2011年度高考数学①轮课件《变化率与导数、导数的计算》

第16课时变化率与导数导教的计

考纲教材要览

了解导数概念的实际背景/理解导数的几何意义/能根据导数定义?求函数的导数/能利用常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数/能求简单的复合函数（仅限于形如3）的导数

教材复习

1 ?导数的定义

PK数严/（工）在工=m处的I瞬时变化率是岛严+第-心）=皿笋我们称它

△?—0 △?T、X

为函数y= fC：t）在.r. =:T Q处的导数（deriva-

tiw）记作丁'（勺）或$丄=丁?即# （工o）=

_/'（.巾+ ― 了（丄0）

hm ---------- r ------------- .

△ ?一。△ JC

2.导数的几何意义

当点P」g?.yJ（忆=1?2?3?1???）沿着fill线向点P接近时?

割线PP“趋近于确定的位置. 这个确定的位置的直线的PT称为P点

处的切线（tangent line）.当点P n无限趋近于

点P时?割线PP“兰无限趋

近于切线P丁的斜率k? W此函数，二＜(:c)在点?的导数就是切线PT的斜率A当△汎趋向于0时?割线的PP U斜率fepp =学的极限为k= /'(.Io ) =lim'( “十△:_— "t0). 切线的方程为y yo =j ‘Cq)(您一 g)?

3 ?基本初等函数的导数公式

(1)/ = 0； (2 )(丄”)'=丿』「I .(3)( sin 丄)'= cos .r； (4)( cos .r)' = —

sin ；r； (5)( In .r)'= —；(6)(logM)‘ =丄log d e； (7) (e x)x = e T；

：C 1C

(8)3) u.

4.求导法则

(1)[y(久)土址工)]'=j'(&)土『(u.):

(2)[/( .r) g( .=)]'= f'(：r)g( .r) ! j (.r) g7( .r)；(3)[_才(工)丁一cf f (工):

⑷(丄)3 九(E))?

基础自测

1.已知对任意实数加有f（ - :C）= — f（工）?0 - .（：） = 0 H）?I L￡＞ 0时.

于（丄）＞0?『（丄）＞0?则工＜0时

A. f\ .r）〉（）. g z（ .r）〉0

( ) B. /(.r)>0^，(.r；)<0

D.于CXO?『CXO

解析汀（Q为奇函数?则『3为偶函数；为偶函数?则『（」）为奇函数. 当工＞0时?丁 '（乂）＞0,『（乂）＞0,当ir:C0时?丁 '（夂）＞（）?『（工）＜（）?答案：13

2?曲线$=/ —3/ + 1在点（1.-1）处的切线方程为（）

A. y—3：v. 4 C?y——4_c~3

B. y= — 3 .r+ 2

D. V=4LL—5

解析：本小题主要考查导数与切线斜率的关系.由$ = 3/ —6工在点（1,一1）的值为一3,故切线方程为$+1= — 3（工一1）?

答案：E

3. |11|线$ =丄和$ = /在它们交点处的两条切线与.r 轴所閘成的三角

形的面积是

'的交点为亠\（ 1 ? 1）?在-V 点处曲线y =丄的工

T = 1 — 2.切线 S ? y

2（兀—1）+1

?心与工轴的交点1X2.0）观与乂轴

的交点C （-^-^O ）.故私皿x ? =

*|BC| ? t>\ |

? Q °C ■

答案:卡

解析：曲线$=+和$=工斜率『1 —= _吉

处曲线y = /的斜率y ,T = 1 = 2 T

r =l = — 1.切线 li : v

1 X ( 1) + 1.在 A 点

4.半径为r的|员］的面积S（ r）=兀/ ?周长（?（ r） = 2兀广,若将r看作（0?+（兀）上的变虽?则（兀/ ）‘ = 2兀芦?①

①式可用语言叙述为：闘的面积函数的导数等于I员1的周长函数.

对于半径为R的球?若将R看作（0. + Q上的变遗?请你写出类似于① 的式子: ___________________________________ ■②

②式可用语言叙述为__________________________________ ■

解析：因为半径为R的球的表面积为S（R）=4TV R2.体积v（R） = *便?显然V '（R）二5（R）,故第一个空填为（+沢疋），=4总2. 从而②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

答案：（十沢便）‘一4开便球的体积函数的导数等于球的表面积函数

求厘奴爪厂“ 丐出并

—在人」“处的寻数/_q 在I 九处的切线方程尸~\ 棘方程组

考点分类讲练

（一）导数的定义/（二）导数的几何意义/（三）导数的运算

典例解析

【例1］利用导数的定义求函数y （ □?）=?在尸-工°处的导数?并求曲线/（ X ）- X 3在 =兀处切线与曲线/（工）=存的交点.

广思维导图T

匕刁

求曲线爪）*在U5 的切线与曲线 ■ /（\）二\'的交点

解：丁'（他）=1 im ----- '"〉二lim— - -^― = 1 im（ / — .x.r（）+ ；r02）

= 3.r02.

曲线丁（丄）=￡在丄二丄0处的切线方程为$—円/二3-g2（丄—丄0）?

y= ?

