克莱姆法则及证明

第7 节克莱姆（Cramer）法则

一、线性方程组

元线性方程组是指形式为：

的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，，

称为方程组的系数，称为常数项。

线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个

未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。

为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：

（1）. 这个方程组有没有解？

（2）. 如果这个方程组有解，有多少个解？

（3）. 在方程组有解时 , 解之间的关系 , 并求出全部解。

本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形。

二、克莱姆法则

定理 1 （克莱姆法则）如果线性方程组

的系数行列式：

接下来证明定理。首先，证明 3）确实是（2） 的解。将行列式 按第 列展开得： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：

其中 是把 中第 列换成常数项 所得的行列式，即

方程组有解； 解是唯一的； 解由公式（3）给出。

因此证明的步骤是：

有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 与 。

第二，证明如果 是方程组（２）的一个解，那么一定有

。这就证明了解的唯一性，即证明了结论 。

3）

代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组

证明：先回忆行列式的一个性质，设 阶行列式

第一，把

，则有：

其中是行列式中元素的代数余子式。现把

代入第个方程的左端，得：

这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的

一个解。

其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：

4）

用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：

将此 个等式相加，得：

三、齐次线性方程组

在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性 方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为 就是它的解，这个解 称为零解；其他的，即 不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所以，对于齐次 线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方 程组解的个数是有密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有 唯一解；反之， 如果某个齐次线性方程组有唯一解， 那么由于零解是一个解，所以这个方 程组不可能有非零解。

对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有

推论 1 如果齐次线性方程组

的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。

推论 2 齐次线性方程组

从而有： 这就是说，如果 是方程组（2）的 一个解，那么一定有

，所以方程组只有一个解。

有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。

四、例子

例 1 解线性方程组

解：方程组的系数行列式：

这个线性方程组有唯一解。又因所以根据克莱姆法则，

所以这个线性方程组的唯一解为：

在四个点 处的

值分别为： ，试求其系数 。 解：将三次曲线在4 点处的值代入其方程，得到关于 的线性方程组：

例 2 解线性方程组

解：方程组的系数行列式：

所以根据克莱姆法则， 这个线性方程组有唯一解。

所以这个线性方和组的唯一解为：

例 3 已知三次曲线

又因