控制数学模型

第二章 控制系统的数学模型

2—1 数字模型

在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。 自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统

其内在共性运动规律。

系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。 常用的数学模型有：

数学模型

的建立方法

一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。

建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。

电气的、 机械的、 液压的

气动的等 微(差)分方程 传递函数(脉冲传递函数研究线性离散系统的数学模型) 经典控制理论 频率特性(在频域中研究线性控制系统的数学模型) 状态空间表达式(现代控制理论研究多输入—多输出控制系统) 结构图和信号流图，数学表达式的数学模型图示型式 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，

列写出各变量之间的数学关系式

实验法：对系统施加典型信号(脉冲、阶跃或正弦)，记录系统的时间响应

曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。

图2-1 求取性能指标的主要途径

2－2运用微分方程建立数学模型

控制系统中的输出量和输入量通常都是时间的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输人量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 建立系统微分方程的一般步骤或方法是：

1)根据研究问题的需要，确定系统的输入和输出。

2)对实际系统进行适当的简化，如将分布参数集中化、将非线性因素线性化等。

3)根据系统、输入和输出三者之间动态关系的原理或定律，列写系统的微分方程。若系统比较复杂，则需分段列写微分方程，在这种情况下，必须注意各分段之间的负载效应问题。

4)消去中间变量，将方程整理成标准形式，即将与输出有关的项列在等号左边，而将与输入有关的项列在等号右边，且各阶导数按降幂排列。

列写微分方程的关键是元件或系统所属学科领域的有关规律而不是数学本身。但求解微分方程需要数学工具。

下面分别以电路系统和机械系统为例，说明如何列写系统或元件的微分方程式。

2－2－1 电路系统

电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电流定律∑i = 0,以及基尔霍夫电压定律 ∑u =0 。

元件与电压电流的关系

电阻：Ri u = 电感：dt di L

u = 电容：?=idt C

u 1

以下举例说明电路系统方程的建立。

例2—1 如图2—2所示为一个RLC 串联电路，试求其数学模型。 解 设输入信号)()(t u t x i =

输出信号)()(0t u t y =。 按照基尔霍夫电压定律得

0u u u u L R i ++=,

Ri

u R =

dt

di L u l = ?=

idt C

u 1

0 消去中间变量i 得系统的微分方程为：

i u u dt du RC dt

u d LC =++00

2

02 （２－１） 令T 1＝LC ，T 2＝RC ，同时将)()(t u t x i =与)()(0t u t y =代人可得

图2—2 RLC 电路

)()()()(22

21t x t y dt t dy T dt

t y d T =++ （２－２） 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统也称为二阶线性定常系统。

例2—2 如图2-3所示为由两个ＲＣ电路串联而成的滤波网络，试建立输入电压u i 和输出电压u 。之间动态关系的微分方程。

解 设回路电流i 1，和i 2为中间变量。 根据基尔霍夫电压定律对前一回路、 后一回路有：

?-+

=dt i i C i R u i )(1

211

11 ??+=-dt i C i R dt i i C 222

22111

)(1 ?=

dt i C u 22

01

由上三式消去中间变量i 1，和i 2，整理即得u i 和u 0之间动态关系的微分方程：

i u u dt du C R C R C R dt u d C R C R =++++002

122112

022211)( （２－３） 由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应,反映在流过前一回路电容C １

的电流上，没有后一回路时为i 1，而当串联上后一回路则为i 1-i 2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。

2－2－2 机械系统

机械系统指的是存在机械运动的装置，常用的基本要素是质量、弹簧和阻尼器。它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动(相应的位移称为线位移)和转动(相应的位移称为角位移)两种。

做直线运动的物体要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律

22dt y

d m F =∑

式中F 为物体所受到的力，m 为物体质量，y 是线位移，t 是时间。

转动的物体要遵循如下的牛顿转动定律

22dt d J T θ

=∑

式中T 为物体所受到的力矩，J 为物体的转动惯量，θ为角位移。

图2—3 两个RC 串联网络

例2－３ 如图2

—4所示为一个，求其数学模型。

解 设输入量为F t x =)(，位移输出量为s t y =)(。由牛顿定律得：k f m F F F F ++=

2

2dt

s

d M F ks

F dt

ds

f

F m k f ===

代人力平衡方程式后得 ks dt ds

f dt s d M

F ++=2

2 （２－４） 令f M T /1=, k K k f T /1/2==，并将)()(t y t x ，代入上式

得该机械运动系统的数学模型：)()()()(2

2

221t Kx t y dt t dy T dt t y d T T =++ （２－５） 该系统是二阶线性定常系统。

例２－4 图2－５所示为一机械旋转系统。转动惯量为Ｊ的圆柱体，在转矩Ｔ的作用下产生角位移θ，求该系统的输入—输出描述。

解 假定圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴上，而且惯性主轴和旋转主轴线相重合，则其运动方程可写成：

