曲线与方程的关系
曲线与方程的关系
曲线与方程之间存在着密切的联系，它们不仅相互依存，而且彼
此又具有重要的数学意义。
首先，曲线是由一个函数表示的，而这个函数就是方程。因此，
曲线和方程之间存在着直接的联系。其次，通过求解该方程，可以得
到曲线的性质。例如，如果曲线是抛物线，则可以根据抛物线的方程
来计算出它的顶点；如果曲线是椭圆，则可以通过椭圆方程来计算出
它的长轴和短轴等。
此外，曲线与方程还具有更为深刻的数学意义。曲线和方程能够
反映物理和化学现象的发展趋势，并且可以使用数学工具对其进行解
析和研究。更重要的是，曲线和方程也可以用于描述某些重要的场景，如关于经济学、生态学等的分析。
因此，曲线与方程之间有着密不可分的关系，而这种关系有着重
要的数学意义。正是由于曲线和方程能够将复杂的物理世界变为易于
理解和推导的数学现象，它们才能够为人们在研究自然界现象中提供
强大的帮助。
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。它们的方程可以 通过几何性质描述它们的性质。本文将介绍一些常用的曲线和曲 面方程及其性质。 一、曲线方程 1. 直线方程 直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式 两种形式。 一般式：$Ax+By+C=0$； 斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。 直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程 圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。 标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标， $r$为半径长度。 一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。 3. 椭圆的方程 椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。 标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。 椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。当$a=b$时，椭圆变成了圆。 4. 抛物线的方程 抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成 两种形式：标准式和一般式。 标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。 一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。 抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。 5. 双曲线的方程
解析几何中的参数方程与曲线与曲面的关系
解析几何中的参数方程与曲线与曲面的关系 解析几何是数学中的一个分支，它研究的是几何图形与代数方程之间的关系。 在解析几何中，参数方程是一个非常重要的概念，它可以用来描述曲线和曲面的性质。本文将从参数方程的定义和性质入手，探讨参数方程与曲线与曲面的关系。 首先，我们来了解一下参数方程的定义。在解析几何中，参数方程是一种用参 数表示的函数方程。通常情况下，参数方程由两个或多个参数组成，并且每个参数都有自己的取值范围。通过改变参数的取值，我们可以得到曲线或曲面上的不同点。 参数方程的一个重要性质是它可以描述曲线上的每一个点。以二维平面上的曲 线为例，如果我们用参数方程表示一条曲线，那么对于每一个参数的取值，我们都可以得到曲线上的一个点。通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点，从而完整地描述了整条曲线。 除了描述曲线上的点，参数方程还可以描述曲线的形状。通过改变参数方程中 参数的取值，我们可以改变曲线的形状。例如，对于一个圆的参数方程，通过改变参数的取值，我们可以得到不同半径的圆。这个性质可以帮助我们更好地理解曲线的几何性质。 参数方程不仅可以用来描述曲线，还可以用来描述曲面。在三维空间中，曲面 可以用两个参数的参数方程表示。通过改变参数的取值，我们可以得到曲面上的不同点。与二维平面上的曲线类似，参数方程可以描述曲面上的每一个点，并且通过改变参数的取值范围，我们可以得到整个曲面。 除了描述曲面上的点，参数方程还可以描述曲面的性质。通过改变参数方程中 参数的取值，我们可以改变曲面的形状。例如，对于一个球体的参数方程，通过改变参数的取值，我们可以得到不同半径的球体。这个性质可以帮助我们更好地理解曲面的几何性质。
曲线与方程
曲线与方程 一、曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 二、求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． 三、求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程． （1）共点直线系：过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) （k 为参数） （2）平行直线系：斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b （b 是参数） 与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 （λ 为参数） （3）垂直直线系：与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0（λ 为参数） （4）过直线 l 1 ：A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 ：A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系 方程：A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0（λ 为参数），此直线系不含直线 l 2 例1： “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 下列方程各表示什么曲线？ ① 29y x -= ② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x 例2： 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
高一数学直线和圆的方程知识点总结
高一数学直线和圆的方程知识点总结 一、直线方程 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾 斜角为0，故直线倾斜角的范围是[0,180) 注： ①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 二、圆的方程 1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形). ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与 方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的 充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了 原命题成立.
