数学建模-草原鼠患问题(1)

摘要：

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。

关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患

一、问题重述

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，繁殖力强。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

(1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

(2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

(3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

问题2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

问题3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

二、背景

据统计，内蒙古呼伦贝尔大草原一些地区每公顷草原约有千余鼠洞，严重地区鼠害面积已占草场面积的40%，鼠灾已严重影响牧民生存。

进入4月中旬，呼伦贝尔大草原本应该是“草色遥看近却无”的时节，但是由于去冬今春降水量偏低，干旱严重，青草至今还看不到踪影。而严重的干旱常常成了鼠害产生的温床。有关部门调查，鼠害最为严重的是新巴尔虎右旗。这个旗的鼠害面积达800多万亩，占全旗草场的40%。当地草原工作站监测数据显示，新巴尔虎右旗生存着上亿只老鼠，每天可吃掉上千吨牧草。本来春季牧草就十分短缺，如今加上严重的鼠害，已经形成老鼠和牛羊争牧草的局面。

在呼伦贝尔草原上为害的老鼠主要是布氏田鼠和长爪沙鼠。由于近年来老鼠的天敌几乎消失殆尽，再加上多年来持续干旱，老鼠种群发展速度十分惊人。严重的鼠灾已经影响到草原牧民的生存与发展。

据统计，鼠害严重地区每公顷有老鼠洞1600多个，平均鼠洞密度为每公顷977个。人在草原上行走，随时可见老鼠窜来窜去，驱车在草原路上走过，就可能轧死几只老鼠。

有关专家警告，呼伦贝尔草原鼠繁殖能力特别强，春夏出生的幼鼠秋天即可繁殖。如果不能在春季控制住鼠害蔓延的趋势，就有可能给草原带来毁灭性的灾难。尽管化学灭鼠不是上策，目前还是不得已而为之。新巴尔虎右旗已经配制了100吨毒饵，发放给牧民，指导牧民常规灭鼠，同时还在协调飞机投毒饵灭鼠。

三、基本假设

1）老鼠、天敌的出生率、死亡率在正常状况下保持不变；

2）老鼠、天敌各个种群之间的性别比为1：1；

3）每只老鼠在单位时间内对草原的破坏程度相同；

4）老鼠药、牧草单位数量的的价格长时间内不会发生变化；

5）老鼠、天敌生存的环境不会有较大的变化；

6）老鼠在短时间内不会产生抗体；

7）牧草长成的过程不会受到老鼠的影响（为了避免其对牧草生长的影响，可在为遭破坏的草原上种植牧草然后将其移植到需要解决鼠患问题的地方）

8）草原的面积为一公顷

9）天敌的生存离不开老鼠

[模型分析]

针对题目中的三种方案，从时间资金投入以及效果等方面出发，建立差分、微分模型、V olterra模型，对各方案在其平衡点处的最终效果进行分析并予以比较，得出其在短时间与长时期的优势、劣势，综合考虑各方案，得出一套切实可行的方案。

[模型建立]目标函数：M （t ）=

P(t)*Q(t)1;○1 老鼠的数量： axy rx ay r x dt

dx -=-=)(;○2 天敌的数量：byx dy bx d y dt

dy +-=+-=)(;○3 从○

2、○3中消去dt 后得到 天敌与老鼠之间的关系：axy

rx byx dy dx dy -+-=)(;○4 联立○

2、○3得两个平衡点分别为： ??

? ??a r b d A , ， ()00'，A 计算他们的p 、q （p=-(-a+rx) , q=dy

b rx a -）发现，对于'A ，q=0但'A 不稳定；对于A 点p=0,q>0,处于临界状态，属于非线性方程，不能用判断线性方程的平衡点的稳定性来判断。

由○

4得，方程○2○3的相轨线为： ()()

c e y e x ay r bx

d =--（其中c 为任意常数） 由c 的任意性知，相轨线是一族从A 点向外扩展的封闭曲线。

1） 方案一：灭鼠药

)1(11q q a a a k k +??=-+

1）有公害药物对老鼠的影响：

n1次繁殖后x 的增长量（呈几何型曲线增长如图）：（1）x （n 1

）=1a 1n q

Q (t)=12p xn

P (t) =V 1∑=n k n q

01a

M(t)= P(t)*Q(t)1=∑=n k n q V p xn 01112a *1

方案二：引入老鼠的天敌

引入天敌前，老鼠一年中的增长曲线及各代每胎所生老鼠数目的条形图 N=（16?n+66?n 2+56?n 3+n 4）×2（老鼠一年生四代）

引

入

天敌后老鼠和天敌的变化情况如下图：

23p n Q(t)=

?=101)(P(t)t t dt v t x M(t)= P(t)*Q(t)1=?10

123)(*p n 1t t dt v t x 当引入天敌数量过多时，生态达到平衡的时间较短但投入资金较多；

当引入天敌数量较少时，生态达到平衡时的资金投入较少，但所需时间较长，对草原破坏较大；

为了达到更好的效果需将时间与损坏程度带入上式给予评价.

