平面直角坐标系中的基本公式与直线方程

数学必修二第二章第一、二节

平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C 卷

一、选择题

1.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（

）

2.若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( )

A.3-

B. 1

C. 0或2

3

-

D. 1或3- 3.若直线l 的倾斜角α满足0150α??≤<，且90α?

≠，则它的斜率k 满足( )

A ．303k -<≤

B ．33

k >-C ．03k k ≥<-或．3

03

k k ≥<-或

4.下列说法正确的是 （ ） A ．经过定点

()Px y 000

，的直线都可以用方程

()yy k xx -=-00

表示

B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y k x b =+表示

C ．不经过原点的直线都可以用方程x a y

b +=1表示

D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P

，、，的直线都可以用方程

(

)()()()y y x xx x y y --=--121121

表示

5.设两条直线的方程分别为00,x y a x y b ++=++=和已知,a b 是关于x 的方程

20x x c ++=的两个实数根，且0≤c ≤1

8

，则这两条直线之间距离的最大值和最小值

分别为( )

A.

2142 B. 2

22

12,2 D.

2122

6.若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段

AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )

A ．2 3

B ．3 3

C ．3 2

D ．4 2

7.对于平面直角坐标系内任意两点11(, )A x y ，22(, )B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：2121(,)||||d A B x x y y =-+-．则下列说法正确．．的个数是（ ） ①若()1,3A -，()1,0B ，则(,)5d A B =；

②若点C 在线段AB 上，则(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=； ③在ABC ?中，一定有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>；

④在平行四边形ABCD ，一定有(,)(,)(,)(,)d A B d A D d C B d C D +=+.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 8.已知两定点A(-3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x-4y ＋4＝0上，则PA ＋PB 的最小值为( )

A ．513

B ．362

C ．155

D ．5＋102

二、填空题

9.设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________

10.无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．

11.原点O 在直线L 上的射影为点H （-2，1），则直线L 的方程为_____________. 12.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ，0）和（0，b ），且a ，b ∈N*，则可作出的l 的个数为 条．

13.过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有 条．

14.如图，平面中两条直线l 1 和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若x , y 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x , y ）是点M 的“ 距离坐标 ” 。 已知常数．．p ≥0, q ≥0，给出下列三个命题： ①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；

②若pq=0, 且p+q ≠0，则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有2个； ③ 若pq ≠0则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有3个.

上述命题中，正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号)

15.在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为

()1212,d P Q x x y y =-+-。若(),C x y 到点()()1,3,6,9A B 的交通距离相等，其中实数

,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为 。

16.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=______________

三、解答题

17.已知直线l 过点()1,2P 为，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．

（1）当OP l ⊥时，求直线l 的方程；

（2）当OAB ?面积最小时，求直线l 的方程并求出面积的最小值．

18.已知射线l 1：y=4x （x ≥0）和点P （6，4），试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．

19.如图，已知两条直线l 1:x-3y+12=0,l 2:3x+y-4=0，过定点P(-1，2)作一条直线l ，分别与l 1,l 2交于M 、N 两点，若P 点恰好是MN 的中点，求直线l 的方程.

20.一束光通过M(25，18)射入被x 轴反射到圆C ：x 2+(y-7)2

=25上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围.

参考答案

1.A

2.D

3.D

4.D

5.D

6.C

7.C

8.A

9.3x-y-2=0

10.

11.

12.2

由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可

得=1，

求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．

解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3

因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，

因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求

所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．

故答案为2．

本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．

13.2

直线的截距式方程．

探究型；分类讨论．

分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求．

解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；

当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，

代入A 的坐标得a=1+4=5． 直线方程为x+y=5．

所以过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有2条． 故答案为2．

本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题． 14.①② 15.)

5

21。

解析：由条件得1369x y x y -+-=-+-。 当1,9x y ≤≥时，无解； 当16,9x y ≤≤≥时，无解； 当6,9x y ≥≥时，无解；

当1,39x y ≤≤≤时，8.5y =，线段长为1。

当16,39x y ≤≤≤≤时，9.5x y +=，线段长为52 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =，线段长为4。 当1,3x y ≤≤时，无解。 当16,3x y ≤≤≤时，无解。 当6,3x y ≥≤时，无解。

综上所述，点C 的轨迹构成的线段的长之和为)

1524521+=。

16.3或-6

17.解：（1）由已知2OP k =,11

2

l op k k =-

=-， 由直线方程的点斜式可得直线l 的方程为()1

212

y x -=--， 所以直线l 的方程为250x y +-= （2）设直线l 的方程为

()10,0x y

a b a b

+=>>， 因为直线过()1,2P ，所以12

1a b

+=

∵ 12212a b ab

=

+≥ 8ab ≥，

当且仅当121121

2

a b

a b ?+=????==??，即24a b =??=?时，取得等号．

∴ 1

42

ABC S ab ?=

≥ ，即面积的最小值为4 所以，直线l 的方程是124

x y

+=，即240x y +-= 18.解：设点Q 坐标为（a ，4a ），PQ 与

x 轴正半轴相交于M 点．

由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为：，

令，

∵a ＞1，∴

，

则

=，

当且仅当（a ﹣1）2

=1取等号．所以a=2时，Q 点坐标为（2，8）； PQ 直线方程为：x+y ﹣10=0．

19.参考答案：设所求直线l 的方程为： y=k(x+1)+2

由交点M 的横坐标x M =.

由

交点N 的横坐标x N =

∵P 为MN 的中点，

∴

.

所求直线l 的方程为x+2y-3=0.

20.参考答案：(1)M(25，18)关于x轴的对称点为M′(25，-18)依题意，反射线所在直线过(25，-18)，即.

即x+y-7=0.

(2)设反射线所在直线为y+18=k(x-25).

即kx-y-25k-18=0.