2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等). 4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.看过"高一数学直线和圆的方程知识点总结"的还看了:
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程． §07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232 --=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(23 2≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，
曲线与方程的概念
3、2．1．1曲线与方程的概念 【学习目标】 1、 学习本节要掌握曲线的方程和方程的曲线的概念，明确曲线的点集和方程 的点集的一一对应关系，并能根据点的坐标是否适合方程，来判断该点是否在该曲线上。 2、 能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点。 【自学指导】 1、 在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个一元二次方程F （x,y ）的实 数解建立如下的关系： （1）、曲线上点的坐标都是这个方程的解： （2）、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么曲线C 叫做方程＿＿的曲线，方程F （x,y ）=0叫做＿＿的方程。 2、求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求出方程组＿＿的实数解就可以得到。 思考 3、如果曲线C 的方程是F （x,y=）0，则如何理解M(x,y)∈C ? F （x,y=）0? 4、从集合的角度来看，设A 是曲线C 上的所有点组成的点集，B 是所有的方程F （x,y=）0的实数解为坐标的点组成的点集，则A 、B 的关系是怎样的？ 5、如何求两条曲线的交点坐标？ 【合作、探究、展示】 [判断曲线和方程的关系：] 问题1、讨论过点A （2，0）平行于y 轴的直线l 的方程是｜x ｜=2吗？如果是，请说明理由，如果不是，应该怎样改？ 问题2、方程（x+y-1）1-x =0表示什么曲线？ [求两曲线的交点] 问题3、求直线2x+5y-15=0与曲线y=- x 10的交点的坐标。
问题4、求证：无论k 取什么值，曲线kx 2+2x-(k-1)y-k-2=0恒通过定点。 【课堂检测】 1、下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ） A 、y=x 和x=y 2 B 、y=x 和y x =1 C 、︱y ︱=︱x ︱和x 2-y 2=0 D 、y=lgx 2和y=2lgx 2、方程（x 2-4）2-(y 2-4)2=0表示的图形是（ ） A 、两条直线 B 、四条直线 C 、一个圆 D 、两条直线和一个圆 3、若直线y=x+k 与曲线 k 的取值范围是＿＿ 4、以（5，0）和（0，5）为端点的线段的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5、以y 轴为对称轴的等腰三角形，这个三角形底边的中线的方程是0x =吗？为什么？ 6、判断点 0),Q(-2,3)是否在方程x 2+y 2=25(x ≤0)所表示的曲线上？ 7、写出圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程，并判断坐标分别为（-4，-3）（2，4）, （7,-，（5cos ,5sin θθ）的四点是否在圆上。 8、求通过两圆221x y +=，224410x y x y +---=的交点和点（2,1）的圆的方程。
曲线和方程知识要点
曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程 轨迹与轨迹方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 知识点 曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标 即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ F 1(x ，y )＝0， F 2(x ，y )＝0 的实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点． 易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [自测练习] 1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D ．都是平行直线 解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A. 答案：A 2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC → ，则动点C 的轨迹方程为____________． 解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________． 解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |， ∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 2 3 ＝1(y ≠0) 考点一 直接法求轨迹方程| 1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA → ＋λ2OB → (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB → ，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2， 解得⎩⎨⎧ λ1＝y ＋3x 10 ，λ2 ＝3y －x 10， 又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10 ＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的 轨迹为直线，故选A. 答案：A 2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )
曲线与方程
