高中数学复习：选择题压轴题与填空题压轴题

高中数学复习：选择题压轴题与填空题压轴题

1．已知关于x 的不等式3ln 1ln x x k x e x -+≤-对于任意,2e x ??

∈+∞ ???

恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．5,2

?

?-∞- ??

?

B ．(],e -∞-

C ．(],3-∞-

D ．(],22e -∞-

2．已知函数()1ln 2

f x x =+，()22x

g x e -=，若()()f a g b =成立，则-a b 的最小值为（ ）

A ．11ln 22

-

B ．

12

C 1

D ．

1ln 22

3．若关于x 的不等式()2

10x ae x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为( )

A ．241

[,)32e e B ．391[,)42e e C ．391[

,]42e e

D ．32

94[

,)43e e 4．已知()2

1x f x x ax e

=

++，()()ln g x x x =--若对任意0x <，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(],1e -∞+

B ．[)1,e ++∞

C ．(],e -∞

D ．[),e +∞

5．已知函数()2312

x

e x

f x x =-+，若x ∈R 时，恒有()2

'3f x x ax b ≥++，则ab b +的最大值为( )

A B ．

2

C ．

2

e D ．e

6．已知()(1)(1)x x f x ae x e x =++++与()2x

g x e =的图象至少有三个不同的公共点，其中e 为自然数的底数，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)22

-

B ．1(,1)2

-

C ．2

D ．

7．已知函数()1x f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x <恰好有唯一整

数解，则的取值范围是（ ）

A ．22

1,e 2e e ??

-????

B ．222

11,11,22e e e e ????

--?-? ?????? C ．()1,e e -

D ．()22

11,1,2e e e e e e ??

---???

?

8．已知函数2

()ln 2,()ln x x

e f x xe x x g x x x x

-=---=+-的最小值分别为,a b ，则

（ ） A ．a b = B ．a b <

C ．a b >

D ．,a b 的大小关系不确定

9．若不等式32

ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则

实数a 的取值范围是( ) A ．9

32,2ln 2ln 5???

???

B ．9

32,2ln 2ln 5??

???

C ．9

32,2ln 2ln 5??

???

D ．9,2ln 2??

+∞

???

10．设函数()()2

2

1611ax x

x x x x f x =+-

+++，若0x >时，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+

B ．(),12-∞

C ．(),0-∞

D ．()12,+∞

11．已知函数()1x

f x xe

-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数

()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范

围为（ ） A ．(1,]e

B ．2

(,]e e e

-

C ．22(,]e e e e

-

+ D ．2

(1,]e e

-

12．已知函数()2ln e x f x x =

，若关于x 的方程

2

1[()]()08

f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．3

(0,)4

B ．(0,

2

C ．3,)24

D ．2

13．已知不等式()1ln x

xe a x x -+≥对任意正数x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ）

A ．

12

B ．1 C

D ．

2

e 14．已知函数()(N )k

f x k x

+=

∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满

足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3

B ．2

C ．4

D ．5

15．若对任意0x >，恒有()

112ln ax

a x x x e ??

+≥+

???

，则实数a 的最小值为（ ） A ．

2

1e B ．

2

2e C ．

1e

D ．

2e

16．若

21

(1)12

x a x e x -+<-对0x ?>恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞

B ．(,2)-∞

C ．(,1]-∞

D ．(,3]-∞

17．设函数()()1x a

f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，已知()f x 有且只有一个零点.下

列四个结论： ①a e =；

②()f x 在区间()1,e 单调递增； ③x e =是()f x 的零点；

④1x =是()f x 的极大值点，()f e 是()f x 的最小值. 其中正确的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

18．已知21a -<<，且0x ≥时，()5

854842x e x a +≥-恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．1-

B ．ln 22-

C ．1e -

D ．ln33-

19．若实数a b c d ,,,满足22ln 341a a c b d

--==（ ）

A

B

C D

20．若曲线()11

x

m

y xe x x =+

<-+存在两条垂直于y 轴的切线，

则m 的取值范围为（ ）

A ．4

27,0e ??

-

???

B ．4

27,0e -

??

????

C ．4

27,e ??

-

+∞ ???

D ．4271,e ?

?--

???

21．已知方程()

21

1

1

x x x e e

x x ae

---+=-有三个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,e -

B ．1,2e ??- ??

?

C ．()1,1-

D ．11,

2??- ???

22．函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．20,π?

? ???

B ．20,

π?

? ???

C ．(0,2]

D ．(0,2)

23．已知0a >，b R ∈，且(1)x

e a x b ≥-+对x ∈R 恒成立，则2a b 的最大值为（ ）

A ．

5

12

e B ．5

13

e

C ．

312

e D ．3

13

e

24．若关于x 的不等式1127

k x

x ??≤ ?