k f T T T dt

d J

--=2

2

θ

θ

θωk T dt d f f T k f ===

式中f ──粘性摩擦系数，常数

图2-4带阻尼的质量弹簧系统 图2-5 机械旋转系统 (a)原理图 (b)分离体图

ω──角速度

ｋ──弹性扭转变形系数，常数

就得到输入与输出关系的微分方程：T k dt d f dt d J

=++θθ

θ2

2 （２－６） 由以上描述的数学模型可以看出，系统的数学模型由其结构、参量及基本定律决定。

还有如机电系统、热工系统、化工系统，都可以通过其物理、化学机理找到其数学模型。

2-2-3 线性系统微分方程的通用形式

在一般线性系统，描述系统动态方程的标准形式为

)()()()()()()()(01

1

1101

1

11t x b dt t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （２－７）

式中：)(t x 为系统输入信号；)(t y 为系统输出信号；a i (i ＝0，1，2，…，n)、b j (j ＝0，1，2，…，rn)为系数，n 为输出信号的最高求导次数；m 为输入信号的最高求导次数。

若a i 和b j 均为常数时，上式为常系数线性微分方程，所描述的系统为定常线性系统。

2－3 线性系统的传递函数

微分方程：时间域；微分积分求解；环节增减分析不便，阶数高求解繁难 不同的初始条件，输出响应不同

传递函数：复数域；代数运算求解；环节增减分析方便，阶数高求解因式分解 初始条件必须为零，研究动态特性，经典控制理论最基本数学方法 微分方程与传递函数：连续系统

利用传递函数还可研究系统参数变化或结构变化对动态过程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。另外，还可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合设计的问题易于实现。

2－3－1 传递函数的概念

传递函数是描述线性定常系统输入－输出关系的一种最常用的表达式。 引入微分算子：dt d s =

, 则?=dt s

1

。 系统的传递函数可以定义为：在所有初始条件均为零时，系统输出的拉氏变换与系统输入的拉氏变换之比：)

()

()(s X s Y s G =

。 （２－８） 设有一线性定常系统，其微分方程表达式为2-7式。假定初始条件均为零．．．．．．．．．，前式的拉氏变换可写为：

)()()()(01110111s X b s b s b s b s Y a s a s a s a m m m m n n n n ++++=++++----

由此可得系统的传递函数为：0

11

10

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G n n n n m m m m ++++++++==---- (2-9) 举例说明：

例２－5 由例2－1的RLC 电路，求其传递函数。

解１ 由式(2-2)RLC 电路的微分方程： )()()

()(22

21t x t y dt t dy T dt

t y d T =++ 初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：

)()()1(221s X s Y s T s T =++

∴传递函数为： 1

1)()()(22

1++==

s T s T s X s Y s G 解２ 在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感Ｌ、电容C 和电阻Ｒ，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令Z １＝Ｒ+Ｌｓ，为电阻和电感的复数阻抗之和； Z ２=1／Cs 为电容的复数阻抗。则：

1

1

11/1/1)()()(22122120++=++=++=+==

s T s T RCs LCs Cs Ls R Cs Z Z Z s U s U s G i

另外例课本2-10,2-11,2-12。

２－３－２传递函数的性质

1)传递函数的定义，只是对线性系统而言，严格地说，还只是对定常系统而言。

2)传递函数通常是复变量ｓ的有理分式，其分子、分母多项式各项系数均为实数，这些系数均由系统的物理参数所确定，且m n ≥。

3)传递函数表征了系统本身的特性，它是系统动态性能的解析描述，它与输入激励无关， 也与初始条件无关。

4)传递函数并不是系统具体物理结构的描述，所以对于许多物理性质截然不同的系统， 如机械系统、电子系统、热传导系统，都可以具有相同的传递函数。 5)传递函数的分母多项式：