曲线与方程 编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇 目标认知 学习目标： 理解曲线的方程和方程的曲线的含义，初步掌握求曲线的方程的方法； 了解解析几何的基本思想。 重点： 方程的曲线与曲线的方程的概念，用坐标法求曲线的方程。 难点： 理解方程的曲线与曲线的方程的概念；用坐标法求曲线的方程的方法。 学习策略： 解析几何是在坐标系中用代数方法研究几何问题的一门数学学科，因此学习的时候一定要数形结合，根据图形或者已知条件，建立适当的坐标系，设出点的坐标，再把点满足的几何条件坐标化，实现形数之间的转化。 理解方程的曲线与曲线的方程纯粹性与完备性的含义，体会方程的曲线与曲线的方程的对应关系。 知识要点梳理 知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上所有点的坐标都是方程的解； （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线. 注意： （1）如果曲线的方程为，那么点在曲线上的充要条件为 ； （2）曲线可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而正是这一定条件的解析表示.因 此我们可以用集合的符号表示曲线：. （3）曲线也称为满足条件的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，
即不满足方程 的解的点不在曲线上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的 所有点都在曲线 上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线是否为满足方程的点的轨迹而 言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”． 知识点二：坐标法求曲线的方程 1.定义： 在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法. 2.坐标法求曲线方程的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y). ②写出动点P满足的几何条件. ③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。 ⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。 注意： ①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不 能转化为方程. ②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使 运算过程简单，所得的方程也较简单. ③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审 题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列出等式， 并进行化简. ④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解。 3.解析几何的两个基本问题 数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何. 解析几何的核心：用代数方法(坐标法)研究几何问题 平面解析几何的两个主要问题： （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程； （2）根据曲线的方程画出方程的曲线，并研究讨论曲线的性质. 说明：用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和
曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线的知识要点
曲线与方程 一般地，如果曲线C 与方程()0,=y x F 之间有以下两个关系： ① 曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x F 的解； ② 以方程()0,=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。 那么，我们把方程()0,=y x F 叫做曲线C 的方程， 曲线C 叫做方程()0,=y x F 的曲线。 圆的方程 1、圆的定义： 平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹是圆。 这个定点就是圆心、定长就是半径。 2、（1）圆的标准方程是 ()() 2 2 2 r b y a x =-+- 其中：圆心()b a C ,，半径 r （2）圆的一般方程 02 2=++++F Ey Dx y x 其中：042 2>-+F E D
椭圆 1、椭圆的定义： 两定点1F 、2F ，动点M 满足122MF MF a +=（常数122a F F >）， 则动点M 的轨迹是椭圆。 问：122a F F =时如何？ 问：122a F F <时如何？
2、椭圆的性质
双曲线 1、 双曲线的定义： 若定点1F 、2F ， 122MF MF a -=（常数12 2a F F <）， 则动点M 的轨迹是双曲线。 又： （1）当122a F F =时如何？ （2）当12 2a F F >时如何？ 再：关注？
2、双曲线的性质：
抛物线 1．抛物线的定义： 平面上与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 其中：点F叫做抛物线的焦点； 定直线l叫做抛物线的准线。 注：若点F在直线l上，则轨迹为过点F垂直于l的直线。
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第九节 曲线与方程)
第九节 曲线与方程 一、基础知识 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0. (2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件. 坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线． 有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程． 考点一 直接法求轨迹方程 1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x 解析：选A 设点P (x ，y )，则Q(x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→， ∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，
