平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数
第一节 平面直角坐标系与函数的概念
一【知识梳理】
1.平面直角坐标系如图所示：
注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，
如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的
左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律
①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识
(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有
与之对应，此时称y 是x 的 ，其中x 是自变量，y 是 ．
(2) 自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有
意义。
(3)常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。
(4) 函数的表示方法:① ；② ；③ 。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。 二【巩固练习】
1. 点P(3，－4）关于y 轴的对称点坐标为_______，它关于x 轴的对称点坐标为_______．
它关于原点的对称点坐标为_____．
2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S 随时间t 变化情况的是
( ).
3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点
（3，－2）上，则○炮位于点（ ）
A.（－1，1）
B.（－1，2）
C.（－2，1）
D.（－2，2）
4.
如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a ，b)在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为
正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ）．
A 、y ＝4n －4
B 、y ＝4n
C 、y ＝4n ＋4
D 、y ＝n 2 6.
函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ≥1- B ． x ≠3 C ． x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <-
7. 如图 ，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l ），（2，－3），
( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（ ）
A ．（2，－1）
B ．（2，2）
C ．（2，1）
D ．（3，l ）
8. 右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y 与时间x 的函数
图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行
走的路线可能是（ ）
相帅炮
9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
10.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○
后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）
A ．（－3，－2）；
B ．（2，2）；
C ．（3，0）；
D ．（2，l ）
11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）
Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-
12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。点A （–1，4）的对应点为C （4，7），
则点B （–4，–1）的对应点D 的坐标为______________。
13.在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左 平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。
14.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为了促销制定了两种优惠方法，甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某书法兴趣小组欲购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ＞10）本．
（1）写出每种优惠办法实际付款金额 y 甲(元)、y 乙（元）与x （本）之间的关系式；
（2）对较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠方法付款更省钱？
15. 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0．4%．
（1）若第x(x ≥2）年小明家交付房款y 元，求年付房款y （元）与x(年）的函数关系式；
（2）将第三年，第十年应付房款填人下列表格中
三【课后反思】
第二节 一次函数
一【知识梳理】
1. 一次函数的意义及其图象和性质
（1）一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成 (k 、b 为常数，k ≠
0）的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量〕特别地，当b 时，称y 是x 的正比例函数．
（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b
的图象是交x 轴( ， ),y 轴( ， ）
的一条直线，正比例函数y=kx 的图象是
经过原点(0，0）的一条直线，如右表所示．
（3）二元一次方程组的解是相应的两个一次
函数图像的交点坐标，假如方程组无解，
则两直线平行，即k 值相等。
（4）一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，
k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而 ；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而 ．
（5）直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 、b 在的关系．
2. 一次函数表达式的求法
（1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数（即k 、b
的值），从而写出这个解析式的方法，叫做待定系数法。
（2）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函
数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。x 、y 的对应值可能是以点的坐标的形式出现，即由点求函数解析式）
方法与建议：研究函数的问题要数形结合，由数得形，由形得数；注意考虑函数图像的升
与降、交点与顶点、开口方向、对称轴等热门元素。
二【巩固练习】
1. 已知函数：①y=－x ，②y= 3x ，③y=3x －1，④y=3x 2，⑤y= x 3
，⑥y=7－3x 中，正比例函数有（ ）
A ．①⑤
B ．①④
C ．①③
D ．③⑥
2. （2007浙江湖州）将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）
A 、y ＝2x ＋2
B 、y ＝2x －2
C 、y ＝2(x －2)
D 、y ＝2(x ＋2)
3.（2007四川乐山）已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，
当1x <时，y 的取值范围是（ ）
Ａ．20y -<<
Ｂ．40y -<< Ｃ．2y <- Ｄ．4y <-
4.（2007浙江金华）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论
①0k <； ②0a >； ③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5.（2007陕西）如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y x =-的
图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）
A ．2y x =-+
B ．2y x =+
C ．2y x =-
D ．2y x =--
6. 如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（ ）
A ．k ＞0，b ＞0；
B ．k ＞0，b ＜0；
C ．k < 0，b ＜0；
D ．k ＜0，b ＞0
第5题图－
7. 直线 y=43
x ＋4与 x 轴交于 A ，与y 轴交于B, O 为原点，则△AOB 的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．6 D ．10
8.(2007海南)一次函数2+=x y 的图象不经过．．．
( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9.若一次函数y=kx —3经过点(3，0)，则k= ，该图象还经过点( 0， ）和（ ，－2）. 10. 生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm
时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm 时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm 时，蛇长为_______㎝；
11.若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式
为__________，y 的值随x 的减小而____________
12. 一次函数y=2x ＋4的图象如图所示，根据图象可知，
当x_____时，y ＞0；当x>0时，y______．
13.函数y =－3x －5中，x 的取值范围为－2≤x ≤3，则y 的最大值为 .