011

1)(a s a s a s a s D n n n n ++++=-- （２－１０）

就是系统的特征多项式，它的阶次，也就代表了系统的阶次。 6)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。

7)传递函数可以更形象地在复数平面上描述系统的动态特性。 对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s 的有理分式，其分子N(s)和分母D(s)都是s 的有理多项式，即它们的各项系数均是实数。传递函数因式分解后，可以写成：

(a)零极点形式：

)

())(()

())(()(21211n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=

（２－１１）

式中，z １，z ２，…，z ｍ称为传递函数的零点；p 1，p 2，…p ｎ称为传递函数的极点。 (b)时间常数形式：

∏∏==++=

n

j j

m

i i s T s K s G 1

1)

1()

1()(τ， j i T ,τ为时间常数

时间常数和零极点的关系：i i z /1=τ ，j j p T /1= ∏∏===n j j

m

i i

T K K 1

11

)

()

(τ

由于传递函数中，分子及分母各项系数均为实数，因此传递函数若具有复数零、极点，则其复数零、极点必然是共轭的。’

注意，传递函数分子分母多项式若有公因子可以消去，传递函数变成最简单的分式，这称为零极点相消。因此，只有当式(2－９)中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次。

将传递函数G(s)的零点和极点同时表示在复数平面上的图形，称为传递函数的零极点分布图。（如课本P21图2-10）

通常用“Ο”表示传递函数的零点，

用“×”表示传递函数的极点。

)

22)(5()

3()2()(22+++++=

s s s s s s s G 其零极点分布如图：

2－3－3 典型环节的传递函数

一个物理系统是由许多元件组合而成的。虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的。但若抛开其具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性，就可以划分成为数不多的几种典型环节。这些典型环节是：

比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节 振荡环节 滞后环节。

典型环节是按照数学模型的共性划分的，它和具体元件不一定是一一对应的。 其传递函数相同，动态特性就必然相同。

如传递函数中有零值极点、共轭复数零点和极点时，传递函数式(2-9)改写为：

传递函数的零极点分布图

∏∏∏∏====++?+++?+=

1

1

2

1

22112

122)

12()1()12()1()(n j n l l l l j m i m k k k k i s T s T s T s s s s K s G ξτξττν （２－１２）

由此系统的传递函数是由若干典型环节组合而成。

1．比例环节(又称放大环节)

比例环节的输出量以一定比例复现输入信号，微分方程为：

y(ｔ)＝Kx(ｔ)

其传递函数为：

K s X s Y s G ==)

()

()( (2—１３) 实例如：理想运算放大器， 齿轮传动变速箱、电子放 大器、电路分压器和机械 杠杆等。

2．惯性环节(周期环节)

其微分方程为： )()()

(t Kx t y dt

t dy T

=+ 式中，T 为时间常数，K 为惯性环节增益，其传递函数为：

1

)()()(+==

Ts K

s X s Y s G (2－１４) 例：

是由运算放大器构成的惯性环节。其传递函数为：1

)()()(+-==

Ts K

s X s Y s G 式中，K ＝R 2／R 1，T ＝R 2C ，负号表示输出与输入反向。

另有单容液位系统，电热炉炉温随电压变化系统和单容充放气系统也可视为惯性环节。

3．积分环节(无差环节)

积分环节的输入与输出的微分方程为：)()

(t x dt

t dy T = 其传递函数为：Ts

s X s Y s G 1

)()()(==

(2－15) 如图是由一个运算放大器 构成的积分环节。其传递 函数为：

Ts

s X s Y s G 1

)()()(-==

T=RC 积分时间

实际工程中的电子积分器、水槽液位、烤箱温度、电动机转速等系统都属于积分环节。 4．微分环节（超前环节）

微分环节：理论微分环节

实际微分环节

(1)理论微分环节：是指仅在理论上存在，而在实际工程中不能单独实现的环节，包括纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节。纯微分环节传递函数：

Ts s X s Y s G ==

)

()

()( （2-16）

一阶微分环节的传递函数为： 1)(+=Ts s G

（2-17）

二阶微分环节的传递函数为： 12)(2

2

++=Ts s T s G ξ （2-18）

它们不满足线性系统传递函数的基本性质，即n ≥m ，所以在实际中不会单独使用。 (2)实际微分环节(也称复合微分环节)： 如图(a)RC 电路，其传递函数为：1

)(+=Ts Ts

s G （2-19）

式中，T ＝RC 称为时间常数。

如图(b)所示RC 电路的传递函数为：1

)