曲线与方程
龙文教育个性化辅导授课案 教师:刘娇学生: 日期: 星期: 时段: 课题曲线与方程 学情分析 教学目标与考点分析1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程． 3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 教学重点难点正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。 教学过程 <基础梳理> 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
四个步骤 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标； ②代入：即代入圆锥曲线方程； ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． <双基自测> 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． 答案C 2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析方程变为x(x＋y－1)＝0∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案C 3．(2012·合肥月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系
解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系解析几何是数学中的一个分支，研究了几何图形的性质、变换和方程。其中，曲线和圆锥曲线是解析几何中的重要概念。本文将重点探讨曲线与圆锥曲线的方程与关系，以便更好地理解解析几何的核心内容。 一、曲线的方程 在解析几何中，曲线的方程是用来描述曲线上的点与坐标之间的关系的数学表达式。常见的曲线方程有线性方程、二次方程、三次方程等等。下面我们以直线和抛物线为例，分别介绍它们的方程。 1. 直线的方程 直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。直线方程中的斜率和截距可以通过给定的点或一些性质得到。例如，如果已知一条直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式（y2-y1）/（x2-x1）来计算斜率k，进而可以通过其中任意一个点和得到的斜率来计算出截距b。 2. 抛物线的方程 抛物线的方程通常可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。抛物线的形状可以根据二次项的系数a来判断。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 x = -b/2a 来得到。进一步，可以通过给定的顶点或焦点来推导抛物线的具体方程。
二、圆锥曲线的方程与关系 圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。 它们都有各自特定的方程形式和几何性质。 1. 椭圆的方程与关系 椭圆是一个闭合的曲线，其中所有点到两个焦点的距离之和是常数。椭圆的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中（h，k）表 示椭圆的中心点坐标，a和b分别表示横轴和纵轴的半长轴。椭圆的离 心率可通过 a、b 计算得出，离心率e的值决定了椭圆的形状。 2. 双曲线的方程与关系 双曲线是一条开口朝上或朝下的曲线，其特点是所有点到两个焦点 的距离之差是常数。双曲线的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1，具体形式取决于是开口朝上还 是朝下。与椭圆类似，（h，k）表示中心点坐标，a和b表示横轴和纵 轴的半长轴。双曲线的离心率也可以根据长轴半长轴计算得出。 3. 抛物线的方程与关系 抛物线既可以作为曲线，又可以作为直线。当抛物线的离心率等于 1时，它退化成一条直线。抛物线的方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。抛物线的焦点和顶点坐标可以通过一些性质和 公式计算得到。 总结：
曲线及其方程知识点总结
曲线及其方程知识点总结 一、直线的方程 1. 斜率和截距法 直线的方程可以用斜率和截距来表示。直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变 化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。 若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。 2. 两点式 直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。 3. 截距式 直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。 二、曲线的方程 1. 二次曲线 二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。其中A、B、C、D、E、F 为常数。二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。 - 圆的方程 圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。 - 椭圆的方程 椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。 - 双曲线的方程 双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。或者(x-h)^2/a^2-(y- k)^2/b^2=-1。其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的 半轴长。 - 抛物线的方程
抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。其中a不等于0。抛物线 的开口方向取决于系数a的正负性。 2. 极坐标方程 极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任 意一点的位置。极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。 三、参数方程 参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，t为 参数。通过参数方程，我们可以描述曲线上每个点的位置。 四、曲线的性质 1. 对称性 曲线可以具有关于x轴、y轴或原点的对称性。当曲线方程中的x和y坐标可以互相替换时，说明曲线具有关于原点的对称性。当曲线在曲线方程中有±x和±y的关系时，说明曲 线具有关于x轴或y轴的对称性。 2. 曲线的点和切线 曲线上的点和切线是曲线的重要性质。点和切线的斜率可以通过曲线在该点的导数来表示。 3. 曲率 曲率表示了曲线在某一点附近的弯曲程度，可以用曲线的切线与曲线在该点的夹角的大小 来描述。 4. 曲线的极值 曲线的极值是指曲线的最高点或最低点，极值点在曲线上对应的x坐标称为极值点的横坐标，其y坐标称为纵坐标。 五、曲线方程的性质 1. 对曲线方程的求解 对于特定的曲线方程，我们可以通过一系列的数学方法求解其性质、图像和特征点。比如 求曲线的对称性、极值、拐点、渐近线等。 2. 曲线方程的图像 曲线方程的图像可以用数学软件绘制，或者用手工绘图的方法展示出来。通过曲线的图像，我们可以更直观地了解曲线的形状和性质。
结合正反例认识曲线与方程的关系
结合正、反例认识曲线与方程的关系 田载今 “中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”第七次课题会，对“曲线与方程”的课例进行了深入的研讨。笔者认为，这个课例选得好，好就好在它确实是能够集中体现中学数学的核心概念与思想方法的一个典型课例。 众所周知，数量关系（简称“数”）与空间图形（简称“形”）是数学研究的两大对象。数学的发展中，最早形成的两个基本的分支，即算术-代数是研究“数”的分支，几何是研究“形”的分支。两个分支的研究中，虽然在一些具体问题上也有交叉与关联， 例如通过单位正方形的对角线发现了无理数，但是在那个阶段，“数”与“形”的转化、数形结合的思想方法，并未形成数学中具有普遍意义的核心概念和思想方法。直到17世纪，由笛卡尔与费马创立了解析几何，才使“数”与“形”的转化、数形结合 的思想方法在数学中占据重要地位。 作为一个哲学家，笛卡尔的内心中始终怀有把事物的普遍规律揭示出来的基本信念。他要建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何等统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。现在看来，虽然对于数学浩瀚如海的诸多内容，要实现笛卡尔的设想绝非易事，但是解析几何确实是用代数工具讨论几何问题的成功之作。平面解析几何的基本思想可以归结为两个要 点：第一，在平面建立坐标系，使平面上的点以坐标表示形式与有序实数对建立一一对应；第二，平面上的曲线是满足一定条件的点的集合，这些条件可以通过点的坐标表现为代数方程，于是平面上的一条曲线就可由一个代数方程来表示了。 解析几何的创立，成为“数”与“形”相互转化、形成数形结合思想方法的典范，它促成了变量的引入，使数学进入了一个新的发展时期，即变量数学时期。恩格斯对此曾经评价说：“笛卡尔变数的出现是数学中的转折点，从此运动和辩证法进入了数学，微积 分也就立刻成为必要的了……” 在高中学习解析几何，不仅要掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程，能应用它们解题，而且要在一般意义上理解曲线与方程的关系，即“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，体验“数”与“形”的转化与结合，认识解析几何基本思想方法的要点。为此，人教版高中《数学》A版在选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”之首，专门安排了第2.1节“曲线与方程”。这一节具有承上启下的作用，在前面必修部分已有“直线与圆的方程”的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储 备理论基础。
高二数学曲线和方程知识精讲
高二数学曲线和方程知识精讲 【学习目标】 1．重点理解 理解解析几何的基本思想；理解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；理解曲线的方程和方程的曲线的意义． 2．重点掌握 掌握曲线的方程和方程的曲线的概念及关系；掌握求曲线方程的方法和步骤． 3．能力培养 培养逻辑思维能力与抽象思维能力，强化数形转换的思想方法． 【学习障碍】 1．理解障碍 （1）曲线和方程相互依存的两个方面的关系，必须同时满足，缺一不可； （2）由曲线和方程的关系可知，曲线与方程是同一运动关系下的两种不同的表现形式，即曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质也完全反映在它的曲线上，这也说明了几何问题和代数问题可以互化； （3）求曲线的方程实质上就是这条曲线上任意一点的横纵坐标x和y间的等量关系式； （4）求曲线方程的一般方法是坐标法． 2．解题障碍 （1）曲线和方程的概念中的关系（1）说明了曲线上的所有点都符合这个条件而毫无例外，它刻画的是外轨迹的纯粹性，关系（2）说明了适合这种条件的点都在曲线上而毫无遗漏，它刻画的是轨迹的完备性，这两种关系必须同时满足，缺一不可．其实质是：曲线C 的点集{M|P（M）}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间具有一一对应关系； （2）求曲线的方程时，若原题中没有确定坐标系，要首先选取适当的坐标系，这样可使运算简便，所得方程的形式简单． (3)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解． 【学习策略】 1．判断或证明曲线是某方程的曲线或方程是某曲线的方程时，必须严格按照定义中的两个条件进行验证，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： （1）建系：建立适当的坐标系，设(x，y)为曲线上任一点M的坐标；一般常取图形的对称中心为原点，对称轴为坐标轴； （2）列式：列出动点所满足的几何条件（此步根据情况，有时可省略）； （3）代入：用坐标表示上述几何条件，得到方程f(x，y)＝0； （4）化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； （5）证明：证明化简后的方程为所求曲线的方程（此步一般不作要求，只对某些特殊点的去留等问题，加以讨论或说明即可．) 3．两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、到角及夹角公式等是把形的问题转化为方程问题的重要公式． 4．求曲线的交点的问题，就是求曲线的方程所组成的方程组的实数解的问题，方程组有几个实数解，两曲线就有几个交点．