高一物理知识讲解 机械能守恒定律 提高 专题含答案解析

机械能守恒定律

【学习目标】

1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件．

2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒． 3．熟练应用机械能守恒定律解题．

4．知道验证机械能守恒定律实验的原理方法和过程．

5．掌握验证机械能守恒定律实验对实验结果的讨论及误差分析． 【要点梳理】 要点一、机械能 要点诠释：

(1)物体的动能和势能之和称为物体的机械能．机械能包括动能、重力势能、弹性势能。

(2)重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．

(3)机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．

(4)机械能具有相对性，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性． 只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．

(5)重力势能是物体和地球共有的，重力势能的值与零势能面的选择有关，物体在零势能面之上的势能是正值，在其下的势能是负值．但是重力势能差值与零势能面的选择无关． (6)重力做功的特点：

①重力做功与路径无关，只与物体的始、未位置高度筹有关． ②重力做功的大小：W ＝mgh ．

③重力做功与重力势能的关系：P G W E =-△．

要点二、机械能守恒定律 要点诠释：

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律． (2)守恒定律的多种表达方式．

当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：

①1122k P k P E E E E +=+，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和． ②P k E E =-△△或P k E E =-△△，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量． ③△E A ＝-△E B ，即A 物体机械能的增加量等于B 物体机械能的减少量．

后两种表达式因无需选取重力势能零参考平面，往往能给列式、计算带来方便． (3)机械能守恒条件的理解．

①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化

②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：

a ．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．

b ．只有重力和系统内的弹力做功．如图(a)、(b)、右图所示．

图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图(b)中A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．如下图，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．

要点三、运用机械能守恒定律解题的步骤

要点诠释：

(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．

(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．

4．机械能守恒定律与动能定理的区别

(1)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点．

(2)机械能守恒定律的研究对象是物体组成的系统，动能定理的研究对象是一个物体(质点)．

(3)机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功；而动能定理的成立没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功．

(4)机械能守恒定律着眼于系统初、末状态的机械能的表达式，动能定理着眼于过程中合外力做的功及初、末状态的动能的变化．

要点四、如何判断机械能是否守恒

要点诠释：

(1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．

(2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．

对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化

(3)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

(4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．

要点五、实验：验证机械能守恒定律

要点诠释：

1．实验原理

通过实验，分别求做自由落体运动物体的重力势能的减少量和相应过程动能的增加量．若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律：△E P＝△E k．

2．实验器材

打点计时器及电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、带有铁夹的铁架台、导线．

3．实验步骤

(1)如图所示装置，将纸带固定在重物上，让纸带穿过打点计时器．

(2)用手握着纸带，让重物静止在靠近打点计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由落下，纸带上打下一系列小点．

(3)从打出的几条纸带中挑选打的点呈一条直线且点迹清晰的纸带进行测量，记下第一个点的位置O ，并在纸带上从任意点开始依次选取几个计数点1、2、3、4、…，并量出各点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，计算相应的重力势能减少量mgh n ，如图所示．

(4)依步骤(3)所测的各计数点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，根据公式11

02n n h h v T

+--=计算物体在打

下点1、2、…时的即时速度v 1、v 2、…．计算相应的动能2

12

n mv ． (5)比较

2

12

n mv 与n mgh 是否相等． 4．实验结论

在重力作用下，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总的机械能守恒． 5．误差分析

重物和纸带下落过程中要克服阻力，主要是纸带与计时器之间的摩擦力，计时器平面不在竖直方向，纸带平面与计时器平面不平行是阻力增大的原因，电磁打点计时器的阻力大于电火花计时器，交流电的频率f 不是50 Hz 也会带来误差，f ＜50Hz ，使动能E k ＜E P 的误差进一步加大f ＞50 Hz ，则可能出现E k ＞E P 的结果．

本实验中的重力加速度g 必须是当地的重力加速度，而不是纸带的加速度a ．

【典型例题】

类型一、对守恒条件的理解

例1、下列说法中正确的是( )

A ．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳的拉力对物体做功，机械能守恒

B ．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒

C ．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒

D ．用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒

【思路点拨】本题考察机械能守恒的条件。 【答案】BC

【解析】机械能守恒的条件是：只有系统内的重力或系统内的弹力做功．系统可以受外力作用，但外力不做功．对于弹力做功，一定要伴随着弹性势能和动能及重力势能之间的转化．选项A中，有绳的拉力对物体做功，所以机械能不守恒，A错；选项B中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒，B对；选项C中，物体除受重力作用外还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒，C对；选项D与A 一样是错误的．