14（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，
则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．
15.（2007山东淄博）从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+
的系数k ，b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是________ .
16.某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工．若进行粗加工，
每吨加工费用为600元，需1/3天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需1/2天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。
⑴设其中粗加工x 吨，获利y 元，求y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的范围） ⑵如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
17.（2007甘肃白银等7市）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品
的日销售量y （件）之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数．
（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．
18.(2007甘肃陇南) 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，
请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y （cm ）与
饭碗数x （个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
19.（2007江苏盐城）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次
函数关系。
（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获
得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】
20.（2007江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3
m x 时，应交水费y 元．
（1）分别求出020x ≤≤和20x >时y 与x 的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
三【课后反思】
第三节 反比例函数
一【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 (k 为常数k
≠0）的形式（或y=kx -1，k ≠0），那么称y 是x 的反比例函数．
2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k ≠0；（2）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（3）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数．
3
4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范
围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势．
5. 反比例函数y=k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x
(k≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│。
二【巩固练习】
1、（2007浙江金华）下列函数中，图象经过点(1
1)-，的反比例函数解析式是（ ） A ．1y x = B ．1y x -= C ．2y x = D ．2y x
-= 2. 反比例函数12m y x
-=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A . m ＞12； B . m ＜2； C . m ＜12
； D . m ＞2 3. 函数y= k x
与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
4. 已知点（2，152
）是反比例函数y=21m x -图象上一点，则此函数图象必经过点（ ） A ．（3，－5）； B ．（5，－3）； C ．（－3，5）； D ．（3，5）
5.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂每月生产x 只（x 取正整数）这个月的总成本为5000元，则y 与x 之间满足的关系式为（ ）
A ．5000x y =
； B ．50003y x =； C ．5000y x =； D ．3500y x = 6. 在函数
y =中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ≤1
D ．x ≥1
7.（2007湖北孝感）在反比例函数3k y x
-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）
A ．k ＞3
B ．k ＞0
C ．k ＜3
D ． k ＜0
8.（2007山东临沂）已知反比例函数x
k y =的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点 A (72，y 1)、B (5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为（ ）
A 、y 1＞y 2
B 、y 1＝y 2
C 、y 1＜y 2
D 、无法确定
9、（2007山东青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120
kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）．
A ．不小于54m 3
B ．小于54
m 3 C ．不小于45m 3 D ．小于45
m 3
10、（2007山东枣庄）反比例函数x
k y =的图象如图所示， 点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，
如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ）
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
11、（07江西）对于反比例函数2y x
=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限
C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大
D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 12、（2007江苏南京）反比例函数2
k y x
=-（k 为常数，0k ≠）的图象位于（ ） Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限 Ｃ．第二、四角限 Ｄ．第三、四象限
13、（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=
2x 的 图像，则关于x 的方程kx+b=2x
的解为( ) (A)x l =1，x 2=2 (B)x l =-2，x 2=-1
(C)x l =1，x 2=-2 (D)x l =2，x 2=-1
14、已知函数 y=（m 2－1）21m m x --，当m=_____时，它的图象是双曲线 15、如图是一次函数1y kx b =+和反比例函数2m y x
=的图象， 观察图象写出1y ＞2y 时，x 的取值范围 16、（2007广东梅州）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x
度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 为 ．
17、已知反比例函数8y x
=-的图象经过点P （a+1，4），则a=_____． 18、（2007陕西）在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，
，，，，中，可能在反比例函数(0)k y k x
