插值和拟合

插值和拟合的定义

1.定义：若x为自变量，y为因变量，则x与y之间有一个确定的函数表达式f（x），现实中，这个函数关系式很难确定，运用逼近的方法处理：取得一组数据点（xi,yi,i=1,2,3...n）,构造一个简单函数p(x)作为f(x)的近似表达式，且p(x)满足：

p(xi)=f(xi)=yi i=1,2,3,4...n

这就是插值问题。

若不要求p(x)通过所有数据点，而是要求曲线在某种准则下整体与数据点接近，例如运用最小二乘法得到p(x),这种问题称为拟合。

2插值类型：一维插值是指对一维函数y=f(x)进行插值，二维插值就是对二维函数y=f(x,y)进行插值.

3.插值的matlab函数及其应用

（1）.一维插值：yi=interp1(x,Y,xi，’method’)，对一组节点（x,Y）进行插值，计算插值点xi 的函数值。method包括了一下几种类型：

Nearest：线性最邻近插值（速度最快，平滑性最差）

Linear：线性插值（默认项）（生成效果连续，但是顶点处有坡度变化）

Spline：三次样条插值（运行时间较长，插值数据和导数均连续）

Pchip：分段三次艾米尔特（hermite）插值

Cubic：双三次插值（较高版本的matlab不能运用，v5cubic能够运行）

运行的代码及插值效果：

clear;

clc;

x=0:0.2:2;

y=(x.^2-3*x+5).*exp(-3*x).*sin(x);

xi=0:0.03:2;

yi_nearest=interp1(x,y,xi,'nearest');

yi_linear=interp1(x,y,xi,'linear');

yi_spline=interp1(x,y,xi,'spline');

yi_pchip=interp1(x,y,xi,'pchip');

yi_cubic=interp1(x,y,xi,'v5cubic');

figure;

hold on;

subplot(2 ,3, 1);

plot(x,y,'r*');

title('已知数据值');

subplot(2, 3 ,2);

plot(x,y,'r*',xi,yi_nearest,'b-');

title('最邻近插值');

subplot(2,3,3);

plot(x,y,'r*',xi,yi_linear,'b-');

title('线性插值');

subplot(2,3,4);

plot(x,y,'r*',xi,yi_spline,'b-');

title('三次样条插值');

subplot(2,3,5);

plot(x,y,'r*',xi,yi_pchip,'b-');

title('分段三次艾尔米特插值');

subplot(2,3,6);

plot(x,y,'r*',xi,yi_cubic,'b-');

title('三次多项式插值');

(2).二维插值：第一类，二维网格数据插值zi=interp2（x,y,z,xi,yi，’method’）,其中x，y为数据采样点，即为真实所测得的数据，返回值为xi，yi的插值函数值。

method与一维插值相同。

各个方法所得的插值效果和代码如下：

clear;clc;

[x,y]=meshgrid(-3:0.25:3);

z=peaks(x,y);

[xi,yi]=meshgrid(-3:0.125:3);

z1=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');

z2=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest'); z3=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline'); z5=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic'); subplot(2,2,1);

mesh(x,y,z);

hold on;

mesh(xi,yi,z1+15);

axis([-3,3,-3,3,-8,25]);

title('二维网格双线性插值');

subplot(2,2,2);

mesh(x,y,z);

hold on;

mesh(xi,yi,z2+15);

axis([-3,3,-3,3,-8,25]);

title('二维网格最邻近插值');

subplot(2,2,3);

mesh(x,y,z);

hold on;

mesh(xi,yi,z3+15);

axis([-3,3,-3,3,-8,25]);

title('二维网格样条插值');

subplot(2,2,4);

mesh(x,y,z);

hold on;

mesh(xi,yi,z5+15);

axis([-3,3,-3,3,-8,25]);

title('二维网格双三次插值');

第二类:二维散点数据插值：zi=griddata（x，y，z，xi，yi，’method’），各个输入值与interp2 的相同，不再赘述。Method为Cubic不能运行，应采用v4方法进行插值。运行代码的效果图如下：

clear;clc;

rand('seed',0);

x=rand(100,1)*4-2;

y=rand(100,1)*4-2;

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

ti=-2:0.25:2;

[xi,yi]=meshgrid(ti,ti);

z1=griddata(x,y,z,xi,yi,'linear');

z2=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic');

z3=griddata(x,y,z,xi,yi,'nearest');

z4=griddata(x,y,z,xi,yi,'v4');

subplot(2,2,1);

mesh(xi,yi,z1);

hold on;

title('线性插值');

plot3(x,y,z,'o');

subplot(2,2,2);

mesh(xi,yi,z2);