直线中的对称问题—4类对称题型

直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：

一、点关于点对称问题

解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.

例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,

（2），关于点对称，求点坐标.

解：由题意知点是线段的中点,

所以易求（1）

（2）.

因此，平面内点关于对称点坐标为

平面内点，关于点对称

二、点关于线对称问题

求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标

解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程

①

又与垂直，且斜率都存在即有②

由①②解得，

法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.

三、线关于点对称问题

求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.

例3．求直线：关于点的对称直线的方程.

解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，

点关于对称点

过的直线方程为，故所求直线方程为.

法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.

四、线关于线的对称问题

求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.

例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.

解：在：上任取一点

直线的斜率为3

过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为

得

所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于

的对称点坐标为

又直线与的交点也在所求直线上

由得所以交点坐标为.

过和的直线方程为，故所求直线方程.

新北师大版七年级数学下线段、角的轴对称性练习及答案

线段、角的轴对称性 [趣题导学] 如图1.4-1，初二（1）班与初二（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，你能找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？图1.4-1 图1.4-2 解答：P点如图1.4-2所示，作∠BAC的角平分线AD，作线段MN的垂直平分线EF，AD 与EF交于点P，因为AD平分∠BAC，所以点P到两条道路AB、AC的距离相等，又因为点P在线段MN的中垂线上，所以PM=PN。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A. 两条相交直线 B. 线段 C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 4、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则（） A.DE>DF B.DE

直线中的对称问题—4类对称题型

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1）（2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点直线的斜率为3

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。解法1：（动点转移法）在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。解法2：（到角公式法）解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。解法4：（两点对称法）

2.4线段-角的对称性

l Q A B P §线段，角的轴对称性（1）教学案主备人：赵廷尧自主学习问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 < 问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗通过以上三个问题的解决你知道了什么几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ， ∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． " 探究活动例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么变形:在例1的条件下： 1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长； 2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； % 3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。 4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQ A B C

例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC 于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长 D F C · 例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF． ( 【课堂练习】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于 D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.

\ §线段，角的轴对称性（1）达标自测班级学号姓名自测内容 1.线段垂直平分线上的点到距离相等。 2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ． 3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是。 4、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC ＝5 cm ，则AB ＋BD ＋AD ＝_______cm ，AB ＋BD ＋DC ＝_______cm ，△ABC 的周长是_______ cm ． 6、如图，在△ABC 中，边BC 上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_______． — 7. 如图，若AC 是BD 的垂直平分线，AB=5cm,BC=3cm, 求四边形ABCD 的周长。 A E \ C B D E D B A C

直线中的几类典型问题(学)

直线中的几类典型问题一．求倾斜角的范围 1．直线x sin π7＋y cos π 7＝0的倾斜角是( ) A ．－π 7 B.π7 C.5π7 D.6π 7 2．直线2x cos α－y －3＝0(α∈???? π6，π3)的倾斜角的变化范围是( ) A.????π6，π3 B.????π4，π3 C.??? ?π4，π 2 D.???? π4，2π3 3．直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_______ 分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于θ的一个三角不等式即可．说明：解题易得出错误的结果?? ? ???-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．二．求直线的方程 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________． 5．直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 6．求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法． 7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为0 1=-+y x

2.4线段、角的轴对称性(4)

2.4 线段、角的轴对称性（4）教学目标: 1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题； 2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据； 3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点: 综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．教学难点: 学会证明点在角平分线上．教学过程: 开场白同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．

分析：要证AD垂直平分EF，只要证：，．已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，只要证，只要证． …… 指导学生完成练习．解完题后，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．布置作业课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．

直线中的几类对称问题(推荐)

直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ，解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ，解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???

直线中的对称问题

直线中的对称问题学习目标：直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。新知自学： 1、点关于点的对称例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 2、直线关于点的对称例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。 3、点关于直线的对称例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。特别地：点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为；关于y 轴的对称点的为；关于y x =的对称点的坐标为；关于y x =-的对称点的坐标为 . 关于x=m 的对称点的坐标为；关于y=n 的对称点的坐标为 . 关于x+y+c=0的对称点的坐标为；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 . 4、直线关于直线的对称例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。特别地：直线Ax+By+C=0 关于x 轴的对称直线为；关于y 轴的对称直线为；关于y x =的对称直线为；关于y x =-的对称直线为 . 关于x=m 的对称直线为；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为关于x-y+c=0的对称直线为 . 例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值. 变式： 1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。 2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。例6：一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度. 例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.