=>的图象上的点是 ． 19、（2007四川成都）如图，一次函数y kx b =+的图象与
反比例函数m y x =的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求AOB △的面积．
三【课后反思】
第四节 二次函数
一【知识梳理】
1、形如y=ax 2
＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．
2、二次函数的图像是抛物线，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。（主要研究开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点、y 随着x 的变化情况、最大（小）值等）
(1) y ＝ax 2(a ≠0)的图像：顶点（0，0），对称轴y 轴。
(2) y=a(x －h)2＋k 的图象：顶点坐标（h,k ），对称轴x=h 。
①研究形如y=ax 2＋bx ＋c 的二次函数时，常将它通过配方转化为y=a(x －h)2＋k 的形式。 ②理解函数y=a(x －h)2＋k 的图象与函数y=ax 2、y=a(x －h)2的图象之间的关系，当a 的绝对值相等时，抛物线形状相同，此时把其中一个函数的图像通过平移可以得到另一个函数的图像（借助顶点坐标的变化，能更好地理解抛物线的上下（纵坐标）、左右（横坐标）的平移关系），如函数y ＝2(x －1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x －1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x 2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像及性质：
通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标：对称轴是x ＝－b 2a 的直线、顶点坐标(－b 2a
，4ac －b 24a )即当x=－b 2a 时，函数有最大（小）值为y=4ac －b 24a
.抛物线与y 轴的交点（0，c ），与x 轴的交点是纵坐标为零，横坐标为ax 2＋bx ＋c=0的根（假如有解）。
①当a>O 时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)开口向上，顶点是抛物线上位置最低的点。在对称轴的左边，曲线自左向右下降，函数值y 随x 的增大而减小；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数值y 随x 的增大而增大。
②当a 3．抛物线的画法：列表（常以顶点的横坐标为中心向两旁取值）、描点、连线（平滑曲线）。 4.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0 时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c 有 两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程y=ax 2+bx+c 没有实数根 5.二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函 数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． （3）解决实际问题时的基本思路：①理解问题；②分析问题中的变量和常量；③用函数表达式表示出它们之间的关系；④利用二次函数的有关性质进行求解；⑤检验结果的合理性．（有时需要构建平面直角坐标系） 学法指导： 1.待定系数法（1）要求几个系数就需几个方程（点的坐标）；（2）已知抛物线经过三个点的坐标，设其解析式为y=ax 2+bx+c ；如果已知顶点的坐标或是对称轴，就设二次函数的解析式为y=a(x －h)2＋k. 2. 对二次函数的考查经常跟方程、几何等知识相结合，要灵活、综合地利用各种知识解决二次函数的问题（特别是直角三角形、全等相似等知识），解题时切忌心浮气躁。 3.“数形结合”，由数得形，由形得数，要借助图形的直观性进行思考。 4.掌握相关的基础知识，注意积累一些二次函数的解题思路。如：由点的坐标求得解析式（待定系数法），由解析式求得点的坐标【把点的横（纵）坐标代入解析式，求得点的纵（横）坐标。有时需要设未知数，通过探究题目中的相等关系列方程，求的点的坐标】；注意抛物线的轴对称性在解题中的运用；两点的距离公式：已知两点),,(),(1100y x B y x A 、则AB=2 10210)()(y y x x -+- 二【课前练习】 1. 直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定 〖两图像交点的坐标就是两函数组成的方程组的解〗 2. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根； B ．有两个异号实数根 C ．有两个相等实数根； D ．无实数根 3. 不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方； B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点； D ．在x 轴下方 4.如图所示的抛物线2231y ax x a =-+- 经过原点，那么a 的值是 ． 5.已知二次函数2y ax bx c =++的图象 如图所示，则点()P a bc ，在第 象限． 6.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1 7. 某商人将进货单价为8元的商品按每件10 元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减 少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ） A.8元或10 元； B.12元； C.8元； D.10元 8.已知二次函数y=x 2－6x+8，求： （1 ）求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x 2 －6x ＋8=0的解是什么？ ②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？ 9.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向 点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题： （1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S （单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值 10.如图，直线334y x k = +(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。 （1）求过A 、P 、O 的抛物线解析式； （2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q ，使 ∠QAO ＝450，如果存在，求出点Q 三【课后训练】 1.代数式38 122+-x x 的最大值为 。 第2题图 2.在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ） 3、（2007江西省）已知二次函数22y x x m =-++的部分图象 如图所示，则关于x 的一 元二次方程220x x m -++=的解为 ． 4、(06浙江绍兴9)小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 5.3512+- =x y 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距 离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 5、（06诸暨市8）抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛 物 线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是……………( ) A ．（12 ，0）； B ．（1， 0）； C ．（2， 0）； D ．（3， 0） 6、（2007山东日照）已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ） (A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0 (C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 7.