1()(21++=

s T s T K s G

（2-20）

式中：212R R R K +=

为放大系数；T 1＝R 1C 1；12

12

12C R R R R T +=

为时间常数。 由于它们满足n ≥m 的基本条件，所以可以付诸实际使用。

5．振荡环节

振荡环节的微分方程为：

)()()

(2)(2

22

t x t y dt t dy T dt

t y d T =++ζ 式中：T 为时间常数；ζ为阻尼比。

振荡环节的传递函数为：

2

2

2

222121

)()()(n n n s s Ts s T s X s Y s G ωζωωζ++=++== （2-21）

式中T

n 1

=

ω为无阻尼振荡频率。有两个储能元件的系统属二阶系统，如RLC 电路、弹簧质量阻尼系统等可以用振荡环节描述。

例RLC 电路的传递函数为：1

1

)(2

++=

RCs LCs s G (2-22) 6．滞后环节

滞后环节是输入信号加入后，其输出端隔一时间才能复现输入信号的环节。也称延迟环节或延时环节，其微分方程为：

)()(τ-=t x t y

式中，τ为滞后时间。滞后环节的传递函数为：

s e s X s Y s G τ-==

)

()

()( (2-23)

2．4 控制系统的结构图及其简化

结构图又称为方框图，它是在传递函数的基础上建立的，是描述元、部件动态特性的图示模型。其中的每一个方块．．代表系统的一个组成环节．．．．。必须注意，出现在方块图中的环节是以无负载效应为前提的，信息传递关系具有单向性。方块图中的一个环节不一定与实际系统中的一个元件相对应。

用方块图表示系统的优点是：可以清楚地表明系统内部信号流动的情况和各环节各变量之间的关系；可以揭示各环节对系统性能的影响；可以根据信号的流向，将各环节的方块图连接起来，得到整个系统的方块图，从而较易写出整个系统的传递函数。

2－4－1 方块图的组成

方块图的主要组成部分包括：函数方框(把一个环节的传递函数写在一个方块里)

相加点(加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减) 分支点(同一分支点引出的信号，其信号和数值完全相同) 信号流线(方块外面画上带箭头的线段，信息流向单向性)

2－４－2 绘制方块图的步骤

1) 首先写出每个环节的运动方程。

特别要注意的是：在列写运动方程时，一定要考虑到相互连接部分间的负载效应，当一个方块的输出与下一个方块的输入相连接，并基本上不受下一方块影响时，就认为是没有负载效应的。只有在没有负载效应时，前一方块中的传递函数才可以按独立方块进行计算。

2) 根据运动方程，写出传递函数。

3) 根据传递函数，画出各环节的方块图。

4) 根据信号流向，将各方块联结起来．便得出系统的方块图。 例2—13 如图2—19所示的RC 电路，试绘制其系统结构图。 解 (1)电路的微分方程组为： i R u u 11=-

21i i i -=

?=111

1

u dt i C 221i R y u =- ?

=y dt i C i 21

(2)将上面各式取拉氏变换。取零初始条件，并整理成因果．．

关系式： R s U s U s I /)]()([)(1-= )()()(21s I s I s I -= s

C s I s U 1111

)

()(= 212/)]()([)(R s Y s U s I -= s

C s I s Y 221)

()(=

负反馈系统

两级RC 电路

作出相应的方块图，如图(a)所示。

将各元件方块图按信号流向联结起来，便得到两级RC网络的方块图，如图(b)所示。

注意：图(b)并不等于两个RC网络的方块图的串联，因为两级RC电路之间有负载效应。

(再例课本P25 2-13题)

2－４－3 方块图的简化

利用方块图分析和设计系统时，常常要对方块图的结构进行适当的改动。用方块图求系统的传递函数时，总是要对方块图进行简化。这些统称为方块图的变换或运算。

1)串联环节的简化

多个串联方框的总传递函数等于各方框传递函数之乘积，如图。

2)并联环节的简化

多个并联方框的等效方框，等于各个方框传递函数的代数和。

（b）

3)反馈回路的简化

如果传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框如图(a)形式连接，就称为反馈连接。“+”