高中数学直线中对称问题归类解析

直线中对称问题归类解析直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。解法1：（用点到直线距离公式）分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。解法2:（利用中点坐标法）分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法）分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线

轴对称的性质及线段角的对称性

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1： 2; 【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习 1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．

知识点3、线段的垂直平分线(重点) 1. 定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。 2. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②． 3. 轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。知识点5、线段的轴对称性(重点、难点) 线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点) 用尺规作线段AB 的垂直平分线的方法： 1．分别以A 、B 为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C 、D ． 2．过C 、D 两点作直线．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点) 角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。知识点8、角的平分线的作法用尺规作∠AOB 的平分线的方法： 1．以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA 、OB 于点D 、E ． 2．分别以D 、E 两点为圆心，为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ． 3．画射线OC ．则射线OC 就是∠AOB 的平分线，画图，理由如下：【例题精讲】例1：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 交于点E ，DF ⊥BC 于点F ，且BC=4， DE=2，则△BCD 的面积是．例1例2例3例4 例2：如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm ，24cm ，则AB=cm ．例3：如图所示，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长是cm ．例4：如图所示，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D 、E ，若∠DAE=50°，则 ∠BAC=度，若△ADE 的周长为19cm ，则BC=cm ．例5：如图，已知AOB ∠与线段CD ，求作一点P ，使点P 到CD 的两端点距离相等，且到AOB ∠两边的距离也相等. 巩固练习 1.如图，在ABC ?中，45ABC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分 AD ，交BC 的延长线于F ，试求CAF ∠的大小.

高中数学点线对称问题

对称问题专题【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）；（2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）；（3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）；（4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）；（5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】【例1】求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0，可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0，解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上

线段角的轴对称性单元练习

第二章 2.4 线段、角的轴对称性一．选择题（共10小题） 1．（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2016?德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（） A．65° B．60° C．55° D．45° 4．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（） A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）

A．90° B．95° C．100°D．105° 6．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（） A．24° B．30° C．32° D．42° 7．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（） ①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等 ②三角形的三条内角平分线交于一点 ③三角形的内角平分线位于三角形的内部 ④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分． A．1个B．2个C．3个D．4个 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 10．如图所示，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（） A．PC＜6 B．PC=6 C．PC＞6 D．以上都不对二．填空题（共6小题） 11．（2016?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=______． 12．（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=_____ _度．

直线中的对称问题

例谈直线中的对称问题直线的对称问题是我们学习平而解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下而我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1） A （3,l ）关于点P （2,3）的对称点A'的坐标，（2） A （2,4）, A'（O,2）关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段AA'的中点，所以易求（1） A f （l,5）（2） P （l,3）? 因此，平面内点A （x 0, y 0）关于P （a.b ）对称点坐标为（2a 一心,2b -儿）二. 点关于线对称问题求泄点关于泄直线的对称问题时，根据轴对称左义利用①两直线斜率互为负倒数，②中点坐标公式来求得. 例2?已知点A （1J ）直线￡： y — x + 2 = 0,求点A 关于直线C 的对称点A'的坐标又v A4Z 与￡垂直，且AA\C 斜率都存在 ???心〃?匕=一1即有—xl = -l ② x-1 由①②解得A =3> y = —l ???人'（3,-1）法（二）求点点关于线对称问题，英实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出AA 9的直线方程进而求与6的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A'坐标. 三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3.求直线G ： x+2y-l = 0关于点P （2,l ）的对称直线-的方程. 解:法（一）???直线0： x + 2y-\= 0与两坐标轴交点为彳°，￡），5（1,0）平面内点A f （x 2,y 2）关于点对称解:法（一）解：设从兀必则AV 中点坐标为斗）且满足直线（的方程坷+吃y {+y 2 2 2