2) 方案三：人工种植牧草

本问题由于种植牧草的作用是使的老鼠视线受到了阻挡，使得天敌对老鼠的扑捉能力加强，从另一方面来讲也就是说天敌的数量增多。当牧草开始退化时，老鼠的视线进一步可以扩张，使得老鼠对天敌的躲避能力加强，及可看作是天敌的数目的减少。用方案二的理论给予说明。

Q(t)=S* p 2

P(t)=?1

01)(t t dt v t x

M(t)=

P(t)*Q(t)1=?1012)(*p *S 1t t dt v t x 种植牧草（自然退化）只能在短期内有效地抑制草原鼠的数量，并且维护投资较大，不能从根本上解决问题。

通过对以上三种方案的分析，联系实际得出了一种具体且较为有效的方法如下：

从棉花籽中提炼出的棉酚，用中药天花粉和莪术。分别制出对母鼠和公鼠的避孕药。实验结果表明，吃了“不育剂”的小白鼠交配后90%没有后代，吃了这种药的白鼠与没吃药的白鼠交配后同样不能正常繁育后代。通过吉林省黄泥河林业局的验证，我们得出在三年后老鼠的种群数量下降大约为70%。然后再种植矮麦冬草（其特点见附录）。同时，培育银狐。一年后将培育好的狐狸放入自然，捕食老鼠。据新疆畜牧部门对福海县40多万亩鼠害严重的草原进行调查，发现几乎每个鼠洞群附近都有放归后的银黑狐活动的痕迹，同时还发现有效鼠洞数量比放归银黑狐前减少了70%以上。

最终达到自然平衡的目的。同时麦冬和银狐都是有自身价值的物种，麦冬和银狐的骨头以及器官都有药用价值，银狐的皮毛又是皮毛市场里的瑰宝。所以在以后的发展中，可以通过出售此类物品来降低投入的成本。

六 、模型的推广：

1） 澳大利亚袋鼠问题；

2） 水葫芦的引进问题;

七、模型优缺点分析及改进方向

【模型优点】本文通过对老鼠及其天敌的数量变化进行了分析，利用数学工具建立了微积分、差分模型，并利用这个模型对其各种方案进行了评估，得出了自己更为合理的方案。

【模型缺点】由于本文对数据要求较大，对数据的要求较高，使得模型过于复杂，故最后在达到目的后没有一个具体的老鼠和天敌，以及生态平衡时的种群数量。天气对老鼠和天敌繁殖和成活的影响没有考虑。会对最后达到生态平衡的时间有一定的影响。

八、参考文献

《数学模型（第三版）》高等教育出版社姜启源

《微积分和数学分析引论》科学出版社 F .约翰刘嘉善译《Matlab实用教程》电子工业出版社苏金明

附录：

鼠患对我们的启示

要有效遏制鼠害，必须解决超载过牧，这就要运用生态智慧，调整人与自然的关系，杜绝对自然的过度索取。

提及草原，人们常会想到那句著名的古诗：“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊。”如今，这样的风景已很难再觅。

5月的内蒙古草原，正遭受着一场严重的鼠害：草原上满地的鼠洞，让骏马难再奔驰；刚刚返青的牧草，被老鼠大肆吞噬；绿色的草地正在变成黄褐色的荒漠。据统计，内蒙古草原鼠害危害面积超过9800万亩。

当地人说鼠害猖獗是因为草原退化，可草原退化又是因为什么呢？正如生态学所揭示的，除了气候等自然因素，主因还是人类无节制的活动——既有历史上的开垦农田，也有近年来的滥捕草原动物，还有长期的超载过牧。

草原也是人类的家园，怎么能不让人活动？关键要节制，要敬畏自然，尊重草原生态系统的规律。

内蒙古草原上，千百年来流传着一段古老的对话。孩子问母亲：“妈妈，我们为什么要不停地搬迁？”母亲说：“孩子，我们要是固定在一处，大地母亲就会疼痛，我们不停地搬迁，就像血液在流动，大地母亲就会感到舒服。”这一对话让我们看到游牧和草原生态之间那种相互依存的辩证关系。

草原生态既是美好的，也是脆弱的。在草原上，牲畜对草场的作用表现在采食、踩踏和施肥三个方面。适度的采食、踩踏、施肥可以松土并促进牧草的生长，但

草原经不起牲畜长时间的频繁踩踏。所谓不能竭泽而渔，我们可以利用草原，但也要给草原以休养生息的机会。

内蒙古的浑善达克沙地是京津沙尘暴的策源地之一，那里在历史上曾经水草丰美，有“塞外江南”之美誉。上世纪80年代以后，牧民的牲畜成倍增长，过度放牧导致沙化程度愈演愈烈。9年前，中科院专家试验性地在已严重沙化的4万亩草原上禁耕、禁牧，让其自然恢复，牧民养畜所需饲草在小范围的人工高效地上生长。如今，这片草原重现生机，野兔、狐狸、大雁、灰鹤、狼等野生动物也渐次回归。

我们并不敢说，4万亩草原上的做法能够复制到所有草原，可它至少说明了一个问题，解决草原退化的问题，需要一种系统的眼光，而不能头痛医头，脚痛医脚。

当前内蒙古的鼠患，令人揪心，为解燃眉之急，投入更多的资金，施用技术含量更高的药物，非常必要；把鼠情预测预报与防治体系建设纳入国家规划，对于遏制年复一年的鼠害也是意义重大。然而，仅仅这些，似乎还难以彻底消除造成鼠害的主因——超载过牧。

解决超载过牧，根治草原鼠患，既要有应急之举，更应该运用生态智慧，调整人与自然的关系，杜绝对自然的过度索取。应从生态系统的整体恢复着眼，完善现行草原承包制度，选择合适的技术路线，科学管理和利用草原。草原之外的人也要深刻认识到，自己的衣食住行在哪些环节过度消耗了资源，造成了污染，从而克制过度的欲望，从身边做起，造福生态。