红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的概念和通项公式
课时作业3等差数列的概念和通项公式
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 011－2 012n，则此数列() A．是首项为2 011的等差数列
B．是首项为－1且公差为2 012的等差数列
C．是公差为2 011的递增等差数列
D．是首项为－1且公差为－2 012的递减等差数列
【答案】 D
【解析】a1＝－1，a n＋1－a n＝[2 011－2 012(n＋1)]－(2 011－2 012n)＝－2 012<0.故选D.
2．已知在数列{a n}中，a n＋1－a n＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为()
A．18B．19
C．20 D．21
【答案】 C
【解析】由条件知{a n}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d ＝2＋9×2＝20.
3．在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】∵a1＋a5＝10＝2a3，
∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.
4．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为() A．3 B．6
C．8 D．10
【答案】 A
【解析】由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，
∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，
∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.
5．已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝() A．2n B．2n－1
C．n－1 D．2n＋1
【答案】 B
【解析】设等差数列{a n}的公差为d(d>0)．
由a3＝a22－4得a1＋2d＝(a1＋d)2－4，即1＋2d＝(1＋d)2－4，d2＝4.又{a n}是递增数列，所以d＝2，
故a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
6．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}()
A．是常数列B．是等差数列
C．是摆动数列D．非以上三种数列
【答案】 B
【解析】
a n ＝??
?
S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)
???
?
1， (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).
∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 又a n ＋1－a n ＝2为常数， ∴{a n }是等差数列．
7．设数列{a n }是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】 B
【解析】 设等差数列{a n }前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得
??
?
a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )×a ×(a ＋d )＝48，
解得??
?
a ＝4，d ＝±2(由题意舍去－2).
所以首项为a －d ＝2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 【答案】 13
【解析】 等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得
??
?
a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，
∴??
?
a 1＝3，d ＝2，
∴a 6＝a 1＋5d ＝13.
9．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为________． 【答案】 log 25
【解析】 lg(2x －1)－lg2＝lg(2x ＋3)－lg(2x －1)， ∴2(2x ＋3)＝(2x －1)2， ∴(2x )2－4×2x －5＝0， ∴2x ＝5，∴x ＝log 25.
10．在数列{a n }中，a 1＝3且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.
【答案】 3n 2 【解析】 ∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，
∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差
数列．
∴数列的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ， ∴a n ＝3n 2.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)数列{a n }是等差数列，b n ＝ka n ＋b (k ，b 是常数，n ∈N ＋)，求证：数列{b n }也是等差数列．
【解析】 证明：因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n 为常数，不妨设为d .所以b n ＋1－b n ＝(ka n ＋1＋b )－(ka n ＋b )＝k (a n ＋1－a n )＝kd (常数)，所以数列{b n }为等差数列．
12．(15分)已知等差数列{a n }中，(1)a n ＝2n ＋3，求a 1和d ；(2)a 7
＝131，a 14＝61，求a 100，并判断0是不是该数列的项？
【解析】 (1)∵a n ＝2n ＋3，∴a 1＝2×1＋3＝5. ∴d ＝a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋3－(2n ＋3)＝2. (2)设数列{a n }的公差为d ，由题意知
??
?
a 1＋6d ＝131，a 1＋13d ＝61.
解得??
?
a 1＝191，d ＝－10.
故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－10n ＋201. ∴a 100＝－10×100＋201＝－799. 令－10n ＋201＝0， 解得n ＝20.1?N ＋， ∴0不是该数列的项．
13．(20分)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
【解析】(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为a n＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设a n＝2 008，由2 008＝1 892＋4n，得n＝29.
假设a n＝2 050,2 050＝1 892＋4n无正整数解．
所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会．
高中数学公式史上最全大全
高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
高一数列通项公式常见求法
数列通项公式的常见求法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式 例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。 解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式 若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。 解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n
等差数列概念及通项公式经典教案
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
高中数学-数列公式及解题技巧
数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。
二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出 了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。 [例] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （ 1≠x ）………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1= a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）
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高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)之欧阳数创编
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn= Sn=当d≠0时，Sn是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1
为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-
S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个
高中数学人教A版必修5--数列的概念与通项公式
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)． 答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.
答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递 减”)． 解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)． 又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列． 答案 递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号． 故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，
高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；
三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】
高中三角函数和数列部分公式
公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 推导：cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……① 在等式①两边加上1，整理得：cos(2α)+1=2cos^2(α) 将α/2代入α，整理得：cos^2(α/2)=(cosα+1)/2 在等式①两边减去1，整理得：cos(2α)-1=-2sin^2(α) 将α/2代入α，整理得：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定） tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2) 推导：tan（α/2） =sin（α/2）/cos（α/2） =[2sin（α/2）cos（α/2] /2cos(α/2)^2 =sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα 一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式： S n=S n=S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习（含解析） 新人教A 版必修5 知识点一 根据数列的前几项求通项公式 1．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1 ·(2n －1) 答案 A 解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23 －1，15＝24 －1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)． 2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…； (2)112，245，3910，416 17，…； (3)12，34，78，15 16，…； (4)3，5，9，17，…． 解 (1)0．9＝1－0．1＝1－10－1， 0．99＝1－10 －2， 0．999＝1－10 －3， 0．9999＝1－10－4 ， 故a n ＝1－10－n (n ∈N * )． (2)112＝1＋112＋1，245＝2＋22 22＋1，3910＝3＋32 32＋1，41617＝4＋42 42＋1，故a n ＝n ＋n 2 n 2＋1(n ∈ N * )． (3)12＝21 －121＝1－121，34＝22 －122＝1－122， 78＝23 －123＝1－123，1516＝24 －124＝1－124， 故a n ＝2n －12n ＝1－12 n (n ∈N * )． (4)3＝1＋2，5＝1＋22， 9＝1＋23， 17＝1＋24 ， 故a n ＝1＋2n (n ∈N * )．
高中数学数列公式大全很齐全哟
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一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是 一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例 式)； 当q≠1时，S n =S n =
三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)
高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第
2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时 数列的概念与通项公式 数列的概念 [提出问题] 观察下列示例，回答后面问题 (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，1 6. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，1 32 ，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)， a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难] 1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． 2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项. 数列的分类 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？
数列通项公式和前n项和求解方法全
数列通项公式的求法详解 一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 学习札记 第2章 数列 【知识结构】 重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论； 等差等比数列的应用和性质。 第1课 数列的概念及其通项公式 2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3．理解数列的通项公式的概念，并会 用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式； 4．提高观察、抽象的能力． 【自学评价】 1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的， 因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别. __________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项 与 之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…； ⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ， 也可以是|2 1 cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可 以看作是一个定义域为正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________. 【精典范例】 高中数学数列公式及结论总结 一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式： S n=S n=S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，S n=S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq； 高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式： ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; （当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时，设为此式） (3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设 为此式） 2 a(x x 0 ) （ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时，设为此式） 4 5 真值表： 同真且真，同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1）个 1）个 至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立 x ，不成立 x ，成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 . ） 四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互逆 逆命题 若ｑ则ｐ 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 p p q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件； 、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数： (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是： 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解 ： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等 比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和 数列公式数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法： 理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观： 提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式 难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理: (1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理: (1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式第1课 数列的概念及其通项公式
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