(部编版)2020年高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3

第一章计数原理

章末检测

时间：120分钟满分： 150分

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )

A．24种B．18种

C．12种D．6种

解析：因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有C23A33＝18种．故选B.

答案：B

2．若A3n＝12C2n，则n等于( )

A．8 B．5或6

C．3或4 D．4

解析：A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝1

2

n(n－1)，

∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，又n∈N*，且n≥3，解得n＝8.

答案：A

3．关于(a－b)10的说法，错误的是( )

A．展开式中的二项式系数之和为1 024

B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．

答案：C

4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )

A．8 B．12

C．16 D．24

解析：∵A2n＝n(n－1)＝132，∴n＝12(n＝－11舍去)．故选B.

答案：B

5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌

照号码共有( )

A．(C126)2A410个B．A226A410个

C．(C126)2104个D．A226104个

解析：2个英文字母可重复，都有C126种不同取法.4个不同数字有A410种不同排法．由分步乘法计数原理知满足条件的牌照号码有C126·C126·A410＝(C126)2·A410个．

答案：A

6．某学习小组男、女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的安排方法，则男、女生人数为( )

A．2,6 B．3,5

C．5,3 D．6,2

解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人，

∵C2x·C18－x·A33＝90，∴x＝3.故选B.

答案：B

7．由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 ( ) A．72 B．60

C．48 D．52

解析：只考虑奇偶相间，则有2A33A33种不同的排法，其中0在首位的有A22A33种不符合题意，所以共有2A33A33－A22A33＝60种．

答案：B

8．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 ( )

A．40 B．74

C．84 D．200

解析：分三类：

第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个，

第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，

第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.

答案：B

9．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝( )

A．9 B．10

C．－9 D．－10

解析：x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9＋C110·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10.故应选D.

答案：D

10．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )

A．12 B．24

C．36 D．48

解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A33种排法，故总的排法有2×2×A33＝24种．

答案：B

11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：由题意得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，

∴13C m2m＝7C m2m＋1，

∴

m！

m！·m！

＝

m＋！

m！m＋！

，

∴

m＋

m＋1

＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.

答案：B

12．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A．72 B．120

C．144 D．168

解析：先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)

13．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

解析：先将6名志愿者分为4组，其中有两个组各2人，共有C 26C 2

4

A 22种分法，再将4组人员分

到4个不同场馆去，共有A 44

种分法，故所有分配方案有C 2

6·C 2

4A 22

·A 4

4＝1 080种．

答案：1 080

14.? ????x y

－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)

解析：T r ＋1＝C r

8·?

??

??x y 8－r

·? ????

－y x r

＝(－1)r

·C r 8

·x 16－3r 2·y 3r －82，

令?????

16－3r 2＝2，3r －8

2＝2，

得r ＝4.

所以展开式中x 2y 2

的系数为(－1)4

·C 4

8＝70. 答案：70

15．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．

解析：3个人各站一级台阶有A 3

7＝210种站法，3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C 23A 2

7＝126种站法．共有210＋126＝336种站法．故填336. 答案：336

16. 已知(1＋kx 2)6

(k ∈N *

)的展开式中x 8

的系数小于120，则k ＝________. 解析：x 8

的系数为C 46k 4

＝15k 4

，由已知得，15k 4

<120，∴k 4

<8，又k ∈N *

，∴k ＝1. 答案：1

三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(12分)用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？

解析：解法一 五位数不能被5整除，则末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有A 1

5种方法；再从余下的5个数字中选4个放在其他数位，有A 4

5种方法．由分步乘法计数原理得，所求五位数有A 15A 4

5＝600个．

解法二 不含有数字5的无重复数字的五位数有A 5

5个；含有数字5的无重复数字的五位数中，末位不含5有A 1

4种方法，其余数位有A 4

5种方法，共有A 14A 4

5个．因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数个数为A 5

5＋A 14A 4

5＝600个．

解法三 由1～6组成的无重复数字的五位数有A 5

6个，其中能被5整除的有A 4

5个．因此，所求的五位数共有A 5

6－A 4

5＝720－120＝600个． 18．(12分)二项式? ??

??x －2x n 的展开式中：

(1)若n ＝6，求倒数第二项；

(2)若第5项与第3项的系数比为56∶3，求各项的二项式系数和．

解析：(1)二项式? ????x －2x n 的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ??

??－2x r ，当n ＝6时，倒数第二项是T 6＝

C 56(x )

6－5

·? ??

??－2x 5

＝－192x －92.

(2)二项式? ????x －2x n 的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ? ??

??－2x r ，

则第5项与第3项分别为

T 5＝C 4n (x )n －4? ????－2x 4和T 3＝C 2n (x )n －2? ??

??

－2x 2，所以它们的系数分别为16C 4n 和4C 2

n .

由于第5项与第3项的系数比为56∶3，则16C 4n ∶4C 2

n ＝56∶3，解得n ＝10，所以各项的二项式系数和为C 0

10＋C 1

10＋…＋C 10

10＝210

＝1 024.

19．(12分)已知(a 2

＋1)n

的展开式中各项系数之和等于?

????165x 2＋1x 5

的展开式的常数项，并

且(a 2＋1)n

的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．

解析：?

??

??165x 2＋1x 5

展开式的常数项为

C 4

5?

????165x 2? ??

??1x 4＝16.

(a 2

＋1)n 展开式的系数之和2n

＝16，n ＝4.

∴(a 2

＋1)n 展开式的系数最大的项为C 24(a 2)2×12＝6a 4

＝54， ∴a ＝± 3.

20．(12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

解析：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．

(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．

21.(13分)如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同

一条棱上的两端点异色．如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．

解析：解法一由题设知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．

当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C、D还有7种染法．故不同的染色方法有60×7＝420种．

解法二以S，A，B，C，D顺序分步染色．

第一步，S点染色，有5种方法：

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步，B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类：

当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染

色方法，D点也有2种染色方法．

由分步乘法计数原理、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种．

解法三按所用颜色种数分类．

第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；

第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；

第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．

由分类加法计数原理得不同的染色方法共有A55＋2×A45＋A35＝420种．

22．(13分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数．

(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；

(2)其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；

(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．

解析：(1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C55＋C13C45＋C23C35)A55＝5 520.

(2)先选出4人，有C47种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A14·A44种方法，∴方法数为C47·A14·A44＝3 360.

(3)由题意知甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C36＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A33＝18；综上可知共有20×18＝360.