高中空间立体几何典型例题
高中空间立体几何典型
例题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD.
证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.
又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，
故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.
方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B
B G B A
B E B 1111=，
∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B
B G B B
C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ，
又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，
∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .
2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3
21G G G ∶S △ABC .
（1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，
连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内，
∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .
（2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31
AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3
1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3
21G G G ∶S △ABC =1∶9.
3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高，
D 、
E 、
F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S
G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.
解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，
且DH∥AG.
∴H为CG的中点.
∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
方法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，
∴平面SAB∥平面DEF，又SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.
5如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1
中，E、F、G、H分别是BC、CC1、
C1D1、A1A的中点.求证：
（1）BF∥HD1；
（2）EG∥平面BB1D1D；
（3）平面BDF∥平面B1D1H.
证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.
（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ， 又D 1G 2
1DC ，∴OE D 1G ，
∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .
又D 1O ?平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .
（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1?平面HB 1D 1，BF 、BD ?平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .
6如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .
（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ?平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ?平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ，
∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH .
(2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，
∴4
x CB CF =. 则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x
. 从而FG =6-x 2
3
. ∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 2
3)=12-x . 又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,
∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.
7如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO
解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .
∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ， D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO .
8正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ .
求证：PQ ∥平面BCE .
证明 方法一 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .
∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AE
PE AB
PM
=，BD BQ DC QN =，DC
QN
AB
PM =，∴PM QN ，
∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN . 又MN ?平面BCE ，PQ ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .
方法二 如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ， ∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ，
∴PE AP =BQ
DQ
①
又∵AD ∥BK ，∴BQ
DQ =QK
AQ
②
由①②得PE AP =QK
AQ ，∴PQ ∥EK .
又PQ ?平面BCE ，EK ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .
方法三 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .
∵PM ∥BE ，PM ?平面BCE ， 即PM ∥平面BCE ，
∴PE AP =MB
AM
①
又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ，
∴PE AP =BQ
DQ
②
由①②得MB
AM =BQ
DQ ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ?平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE . 又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ?平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .
8如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).
(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(3)在所给直观图中连接BC ′,证明:BC ′∥平面EFG . (1)解 如图(1)所示.
图（1）
(2)解 所求多面体体积 V =V 长方体-V 正三棱锥
=4×4×6-31×(2
1×2×2)×2=3284
(cm 3). (3)证明 如图(2),在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中, 连接AD ′,则AD ′∥BC ′.
因为E ,G 分别为AA ′,A ′D ′的中点,
所以AD ′∥EG ,从而EG ∥BC ′. 又BC ′ 平面EFG , 图（2） 所以BC ′∥面EFG .
9.如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8. （1）求证：直线MN ∥平面PBC ；
（2）求线段MN 的长.
（1）证明 连接AN 并延长交BC 于Q ， 连接PQ ，如图所示.
∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ，
∴NQ
AN =NB
DN =BQ
AD =58
， 又∵MA
PM =ND BN =85， ∴MP
AM =NQ
AN =58，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ?平面PBC ，MN ?平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .
（2）解 在等边△PBC 中，∠PBC =60°， 在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ =13
2
+2
865??
?
??-2×13×865×2
1=64281
8， ∴PQ =8
91， ∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，
∴MN =8
91×138
=7. 10 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ．
证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．
∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，
∴MA ∥CD ，.2
1
CD MA =
∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，.2
1
CD NE =
∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．
又AE ?平面PAD ，MN ?平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD ．
方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ． ∵MF ∥AD ，NF ∥PD ， ∴平面MNF ∥平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD ．
11 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，AB ⊥AC ，求证：A 1C ⊥BC 1．
【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A 1C 垂直于经过BC 1的平面即可．
证明：连接AC1．
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴AB⊥AA1．
又AB⊥AC，
∴AB⊥平面A1ACC1，
∴A1C⊥A B．①
又AA1＝AC，
∴侧面A1ACC1是正方形，
∴A1C⊥AC1．②
由①，②得A1C⊥平面ABC1，
∴A1C⊥BC1．
12在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．
【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．
证明：
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，
∴BC ⊥平面PAB ， ∴AP ⊥BC ． 又AP ⊥PB ， ∴AP ⊥平面PBC ， 又AP ?平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面PBC ．
13如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，且垂直于底面ABC ，∠A 1AB ＝60°，E ，F 分别是AB 1，BC 的中点．
(Ⅰ)求证：直线EF ∥平面A 1ACC 1；
(Ⅱ)在线段AB 上确定一点G ，使平面EFG ⊥平面ABC ，并给出证明． 证明：(Ⅰ)连接A 1C ，A 1E ．
∵侧面A 1ABB 1是菱形， E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，
又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ．
∵A 1C ?平面A 1ACC 1，EF ?平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． (2)解：当
3
1
=GA BG 时，平面EFG ⊥平面ABC ，证明如下： 连接EG ，FG ．
∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，
3
1
=GA BG ，∴EG ⊥AB ． ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， ∴EG ⊥平面ABC ．
又EG ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面ABC ．
14 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．
(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．
证明：(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1．
∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又BE ?平面BEC 1，
∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．
(Ⅱ)证明：连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ．
∵BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点， ∴DE ∥AB 1． 又DE ?平面BEC 1，AB 1?平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．
15 在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，542==DC AB ．
(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积． 证明：(Ⅰ)在△ABD 中，
由于AD ＝4，BD ＝8，54=AB ， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2． 故AD ⊥BD ．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ?平面ABCD ，
所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ． (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，
由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，
又△PAD 是边长为4的等边三角形．因此.3242
3
=?=PO 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为
55
85
484=?，即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD 的面积为.2455
82
5452=?+=
S 故.31632243
1
=??=-ABCD P V
16．如图，三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M ，N 分别为PA ，BC 的中点．
(Ⅰ)求MN 的长； (Ⅱ)求证：PA ⊥BC ． (Ⅰ)解：连接MB ，MC ．
∵三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形， ∴2
3
=
=MC MB ，且底面△ABC 也是边长为1的等边三角形． ∵N 为BC 的中点，∴MN ⊥BC ． 在Rt △MNB 中，?=-=2
222BN MB MN (Ⅱ)证明：∵M 是PA 的中点， ∴PA ⊥MB ，同理PA ⊥MC ． ∵MB ∩MC ＝M ，∴PA ⊥平面MBC ， 又BC ?平面MBC ，∴PA ⊥BC ．
17．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD 的中点．求证：
(Ⅰ)直线EF∥平面ACD；
(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．
．证明：(Ⅰ)∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．
又EF?平面ACD，AD?平面ACD，∴直线EF∥平面ACD．(Ⅱ)∵EF∥AD，AD⊥BD，∴EF⊥BD．
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面CEF．
∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．
18如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠
BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD ，AF BE AF BE AD BC 2
1
,//,21==，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．
(Ⅰ)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (Ⅱ)C ，D ，F ，E 四点是否共面为什么
(Ⅰ)由题意知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，∴GH ∥AD ，,2
1
AD GH =
又BC ∥AD ，AD BC 2
1
=
，∴GH ∥BC ，GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 是平行四边形． (Ⅱ)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：
由BE ∥AF ，AF BF 2
1
=
，G 是FA 的中点， 得BE ∥FG ，且BE ＝FG ．∴EF ∥BG ．
由(Ⅰ)知BG ∥CH ，∴EF ∥CH ，故EC ，FH 共面，又点D 在直线FH
上，
所以C，D，F，E四点共面．