已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<； ③ 024>++c b a ；④ b 2＞4ac ；⑤当x >1时，y 随 着x 的增大而增大；其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8.（2007天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。 9.（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302?? ?? ，． （1）求二次函数的表达式； （2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -， 都不在这个二次函数的图象上． 10.（06湖南常德）如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点B C ，，与y 轴相交于点D E ，。 （1）若抛物线213 y x bx c = ++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上。 （2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小。 （3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形。若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。 11.（2007四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)， 和(312)--，. （1）求此二次函数的表达式； （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相 似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标x 答案（1）∴此二次函数的表达式为 223y x x =-++． （2）存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944?? ??? ，或(12)，． （3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =y 图11 PCO ACO ∠=∠；当15p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠． 12、 （2007海南）如图12，直线43 4+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时， ODE ?的面积为①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在， 请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . 答案：（1）43 8342++-=x x y （2）四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC ②S=572533+-t ③80 2430=S 13.（06海南）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次 函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式； （2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）m=1.所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即 y=x 2-2x+1. （2）即h=-x 2+3x (0＜x ＜3). （3）当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形. 14.（05海南）如图12，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 S △PAB =8,并求出此时P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）所求抛物线的解析式为：y=x2-2x-3 14 +、 () -、(1,-4)时，S△PAB=8. （3）点Q的坐标为(1,-2). 图12 高一数学集合与函数测试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：?2008年北京奥运会上所有的比赛项目；②《高中数学》必修1中的所有难题；③所有质数；⑷平面上到点（1,1）的距离等于5的点的全体；⑤在数轴上与原点O非常近的点。其中能构成集合的有（） A . 2组B. 3组C. 4组 D . 5组 2、下列集合中与集合｛x x 2k 1, k N ｝不相等的是（ ） A. {x x 2k 3,k N} B. {x x 4k 1,k N } C. {x x 2k 1,k N} D. {x x 2k 3, k 3,k Z} 2 3、设f（x）学」，则半等于（）X 1f（1） A . 1 B . 1 C . 3 D 3 5 5 4、已知集合 A {xx24 0｝，集合B ｛x ax 1},若B A ,则实数a的值是（） A . 0 B . 1 C . 0 或—D.0或1 2 2 2 5、已知集合 A {( x, y) x y 2} , B {(x,y)x y 4}，则AI B() A . {x 3,y 1} B .(3, 1) C . {3, 1} D.{(3, 1)} 6、下列各组函数 f (x)与g（x）的图象相同的 是 ( ) (A) f (x) x,g(x) (.x)2(B) 2 2 f(x) x ,g(x) (x 1) (C)f(x) 1,g(x) x0 x (D) f(x) |x|,g(x) (x 0) x (x 0) 7；l是定义在'■上的增函数则不等式畑"厮一劭的解集 是() (A)(0 ,+ OO)(B)(0,2)(C)(2 ， + OO )(D) (2，兰) 7 8已知全集U R，集合A {x x 1或x 2},集合B {x 1 x 0},则AU C U B() A. {x x 1或x 0} B. {x x 1或 x 1} C. {x x 2或x 1} D. {x x 2或 x 0} 9、设A 、B为两 个 -非空集 合， 定义A B { (a,b) a A,b B} ，若A {1,2,3}, B {2,3 ,4}，则 A B中的兀素个数为() A. 3 B.7 C.9 D.12 10、已知集合 A {yy x21},集合 B {xy22x 6}，则Al B ( ) A ? {(x,y) x 1,y 2} B. {x1 x 3} C. {x| 1 x 3} D. 11、若奇函数f x在1,3上为增函数，且有最小值0,则它在3, 1上 () A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 12、若1,a,b 0,a2,a b，则a2005 b2005的值为( ) a (A)0 (C) 1 (B)1 (D)1 或1 高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） A.N 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。 10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。 1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{ 1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系 10.已知A=}3,4,1{},2,1{a B a =+，且B A ?，求a 的值 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线； 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） 修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2 10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 人教版高中数学必修一第一章函数与集合 概念知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 （Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（文氏图）： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数 第一章 《集合与函数概念》单元测试题 （纯属个人做法，如有不正确的请纠正） 姓名： 饭团 班别： 学号： 一、选择题：每小题4分，共40分 1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是( A ) （A ）② （B ）③ （C ）②③ （D ）①②③ 2、若{ {}|0,|12A x x B x x =<< =≤<，则A B ?