即^=3.ro2.r.—2：r03,由% 3

y— o u.Q JC— 2 巧

得（工一工0 ）2（工+ 2 g） = 0 ?解得it—工° ?工=2 ICQ .

若"°工0?则交点坐标为（.TO?.TO3）?（—2：ro?—&（：/）:

若丄o = O、则交点坐标为（0?0）?

变式演练

1「直线z与曲线c相切?'是??直cc门1

线??与曲线有目.仅有-个公共

点”的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D既不充分也不必要条件答案：I）

典例解析

【例2】已知曲线方程为卩二/?

(1)求过A(2-4)点耳与曲线相切的点线方程:

(2)求过B(3.5)点目.与曲线相切的直线方程.

解：(1)???由y= . r?得，=2.x* /? v 二=? —1 ?

卩4此听求及线的方程为y~4=4( if — 2) ?即1 it— y—4 = 0.

(2)解法一：设过A(3?5)与曲线$=*相切的直线方程为v~5 FE( J? 3)即工| v= fej.；H-5 —

3fe. - -

+ 5 —3k?由9彳寻- kc+3fe-5 = 0. A= fe2-4(3fe-5) =0.

1尸:r

整理得2)(t 10)=0..*. k^2或k=10.

所求的直线方程为:2 r—y— 1 = 0?10.r— $—25 = 0.

解法二：设切点P的坐标为(乂0?比)?由y= ：i2得_/=2.门??._/| Li =2?,

由已知S A = 2 .工°?即—2g、o?又y()—代入11式整理得:g 1或:TQ = 5,

J—卫)

???切点坐标为(1.1).(5.25). A所求直线方程为2.(. $—1=0?10乂一$—25 = 0.

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S (o ?o r )d 4s x:

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_一沖立U N 專口菜7

【例3】求下列函数的导数:

解：(1)卩一(5/ — 4」+1) ' = (5/) ‘一(4丄)'+ (1) ' = 10丄一4?

(2) V v=(2；^ —1) (3：r ? 1) =6.2+2/ — 3:r — 1.

??? $ = (6.? + 2也一31) '= (6存)'+ 2(/)/-(3.r)' — (1)'」18/ + ￡ (3) T v —9」一6/ 卜 1打?『=36?? — 12工

d e? (4)

T v — ^-=4-

—? $，= —-

典例解析

—-1 A - * 1 ； (2) y — ( 2/

一1)(3丄+1几(3)，=(3, — 1)2：(1)$= ]

1/7

— . I

1 — Vr/1/1+ ;{y \ ( 1 — ￡I ( ■ Q J III

变式演练

3.求函数y=工（尤+ 1）（工 + 2）的导数.

解:y —工（工+ 1）（ I 2 ） =.启+ 3, + 2北?

I /? y ，=

+ 62.

1. 函数在一点的导数是根据函数极限进行定义的?由定义可知?函数在一点可导?则函数在这点一定连续；若函数*.丫：）在区间（山防上可导?则函数于（小的图象在（⑺站上是光滑的.

2. 根据导数的物理意义和几何意义?可求物体运动的速度和加速度?可求过一点和函数图象相切的直线方程. 在求切线方程的过程中要注意所给定点是否在函数图象上?可参看例2切线方程的计算方法.

3. 读者还可考虑直线与函数图象相切与直线和函数图象只有一个公共点是怎样的关系？如果直线与函数图象相切?函数的图象是否一定都在切线的同一侧等问题？

方法规律

剖析试题?追踪题源?预测趋势?强化训练

D高孝动向口

可导是函数最重要的性质?要明确函数亦一点可导与函数在一点连续的关系.明确函数在一点可导的几何意义、物理意义和相关的实际意义?高考考查导数的实际意义?比如曲线在一点的切线等问题.

例4主要考杳导数的求法、解不等式和数形结合的思想方法等.

O命题视角口

【例4】设函数f< ,T)= ?集合y(.7：)<0}.P=Cf /(.T)>0}.若

：C— 1

VT9P?则实数”的取值范围是( )

A?(一s?l) B. (0.1) C. (I.+CXD) D.[l?+oo)

5 疋上/ 、：L “:V— 1 t I- U 「1 — H

解析：v=/(.r)= ---------- = ----------- ; ---- =1 -- ----- .

X— 1 J：— 1 T— 1

当a<］时?图象如图1所示.当a>\时?图象如图2所示.

由图象可知?">1时?函数$在（l?+x）上为增函数?此时十（文）〉（）?同时y（a-xo的解集为（1?+?）的真子集.故选c.

答案:c

答案：2 -2

■ ■

D随堂小练口

1?设P为曲线C：y= ：i2 + 2丸+ 3 I:的点?

14曲线（：在点P处切线倾斜角的取值范围是[0?十]?则点P横坐标的取值范围是（）

B.C-KO]

C?[o,l] D. [^.1]

___________

解析：本题主要考查利用导数的几何意

[啜嫁切集第桑帥住題谶初Jk

坐标为：（o?且y f = 2：（￡）4 2 lan a（□为

点P处切线的倾斜角），

又T [0 ? ~Y~\，?: O￡2.「o + 2M1 ?

? & [—1 ?—4"〕?答案:A