重庆大学矩阵论大作业-参考模板

矩阵分析在-------机械振动中的应用

摘要：随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。本文采用了矩阵论中所学的矩阵相似变换、矩阵正交化及特征方程等相关知识，对多自由度系统的自振动的运动微分方程进行了研究分析，引入正则坐标并采用坐标变化法求得了振动系统的自由响应。

关键词：多自由度系统，正则坐标，自由响应

一、引言

20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于复杂的机械结构特性分析也越来越重要。而对于像航天器等复杂的机械结构需要用更多的自由度来描述，多自由度系统的振动方程式二阶常微分方程组。建立系统方程是振动分析的前提，但随着自由度的增多，所建立的系统运动微分方程也越来越复杂，对于离散系统运用牛顿第二定律的方式来对方程进行求解也越来越困难，为此发展了柔度系数法和刚度系数法，而拉尔朗日方程是建立系统控制方程的最通用方法，他使用功、能和广义力等物理量，得到了完全刻画系统的最少方程。本文只考虑阻尼矩阵能够被无阻尼振形矩阵对角化的情形，分析其基本理论方程，并用实例进行论证求解。

二、多自由度系统的自由振动理论

本文主要对多自由度系统的自由振动进行求解，在介绍多自由度系统的振动之前，先介绍单自由度无阻尼的自由振动以便了解机械振动理论的基本原理。

1.单自由度无阻尼系统的自由振动

图1 单自由度无阻尼系统

对于单自由度系统而言，当系统受到激励时，根据牛顿第二定律，可以列出的运动微分方程为：

0mx kx += (1.1)

其中，m 为物体的质量；k 为弹簧的刚度；x 为物体的加速度；x 为弹簧的伸缩量。该方程是一个二阶齐次线性常系数微分方程。这为之后的多自由度系统的运动分析提供了理论基础。

2.多自由度无阻尼系统的自由振动

多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。本文主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。

在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为：

[]{}[]{}M 0x K x += (1.2)

在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。对于多自由度系统振动解可设为：

{}{}i t x A e ω= (1.3)

列向量{}A 和ω均为待定复常数。若系统是振动的，则解ω必为实数。将式(1.3)代入(1.2)，得到下列代数齐次方程组：

[][](){}20K M A ω-= (1.4)

上面的方程组存在非零解{}A 的充分必要条件是系数行列式为零，即：

[][]20K M ω-= (1.5) 式(1.5)为系统的特征方程，具体写出为：

22211111212112222121

2222

2222211

...............

...

...n n n n n n n n nn nn

k m k m k m k m k m k m k m k m k m ωωωωωωωωω---------=0 (1.6)

上式左端的行列式展开后是关于2ω的n 次代数多项式：

22(1)2(2)21210n n n n n b b b b ωωωω---+++?++= (1.7)

称为特征多项式，由式(1.6)或(1.7)可解出n 个2ω称为特征值或特征根，将其按升序排列为：

222

12n 0<≤≤≤ωωω…

显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。这n 个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。

在求得特征值后．把某一个2j ω代回式(1.4)，可求对应的列向量{}j A 。由于式(1.4)的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1)个是独立的，故只能求出列向量{}j A 中各元素j a 1、j a 2、j a 3…nj a 的比例关系。

我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式)，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如n A 项)移到等式右边，可得代数方程组：

()()()()()()()()()()()2222

11111121221,11,11,11222221

211222222,12,11,222221,1

1,111,21,221,11,1+++j j j j n j n n j n j n nj j j j j n j n n j n j n nj

n n j n j n j n n j n n n k

m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a k

m a k m a k m a ωωωωωωωωωωω----------------+-+-=---+-+-=---+-+-…………

…()21,1,1,j n n j n n nj

k m a ω--=--

(1.8)

解上面的方程，可得到用nj a 表达的解1j a 、j a 2…j n a ,1-，显然都与nj a 的值成比例。我们可将这些比例常数用121,,,...,j j n j φφφ-表示，并补充1nj φ=，可得列向量{}{}???ν?φφφφT

12=,,...,，则有：

{}{}j

A =A f (1.9)

列向量{}j ?是确定的常数，反映列向量{}A j 中各数的比例关系，叫作特征向量。同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。不失一般性，我们可在式(1.9)中用待定复常数j r 取代nj A ，式(1.9)可写为：

{}{}A j

r φ= (1.10)