线段、角的轴对称性专题练习

线段、角的轴对称性例1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，垂足为E ，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC 的度数．（2）求AC 的长度．举一反三：如图，△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，垂足分别是M 、N ．（1）若△ADE 的周长是10，求BC 的长；（2）若∠BAC=100゜，求∠DAE 的度数．例2.如图，已知∠AOB 及点C 、D ，求作一点P ，使PC=PD ，并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。例3.如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF ．求证：∠B=∠CAF · C B O A · D

举一反三：已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ．求证：∠BAF=∠ACF ．【课堂巩固】 1.在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ，下列说法不正确的是（） A 、BD 平分AC B 、AD ⊥BD C 、AD 垂直平分BC ， D 、BD 垂直平分AC 2.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC ，且CD = 5，则点D 到AB 的距离为 . 3.如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；说明：（1）CF=EB ．（2）AB=AF+2EB ． 4.如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB+AC 与AE 之间的等量关系 C B A D

直线方程的对称问题及最值恒过定点问题

一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.

4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.

例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.

线段、角的轴对称性

线段、角的轴对称性—知识讲解责编：陆海霞【学习目标】 1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题． 2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上若PE⊥AD于点E，角平分线的画法角平分线的尺规作图

【典型例题】类型一、线段的轴对称性 1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（） A．13 B．15 C．17 D．19 【变式】（2015?黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置． 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．类型二、角的轴对称性 3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对

1.4线段、角的轴对称性(2)教案

教案1．4线段、角的轴对称性(2) 【学习目标】： 1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法； 2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题； 3、培养学生实践探索的科学习惯； 4、在“操作—探究—归纳—说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力. 【重点难点】：角平分线的性质和判定【预习指导】： 1、在一张薄纸上任意画一个角（∠AOB ）,折纸，使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有什么关系？结论： 2、在∠AOB 的内部任意取折痕上的一点P ，分别画点P 到OA 和OB 的垂线段PC 和PD,再沿原折痕重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什么性质? 结论：几何符号： ∵ ∴ 3、反之，如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等，那么这个点的位置有何特征？结论：几何符号： ∵ ∴ 【典题选讲】：例1、任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂线，设两条垂线相交于点P ，点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么? 例2、已知:如图,在ΔABC 中.O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？ F A B P

【学习体会】：【课堂练习】： 1、画一画：已知∠AOB 和C 、D 两点，请在图中标出一点E ，使得点E 到OA 、OB 的距离相等，而且E 点到C 、D 的距离也相等. 2、已知：在ΔABC 中，D 是BC 上一点,DF ⊥AB 于E,DE ⊥AC 于F,且DE=DF. 线段AD 与EF 有何关系?并说明理由. 3、已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE=DF. 试判断 ∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由. （编写者：李晓红） O B A C D · · A C

高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用

四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。一、点关于点的对称如果点P )(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点， P )(00y x ，???????→?）的对称点，（关于点 b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，?????→?关于坐标原点对称 P '(00y x --，) 二、点关于直线对称求一点P 0(x 0,y 0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。 (1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、 x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P 1(y 0,x 0)、P 2(-y 0,-x 0)、P 3(x 0,-y 0)、P 4(-x 0,y 0)、P 5(2a-x 0,y 0)、P 6(x 0,2b-y 0)。 (2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P 1的坐标为(x 1，y 1)，则PP 1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP 1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x 1、y 1的一个二元一次方程组，从而可以解出x 1、y 1。 (3)公式法. 设P 1的坐标为(x 1，y 1)，由公式 ?? ??? +++- =+++-=220001220001 ) (2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x 求出x 1、y 1的值。三、直线和直线关于点对称求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A 1x+B 1y+C 1=0中的x 换为2x 0-x 、y 换为2y 0-y ，即可求出要求直线的方程。四、直线关于直线对称求一直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程。 (1) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程分别为A 1x-B 1y+C 1=0、-A 1x+B 1y+C 1=0、A 1y+B 1x+C 1=0、-A 1y-B 1x+C 1=0。 (2) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为一般直线时: 1>直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。 2>若直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0相交于一A 点时,利用到角公式就可以求得直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。

点和直线的有关对称问题

点和直线的有关对称问题摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。关键词:点；直线；中心对称；轴对称对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:

分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线