【总结升华】机械能是否守恒关键不在于受几个力作用，而在于是否只有重力或弹簧弹力做功。

举一反三

【变式1】以下说法正确的是( )

A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用

B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒

C．物体所受合力不为零时，其机械能可能守恒

D．物体机械能的变化等于合力对物体做的功

【答案】C

【解析】机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，外力不做功即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，所以B错；若物体做平抛运动、自由落体运动、竖直上抛、竖直下抛或斜抛运动只受重力作用，则机械能均守恒，故C正确；若合力仅为重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化．根据功能关系知D错．

【高清课程：机械能守恒及其验证例1】

【变式2】下列情况中，物体机械能守恒的有( )

A．重力对物体做功不为零，所受合外力为零

B．沿光滑曲面下滑

C．做匀变速运动时机械能可能守恒

D．从高处以0.9g的加速度竖直下落

【答案】BC

类型二、机械能守恒定律的基本应用

例2、如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．

【思路点拨】考察系统机械能大小及守恒问题。

【答案】

(3sin)

gL

v

θ

-

=

【解析】释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动公式去解．因为斜面光滑．所以，机械能守恒，链条得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定．

设斜面最高点为零势能点，链条总质量为m，

开始时左半部分的重力势能

1sin 24

=-

?θP m L

E g ， 右半部分的重力势能 224

=-?P m L

E g ， 机械能121P P (1sin )8

m

E E E gL θ=+=-

+． 当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能P 2

L E mg =-， 动能 2

12

k E mv =

， 机械能 22p k 1

22

mg E E E L mv =+=-+． 机械能守恒 E 1＝E 2， 所以 2

1(1sin )822

mgL mgL mv θ-

+=-+， 整理得 (3sin )

gL v θ-=

．

【总结升华】本题选斜面最高点为零势能点，可使重力势能便于确定，使其表达式简化． 举一反三

【高清课程：机械能守恒及其验证 例3】

【变式1】如图所示，桌面高度为h ，质量为m 的小球，从离桌面高H 处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（ ）

A ．mgh

B ．mgH

C ．mg （H+h ）

D ．mg （H-h ）

【答案】B

例3、如图所示，在水平台面上的A 点，一个质量为m 的物体以初速度v 0被抛出，不计空气阻力，求它到达B 点的速度的大小．

【思路点拨】只有重力对物体做功，故机械能守恒。 【答案】4.1m/s

【解析】方法一：物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则

22011()22

B

mgH mv mg H h mv +=-+，解得2

02B v v gh =+． 方法二：若选桌面为参考面，则

2201122

B

mv mgh mv =-+，解得2

02B v v gh =+． 方法三：若使用机械能守恒定律的另一种形式：重力势能的减少量等于动能的增加量，不需要选取参考面，有2201122

B mgh mv mv =

-．解得2

2B v v gh =+． 【总结升华】只有恒力做功且物体做直线运动，可运用牛顿运动定律求解，在利用机械能守恒定律表

达式E 1＝E 2解题时，由于重力势能的相对性，必须先选取参考平面，方可解题．

举一反三 【变式】（2015 全国I 高考）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处的速度为零，AC=h 。圆环在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A 。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g 。则圆环( )

A ．下滑过程中，加速度一直减小

B ．下滑过程中，克服摩擦力做的功为214

mv C ．在C 处，弹簧的弹性势能为

2

14

mv mgh - D ．上滑经过B 的速度大于下滑经过B 的速度 【答案】BD

【解析】从力和运动的角度分析，小球的合力先减小后增大，速度先增大后减小，所以A 错；从能量的角度分析，从A 到C 的过程，由能量守恒：mgh=E p +Q ，其中的Q 和克服摩擦力做功相等。从C 到A

的过程，同理可得:

212p mv E mgh Q +=+ ，两式联立解得：21

4

Q mv =所以B 正确，C 错误；同样，从A 到B 过程：212pB B AB mgh E mv mgh Q '=+++2

1()2

B pB AB mv mgh E mgh Q '∴=-+- 从

C 到B 过程：

221122P pB B

CB E mv E mv mgh Q ''+=+++，2211()22B P pB CB mv mv E E mgh Q ''∴=+-+-，把21

22

mv Q = 代入该式，则：B

B v v '> .D 也是正确的，此题正确选项：BD 。

类型三、系统机械能守恒问题

例4、（2015 全国II 高考）如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上，a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g 。则（ ）