这样，当{}j φ成比例变化时，j r 有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不

同的特征向量。对应于n 个特征值2j ω可得n 个特征向量{}1φ{}2φ…{}n φ ，且每一个特征向量都满足式(1.4)。

对于一个振动系统，特征值就是系统的固有频率，特征值相对应的特征向量就是系统的振形。显然，对应于n 个固有频率j ω可得n 个振形{}1φ{}2φ…{}n φ。我们

将在后面论述。

显然，将j ω及{}j A 代入式(1.3)，可得n 组满足方程(1.2)的解，将这些解相加，可得多自由度系统自由振动的一般解为：

{}{}1

iw t

j j j j x r j e

==∑ (1.11)

其中2n 个待定常数j j j r a ib =+由系统运动的初始位移和初始速度确定。如果系统在某一特殊的初始条件下，使得待定常数中只有k r ≠0，则式(1.11)所表示的系统运动方程只保留第k 项:

{}{}iw t

k k k x =r j e

(1.12)

多自由度系统振动一般解的方程可表达为：

????

???

+=+=+=)sin(......)sin()sin(2211k k nk k n k k k k k k k k t r x t r x t r x ?ωφ?ωφ?ωφ (1.13)

这时整个系统按圆频率k ω、振幅比{}k ?作同步简谐运动。振幅分别为{}r k k ?，振幅之间都保持固定不变的比值{}k ?。因此特征向量{}k ?完全确定了系统按固有

频率kω振动时的形态，所以特征向量{}k?就是按相应固有频率振动时的振型向量，对应

k ω的特征向量{}k ?称为它的第k 阶主振型或主模态，相应的振动叫主振动。在振动过程中，一般还会产生其它阶主振动。

对于一个n 自由度系统，一般可以找到n 个固有频率，以及相应的n 个主振型。我们把各阶主振型组成的矩阵叫做振型矩阵：

[]{}{}{}12...n ??????

=?? (1.14)

三、三自由度系统自由响应求解

三自由度的弹簧-质量系统如图11所示，设t=0(){}{}(){}{}T T

01,0,0,00,0,0x x ==时。求振系的自由响应。

图2 三自由度无阻尼系统

解：第一步，建立振动微分方程，由刚度法可建立该振系的微分方程

11223300200020000

2m x k k

x m x k k k x m x k

k x -????????????????+--=???????

?????????-????????

第二步，求固有频率和振型。系统的[][]=M m I ,[]210=121112K k -??

??--??

，故系统矩阵

[][][]1210=121112k S M K m --??

??=--????--??

将[S ]代入振型方程得

[]123210012101120k I m φλφφ?-???????

???????---=???? ???????

???--????

???? 故频率方程为

20200

2k m k k k m k k

k m λ

λλ

-----=--

由上式解得三个特征值为

(

222=

k k k

λλλ-+=

对应的固有频率为

123ωωω==将1λ代入振型方程a 消去公因子

，并令11φ=1，则有

12310011001

φφφ?-?????????--=???????????--??

???? 由上式解得

21φ31=1φ

对2λ，3λ做同样的处理，得到相应的振型为

{

}{}{

}12

3111==0=111φφφ??

?????????????-??

第三步，求振型矩阵与正则矩阵。振型可知，振型矩阵即可确定

[

10111??Φ=??-?

为求正则振型矩阵，需先求出各阶主质量

[

][][]T

T 111T 222T 3331100004100124m M M m m m M M m M M m

φφφφφφ??

????===????????

====

再求出各阶正则振型

{}

11φφ??

==?

{}

{

}

N2N310111φφφφ???=

-???=

由正则振型即可构成正则振型矩阵

[

1101

1??

Φ=???

第四步，用正则坐标变换

{}[]{}N N X x =Φ

可得到用正则坐标表示的独立方程

{}{}2N N 0i i i x x ω+= (i =1, 2, 3)

第五步，把初始条件变换到正则坐标上，若将式子两端左乘[][]

[]1

S M K -=则有

[][][]{}[][][][]{}1T 1T

N N N N N N M M X M M x --Φ=ΦΦ

因[][][][]T N N N =M M ΦΦ,[][]1

N I M -=

即

(){}[]{}(

){

N N N

11100100000000011

1m x x x m m ???

??????

??=Φ=?????????????????? (){}[]{}(){}{}N N N 00=0x x x =Φ

第六步，求振系在正则坐标下的响应。而方程的一般解为

Ni Ni Ni (0)

(0)cos sin (1,2,

i i i

x x x t t i N ωωω=+

代入正则坐标表示的初始条件

()N11x t t ω

，()N22x t t ω=，()N33x t t ω= 第七步，把正则坐标的响应再变回到物理坐标系下。利用坐标变换式得