机器学习常用模型及优化

第一章模型建立

1.1回归模型：

条件：

1.数据

2?假设的模型

结果：

用模型对数据学习，预测新数据

1.1.1 一元线性回归模型（最小二乘法）

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归

假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1 ），（X2，丫2），…，（Xn，Yn）平方损失函数

仙 1 1-1

脑过3小确定这条直编即确疋几“01,以几‘01

?狂赋+把它心百件是Q的加坡*如变覘『-牛求無伯的问題*对已週过艰事啟得到"求Q甘两个轄洁毒教的偏导缺r

箜=2V^-4J-^)(-1)= 0

QO “?

等=辽;｛旷角-伤血＞(-血)=0

1-1

根槪薮学如说我卄］怖遇，曲誥的粧值点为繼牛为0的点°

厂”工龙：一近尤）2

6

一丫并。;—工疣和; ' “工疋一（工尤）'

1.1.2逻辑回归模型

L 1 +e _f

或者：

加3)-]” expf-lFx)

其他的思路和想法与线性回归一样，所以说逻辑回归的模型是一个非线性模 型，但是它本质上又是一个线性回归模型

损失函数（误差函数）为：

— m

刀剳⑴ log 加（能）+ （1 - t/^）log （l -畑（*）））

1.1.3 softmax 回归

它是逻辑回归的扩展

从分类的角度来说，逻辑回归只能将东西分成两类（ 成多类

逻辑回归中，模型函数（系统函数）为：

隔何

—

14

exp （—

Softmax 回归中，模型函数（系统函数）为:

将线性回归中的一次模型变成逻辑回归函数，即

sigmoid 函数。

0,1）， softmax 可以分

1.2神经网络模型

1.2.1神经元

首先来一个三输入单输出的神经元，输入输出都是二进制（0,1）。举例来说：

X1表示天气是否好 X2表示交通是否好 X3表示是否有女朋友陪你

丫表示你是否去电影院看电影

要让这个神经元工作起来，需要引入权重，

w1,w2,w3。这样就有了：

（0 if

刀了 < threshold

output = < ” J 一

I 1 if Xj 电严j 〉threshold （）

W1表示”天气是否好”对你做决定的重要程度 W2表示”交通是否好”对你做决定的重要程度 W3表示”是否有女朋友陪你”对你做决定的重要程度 Threshold 越低表示你越想去看电影，风雨无阻你都想去。

Threshold 越高表

示你越不想去看电影，天气再好也白搭。 Threshold 适中表示你去不去电影院要

看情况，看心情。 1.2.2神经网络

现在扩展一下：

这样就出现神经网络了，可以看出这是很多神经元组合成的。

把上面的（1）式中的threshold 用偏移量-b 表示，并且移到不等式左边，出 现下面（2）式:

例子就不举了，原文是实现与非门的一个例子，说明这个东西可以进行逻辑 推理，它就很有潜力了，电脑就是靠逻辑加运算来实现各种功能。

现在要用这个东西学习识别手写字体，我们的想法是这样的:

rhrUiigc im iiiiy wi i^ht I 〉疔 hh 凸 i

nil 丽行 n chaniur in the output

举例来说，电脑错把9当成了 8，那么我们希望通过自动调整 w 或b 来对 output 进行调整，以达到正确的结果。这时网络会自己“学习”了

具体是这样的：

I l if 二(w+b) - 0.5 output : 10 if 坊(w+b)<0.5

其中' （）是sigmoid 函数

:

output =

{;

(2)

* out put+Aoutpul

w +丄w

1

1 + e~z

u-

/

m

-------- ----- [—

却 乜

?2

-1 11

2 3 4

Z

它是阶梯函数的一个平滑：

step fiUKtioii

1.D --------------------------------------

fi.6-

0.6 &.+

d

-------- 1 --- 1 ------ 1 ------ 1 ------

1 -- 1 --------- 1----- 1 ------- 1 ------- 1

-J -S -2 -1

1 2 J 4

Z

输出通过w 和b 进行微调的式子是这样的：

T-* d output x d output

△output 孝 y ----------------- A w, 4 ---------------- At

,dwj } db

这个式子比较抽象，它只是战略性的一个式子，下面引入 cost 函数来进行

战术实践。Cost 函数是评价模型准确与否的一个函数， 它可能越大越好，也可能 越小越好，看你怎么构造了。这里用均方误差来构造：

(?(佃,b)二舟” 1/(?)-剑F

这个函数越小越好，所以通过使这个函数变得最小来得到最好的 w 和b ,也

就是达到最好的学习效果

如三

OS ?

/

M

/

叫

/

/

1.3最大似然估计

X的一个样本X1 , X2,...，Xn独立同分布，其观测值为xl, x2, (x)

P(X =x) = p(x;旳，其中参数未知

根据X1，X2，…，Xn的观测值x1, x2，…，xn来估计模型参数二

假如这组数据服从B(1,p)，p未知

P(X =x) = p x(1—p)J (x=0,1)

L(p) =P(X^x1l...,X n =x n Hp x i' x n(1-

n

7 (5 -p)i-

求—lnL(p)=O得到L(p)取极大值时的p,即为所求dp

第二章模型优化

2.1遗传算法

有个博客讲的很好，用袋鼠跳问题形象的比喻这个问题，类似的算法还有模拟退火法。

22梯度下降法

一句话来说就是求损失函数或似然函数的极值，我们自己算的话就是求个导就完事了，但是有些函数的导数特别难求，这时候就需要梯度下降法，交给电脑迭代几次就算出来了

举例来说，求损失函数的最小值：

皿)詁匕松n哪

min

卞 1 *

—仇⑴-⑴- oO(c&i2T\

Q = ◎-存￡ JU-心⑴-y)x^

2.3牛顿法

对于非线性优化，假设任务是优化一个目标函数，求解其极大极小值，转化为求问题，是不是回到了上面的问题？

二阶泰勒级数：

1 2

f(X 亠、x) = f (x) f(X)L X f(X)L X

2

二阶泰勒级数成立的充要条件是X无限趋于0,两边约去f(X一次)和f (x)，

并对丄X求导，得到：

f (x) f (x) ：x = 0

解得：

f (X n) _f

(X n)

所以得到迭代式:

f (人) f (X n)

红色是牛顿法，绿色是梯度下降法，牛顿法更容易收敛。高维情况的牛顿迭代公式：

X n 厂人- [Hf (X n)]" f (X n), n - 0

其中，H是hessian矩阵:

Hessian矩阵的引入使得高维情况下牛顿法较为少用，但是有人已提出解决

方案Quasi-Newton methodo

X n 1 = X n