A. a 落地前，轻杆对b 一直做正功

B. a

落地时速度大小为2gh

C. a 下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D. a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg

【答案】BD

【解析】设a 沿杆方向的分速度与a 竖直方向的合速度夹角为θ，则因沿杆方向a 、b 的分速度相等，可写出等式：cos sin a b v v θθ=，a 滑到最低点时，θ＝90°，所以b 的速度为0，又因b 的初速度也为0，所以轻杆对b 先做正功后做负功。

对a 、b 所组成的系统机械能守恒，所以当a 滑到地面时

21

02

a mv mgh +=解得2a v gh =。 轻杆落地前，当a 的机械能最小时，

b 的动能最大，此时轻杆对a 、b 无作用力，所以C 错，D 对。故选：BD 。

举一反三

【变式】如图所示，质量分别为3 kg 和5 kg 的物体A 、B ，用轻线连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A 物体底面与地接触，B 物体距地面0.8 m ，求：放开B 物体，当B 物体着地时A 物体的速度；B 物体着地后A 物体还能上升多高?(g 取10m/s 2)

【答案】2m/s ；0.2m

【解析】方法一：由E 1＝E 2．

对A 、B 组成的系统，当B 下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面， 则21

()2

B A A B m gh m gh m m v =+

+． 2()2(53)100.8

m /s 2m /s 35

B A A B m m gh v m m -?-??=

==++．

方法二：由k P E E =增减△△， 得21

()2

B A A B m gh m gh m m v -=

+，得v ＝2 m /s ． 方法三：由k B E E =增减△△，

得2211

22

B B A A m gh m v m gh m v -

=+． 得v ＝2m /s ．

当B 落地后，A 以2m ／s 的速度竖直上抛，则A 上升的高度由机械能守恒可得

2

1

2

A A

A

m gh m v

'=，

22

2

m0.2m

2210

A

v

h

g

'===

?

．

【总结升华】利用哪种表达方式列机械能守恒定律的方程要视具体的情况而定，总之以列方程求解简单方便为主，千万不要把几种表达式混在一起列式，另外确定零势能参考平面也是解题的重要一环，只有确定了零势能参考平面，才能确定系统中物体的重力势能．

类型四、对实验：验证机械能守恒定律的考查

例5、某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的简易示意图如图所示，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间．所用的西瓯XDS-007光电门传感器可测的最短时间为0.01 ms．将挡光效果好、宽度为d＝3.8×3

10-m的黑色磁带贴在透明直尺上，从一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门．某同学测得各段黑色磁带通过光电门的时间△t i与图中所示高度差△h i，并将部分数据进行了处理，结果如下表所示．(g取9.8m/s2．注：表格中M为直尺质量)

3

(10s)

i

t-

△1

/(m s)

i i

v d t-

=g

△22

k1

11

22

i i

E Mv Mv

=-

△()

i

h m

△

i

Mg h

△

1 1.21 3.13

2 1.15 3.31 0.58M 0.06 0.58M

3 1.00 3.78 2.25M 0.23 2.25M

4 0.9

5 4.00 3.10M 0.32 3.14M

5 0.90 0.41

(1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是由

i

i

d

v

t

=

△

求出的，请你简要分析该同

学这样做的理由是_________．

(2)请将表格中数据填空完整．

(3)通过实验得出的结论是_________．

(4)根据该实验请你判断如图所示△E k-△h图像中正确的是()

【解析】(1)理由是根据瞬时速度等于极短时间或极短位移的平均速度确定物体的瞬时速度v i．

(2)由i i d

v t =△得3

53

5 3.810m /s 4.22m /s 0.910d v t --?===?△．

由22k 11122i i E Mv mv =

-△得2

222k55111111.22 3.13 4.012222

E Mv Mv M M M =-=?-?=△． 由49.80.41 4.02Mg h M M =?=△．

(3)在误差允许范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量． (4)由实验结论知k p E E =增减△△，即k E Mg h =△△，故C 正确．

【总结升华】不管用什么方法验证机械能守恒定律，在这些方法中都必须确定两个状态，测定两个状

态物体的速度及两个状态物体所在位置的高度差，而速度和高度差的确定方法由实验的设计而定．最后计算物体动能的变化量△E k 与重力势能的变化量mg △h 是否相等．

举一反三

【高清课程：机械能守恒及其验证 例8】

【变式】在用如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律时，某同学的以下看法中正确的是( ) A ．必须用秒表测出重物下落的时间

B ．实验操作时，注意手提着纸带，先接通计时器电源，然后松开纸带

C ．如果打点计时器不竖直，重物下落时，其重力势能有一部分消耗在纸带摩擦上，就会造成重力势能的变化小于动能的变化

D ．验证时，可以不测量重物的质量

【答案】BD