= ( D ) （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥ （C ）{ 0x ≤≤ （D ）{}|02x x << 3、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ?= ( C ) （A ）{}1,2 （B ）{}0,1 （C ）{}0,3 （D ）{}3 4、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ A ） （A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3( 5、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ D ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）2 2 )1()(,)(+==x x g x x f （C ）0 )(,1)(x x g x f == （D ）?? ?-==x x x g x x f )(|,|)( ) 0()0(<≥x x 6、 是定义在上的增函数,则不等式 的解集是（ D ） (A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,7 16) 7、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ C ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值0 8、如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数()H h ≤≤0。 H Ｓ 集合与函数概念复习题（一） 一、选择题 1. 方程260x px -+=的解集为M ，方程260x x q +-=的解集为N ，且{2}M N =， 那么p q +=（ ） A. 21 B. 8 C. 6 D. 7 2. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A. (),()f x x g x == B. 2()()f x g x == C. 21(),()11 x f x g x x x -==+- D. ()()f x g x ==3. 下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C. 1()1f x x =-+ D. ()f x x =- 4. ()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式一定成立的（ ） A. (0)(6)f f < B. (3)(2)f f > C. (1)(3)f f -< D. (2)(0)f f > 5. 已知函数()f x 是R 上的增函数，(0,1),(3,1)A B -是其图象上的两点，那么(1)1f x +<的解集的补集是（ ） A. (1,2)- B. (1,4) C. (,1)[4,)-∞-+∞ D. (,1)[2,)-∞-+∞ 二、填空题 6. 函数12y x =-的定义域为 . 7. 已知()f x 是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =+，则当0x >时，()f x = . 8. 21, 0,()2, 0, x x f x x x ?+≤=?->?若()10f x =，则x = . 三、解答题 9. 求函数21,[3,5]1 x y x x -=∈+的最小值和最大值. 第一章集合与函数概念测试题 一：选择题 1、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 2、图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3、已知集合2{1}A y y x ==+，集合2{26}B x y x ==-+，则A B =（ ） A ．{(,)1,2}x y x y == B ．{13}x x ≤≤ C ．{13}x x -≤≤ D ．? 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{1,2,3,}A a =，2{3,}B a =，则使得Φ=B A C U )(成立的a 的值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、设A 、B 为两个非空集合， 定义{(,),}A B a b a A b B ⊕=∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B ⊕中的元素个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 7、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50 C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 8、已知g (x )=1-2x, f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 高一数学知识点：集合与函数概念 集合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（cantor，g.f.p.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合a的所有元素同时都是集合b的元素，则a称作是b的子集，写作a？b。若a是b的子集，且a不等于b，则a称作是b的真子集，一般写作a？b。中学教材课本里将？符号下加了一个≠符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的几种运算法则 并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作a∪b（或b∪a），读作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={x|x ∈a，或x∈b}交集：以属于a且属于b的元差集表示 素为元素的集合称为a与b的交（集），记作a∩b（或b∩a），读作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={x|x∈a，且x∈b}例如，全集u={1，2，3，4，5}a={1，3，5}b={1，2，5}。那么因为a和b中都有1，5，所以a∩b={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这 集合与函数概念测试题 、 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设}10{,3≤==x x M a ，给出下列关系：①;M a ?②};{a M ?③;}{M a ∈ ④;2M a ?⑤}{}{a ∈φ,其中正确的关系式共有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2．设集合},3 1 6|{},,613|{z k k x x N z k k x x M ∈+==∈+= =， 则M 、N 的关系为（ ） A.N M ? B. N M = C. N M ? D. N M ∈ 3．已知函数1()1x f x x +=-的定义域为A ，函数[()]y f f x =的定义域为B ，则 （ ） A ．A B B = B.B A ? C ．A B = D ．A B B = 4若函数c bx x y ++=2 ))1,((-∞∈x 是单调函数，则b 的取值范围为（ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-集合与函数概念单元测试题-有答案
集合与函数概念单元测试题_有答案
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)
集合与函数概念测试题
第一章集合与函数概念(教师用书)
集合与函数概念单元测试题(含答案)
集合与函数概念测试题
高中数学第一章集合与函数概念知识点
集合与函数概念单元测试
第一章 集合与函数概念测试题
集合与函数概念
最新人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结
新课标高一数学必修1第一章集合与函数概念单元测试题 5
集合与函数概念单元测试题(答案)
集合与函数概念复习题
集合与函数概念单元测试题经典含答案
高一数学知识点：集合与函数概念
第一章集合与函数概念测试题