全等三角形知识点总结及复习.docx

全等三角形知识点总结及复习

、知识网络

?对应角相等 对应边相等

I r

作图

角平分线性质与判定定理

、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、全等”的理解

全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中 的特殊情况）

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合 的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3） 有公共边的，公共边一定是对应边； （4） 有公共角的，角一定是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法

（1） 三边对应相等的两个三角形全等。

（2） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3） 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

'边 边 边 角形J

边 角 边

判定J

角 边 角

角 角 边

斜 边 、 全等形、全等三

SSS SAS ASA AAS

直角边 HL

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条

件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等（AAS）

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）

（三）经典例题

例1.已知：如图所示，AB=AC , 一一一「二亠 ~ ■■ ■■,求证l?''1'.

例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：I-二AL二

例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC ,求证：二匸厶

例4.如图所示垂足分别为D、E, BE与CD相交于点0,且］二

求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠ BAD、CE⊥AB于E，且∠ B+ ∠ D=180。求证：

AE=AD+BE

分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ,连结FC，可证出ADC BAAFC,问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD ,连结FC。

在AFC和ADC中

L AF = AD已作

■ 1二/2已知

AC=AC （公共边）

AFC B ADC （边角边）

???∠AFC= ∠ D （全等三角形对应角相等）

τ∠B+ ∠D= 180 （已知）

?∠B= ∠ EFC （等角的补角相等）

在CEB 和-CEF 中

Z B E EFC 已证

*∕CEB =N CEF =90 °（已知） CE=CE （公共边）

Λ . ：CEB BuCEF （角角边） ??? BE=EF ??? AE=AF+EF ? AE=AD+BE （等量代换） 证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ,连结FC （如右图）。 小结：在几何证明过程中，如果现成的三 角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 （四）全等三角形复习练习题

一、选择题 1. 如图，给出下列四组条件： ① AB =DE , BC =EF , AC =DF :② AB =DE,. B= . E , BC ③.B- E , BC=EF , . C- F :④ AB=DE , 其中，能使 △ ABC B △ DEF 的条件共有（ ）A . 2. 如图，D , E 分别为△ ABC 的AC , BC 边的中点， 的点P 处?若

.CDE =48 °则/APD 等于（ 3. 如图 △ =EF ； AC=DF , . B=E . 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 将此三角形沿D E 折叠，使点C 落在AB 边上 APC

） （四），点P 是AB 上任意一点，? ABC B △ APD .从下列条件中补充一个条件，不一定能 =.ABD ,还应补充一个条件，才能推出 推出△ APC B △ APD 的是（ ）

BC A . =BD B . AC = AD C . . ACB- ADB

.52 ° D . O

58

ABC DEF ,不能添 A

图

（四）

加的一组条件是（） （A ） ∠ B= ∠ E,BC=EF （ B ） BC=EF , AC=DF 如图， △ABC 中，∠ C = 90 ； AC = BC , AC = 10cm ,贝U △DBE 的周长等于（ A . 10cm B . 8cm C . 6cm 如图所示，表示三条相互交叉的公路， ）A. 1 处

5. 若

6. 则可供选择的地址有（

（C ） ∠ A= ∠ D , ∠ B= ∠ E （ D ）∠ A= ∠ D , BC=EF AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E , D . 9cm 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, B. 2处 C. 3处 D. 4处

博士教育

李老师

4题图

C

7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了 么最省事的方法是（

）A .带①去

3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那

D .带①②③去

B .

带②去 C .带③去

&如图，在 Rt △ ABC 中，? B =:90 ，ED 于点E .已知? BAE =10 ■,则? C 的度数为 是AC 的垂直平分线，交 AC 于点D ，交BC

A . 30

B . 40

C . 50

D . 60

9. 如图， △ ACB 4 △ ACB , . BCB =30 A . 20° B . 30° 10. 如图，AC = AD , BC = BD ,则有

A . A

B 垂直平分CD

1题图C . AB 与CD 互相垂直平分

,则.ACA ?的度数为（

11.尺规作图作 O

A

B

B . CD 垂直平分 D . 40°

AB

ACB

D . CD 平分∠ 10题图

.AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交

1

再分别以点 C 、D 为圆心，以大于 一CD 长为半径画弧，两弧交于点

2

OA 、

,作射线 OP,由作法得 △ OCP 4 △ ODP 的根据是（ ）A . SAS B . ASA C . AAS D .

12. 如图,∠ C=90o ,AD 平分∠ BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3c∏则点D 到AB 的距离为

（

13. 如图，OP 平分.AOB , （）A . PA

14. 如图，已知 SSS

)A. 5cm B. 3cm C. 2cm D.

不能确定

PA 丄OA , PB 丄OB ,垂足分别为 A , B .下列结论中不一定成立的是

B . PO 平分.APB

C . OA =OB

D . AB 垂直平分 OP

4 △ ADC 的是( )

D . ∠ B - ∠ D = 90

=PB

AB =AD ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定

△ ABC B . ∠ BAC =∠ DAC C . ∠ BCA = ∠ DCA 12题图

13题图

C

14题图