y ＝x 2－2x －8；(7分)

(3)∵抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点，

∴对于方程x 2－2x ＋c ＝0，判别式b 2－4ac ＝4－4c ≥0， ∴c ≤1.

当x ＝－1时，y ＝3＋c ；当x ＝0时，y ＝c ，

∵抛物线的对称轴为x ＝1，且当－10且c<0，解得－3

综上，当－3

26. 【思维教练】发现：求点D 到半圆上的点的距离的最值问题，实际是求以点D 为圆心的圆与半圆O 的交点到点D 的距离的最值，当点M 与点B 重合时，DM 的值最大，当圆D 与半圆O 相切时，DM 的值最小；思考：(1)由弧长公式l ＝n πr

180可知，要求FG ︵，只需求出∠FOG 的度数即可．当PQ ∥AB 时，通过连接OF 、OG ，

构造等腰△FOG ，然后根据等腰三角形的性质结合锐角三角函数值求出∠FOG 即可；(2)对于直线与圆是否相切的问题，一般先假设直线与圆相切，建立模型，再判断模型是否符合题意即可．如在本题中，假设PQ 和半圆O 相切，且切点为点S ，再过P 点作BC 的垂线构造直角三角形，利用勾股定理逆定理来判断是否存在满足条件的t 的值；拓展：根据扇形面积公式可得∠BON 的度数，从而确定N 点的位置，通过作辅助线得到比例关系，结合已知条件用含t 的代数式表示出所需线段的长即可求出t 的值．

解：发现：122，65－6；(2分)

解图17－1

【解法提示】当点M 与点B 重合时，DM 的值最大，(如解图17－1中的点M 1)，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝12，∠BAD ＝90°.在Rt △ABD 中，DB ＝AD 2＋AB 2＝122，即DM 的最大值为122；连接OD ，交半圆O 于点M(如解图17－1中的点M 2)，此时，DM 的值最小，OD ＝AD 2＋AO 2＝122＋62＝65，DM ＝OD －OM ＝65－6.

思考：(1) ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠D ＝90°，

当PQ ∥AB 时，四边形ABQP 是矩形， ∴AP ＝BQ,

∵AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝12－3t ， ∴t ＝12－3t ，解得t ＝3， ∴AP ＝3，(3分)

如解图17－2，过点O 作OE ⊥PQ 于点E ，连接OF 、OG ， ∴OE ＝AP ＝3，

解图17－2

∵sin ∠OFE ＝

OE OF ＝12

， ∴∠OFE ＝30°， ∵OF ＝OG ＝6，

∴∠OGF ＝∠OFE ＝30°， ∴∠FOG ＝120°，(4分)

∴FG ︵＝120π×6180

＝4π；(6分)

(2)不能相切．(7分)

理由：若PQ 与半圆O 相切，设切点为点S ， 由切线长定理，得AP ＝PS ，BQ ＝QS ， ∴PQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋12－3t ＝12－2t.

过点P 作PH ⊥BC 于点H ，如解图17－3，

解图17－3

∴四边形APHB 是矩形， ∴AP ＝BH ，

∴QH ＝BQ －BH ＝12－3t －t ＝12－4t ，(7分) ∵在Rt △PHQ 中，PH 2＋QH 2＝PQ 2， ∴122＋(12－4t)2＝(12－2t)2， 即为t 2－4t ＋12＝0，

∵b 2－4ac ＝16－4×12＝－32<0， ∴此方程无解，

∴在运动过程中，PQ 和半圆O 不能相切；(9分)

拓展：由题意，点Q 是以每秒3个单位的速度向点B 运动，点P 是以每秒1个单位的速度向点D 运动，两点同时开始运动，当一点到达终点后，另一点也随之停止运动，BC ＝12，

∴0≤3t ≤12，即0≤t ≤4，

解图17－4

如解图17－4，过点N 作IJ ⊥BC ，交BC 于点J ，交AD 于点I ，过点N 作NT ⊥AB 于点T ， 则四边形ATNI 和四边形BTNJ 都是矩形，

∵S 扇形BON ＝∠BON ·π·OB 2

360＝6π，

∴∠BON ＝60°，(10分)

∵ON ＝OB ＝6，∴OT ＝3，NT ＝33，

当点P 运动到点I 时，t ＝33＞4，不符合题意， ∴AP 始终小于AI ，

∴AI ＝BJ ＝NT ＝33，NI ＝AT ＝AO ＋OT ＝9，NJ ＝BT ＝OB －OT ＝3， ∵CQ ＝3t ，AP ＝t ，

∴PI ＝AI －AP ＝33－t ，QJ ＝BC －CQ －BJ ＝12－3t －33，(11分) ∵AD ∥BC ，∴NI NJ ＝IP

JQ

，

∴9

3＝33－t 12－3t －33，解得t ＝9－332， ∵0＜9－332

＜4，

∴当运动9－33

2

s 时，PQ 与半圆O 的交点恰好为点N.(12分)