??

有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

25．若对任意0x >，均存在a ∈R ，使得1

a m ax e x

≥+成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,e ??+∞????

B ．[)1,+∞

C ．[)0,+∞

D

．?

+∞??

26．已知函数()()()()2

29ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，

3x ，且1231x x x <<<，则2

312123ln ln ln 333x x x x x x ?? ?

????---

? ???????

的值为（ ） A ．81

B ．﹣81

C ．﹣9

D ．9

27．设函数()()1x

f x x e =-，若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，

则正数a 的取值范围是（ ）

A ．(]0,e

B ．(

2

0,e ??

C ．21,2e ??

???

D ．211,2e ??+ ??

? 28．已知关于x 的不等式21e ln 10x ax x x ---≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．(,0]-∞

C ．(,1]-∞

D ．1,2

??-∞ ??

?

29．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A

B C ．

2e

D ．

12e

30．已知函数()f x 的定义域为()1,+∞，其导函数为()f x '，

()()()()22x f x xf x xf x '++

525

f =，则不等式()

()2

33210x f x x ++>+的解集为（ ）

A ．()1,2

B ．(),2-∞

C ．()2,3-

D ．()2,2-

31．若函数()f x 满足()()()'

ln f x x f x x =-，且11f e e

??= ???，则()'11

x ef e f e ??<+ ???的解集是（ ） A ．(),1-∞-

B ．()1,-+∞

C ．10,

e ?

? ???

D ．1,e ??+∞ ???

32．不等式1x ax lnx xe ++≤对于定义域内的任意x 恒成立，则a 的取值范围为__________.

33．下列四个命题（e 为自然对数的底数）

①ln52<；②ln π>

③11<；④3ln 2e >其中真命题序号为__________.

34．若关于x 的不等式2

121ln n mx

e x

-≥+在1[,)2+∞上恒成立，则n m 的最大值为

__________．

35．已知函数(

)

2

()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.

36．若,x y 是实数，e 是自然对数的底数，2

3ln(21)3x y e y x x ++--++，

则2x y +=______．

37．已知函数()()3

3,f x x a x b a R b =-+-∈.当[]

0,2x ∈，()f x 的最大值为

(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______

38．若不等式(

)2ln 1x

x e

a x x -≥++恒成立，则实数a 的取值范围是__________.

39．已知函数()()ln f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数.若不等式()0f x ≤恒成立，则

b

a

的最小值为_______. 40．已知函数()2cos f x x x λ=++，在区间上0,

2π??

????

任取三个数1x ，2x ，3x ，均存在以1f x ，2f x ，()3f x 为边长的三角形，则λ的取值范围是_______. 41．设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=则22

4220115x y

x xy y +++的取值范围是

__________．

42．已知0a >，若关于x 的不等式ln x e a ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围为______. 43．若关于x 的不等式

ln 1x ax b x +≤+恒成立，则b

a

的最小值是_____. 44．已知()()()2

ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个不同零点，则a 的取值范围为______.

45．设(,)P x y 为椭圆22

11612

x y +=在第一象限上的点，则

346x y x y +--的最小值为________.

参考答案，仅供参考

1．C

【分析】不等式3ln 1ln x x

k x e

x -+≤-对于任意,2e x ??∈+∞ ???恒成立.即3ln 1

ln x x

e x k x

---≤

对于任意,2e x ??

∈+∞ ???

恒成立.由1x e x ≥+恒成立，可得3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，从而可得答案.

【解析】当,2e x ??

∈+∞

???

时，ln ln 02e x >>.

不等式3ln 1ln x x k x e x -+≤-对于任意,2e x ??

∈+∞

???

恒成立. 即3ln 1

ln x x e x k x ---≤对于任意,2e x ??∈+∞ ???恒成立.

设()3ln 1

ln x x e x g x x

---=，即()min k g x ≤，,2e x ??∈+∞ ???.

设()1x

h x e x =--，则()1x

h x e '=-.

显然当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 当0x <时, ()0h x '<，函数()h x 单调递减.

所以()()00h x h ≥=，即1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号. 设3ln t x x =-，则33

1x t x x

-'=-

=

. 所以函数3ln t x x =-在,32

e

?? ???

上单调递减，在()3+∞，

上单调递增. 由33ln3-<.又2223ln 60e e e -=-> 所以3ln 0x x -=一定有实数根.

所以3ln 13ln 1x x t e e t x x -=≥+=-+当且仅当0t =, 即3ln 0x x -=时取等号.

所以()3ln 13ln 11

3ln ln x x e x x x x g x x x

----+--=≥=-

所以3a ≤-. 故选：C

【点评】本题考查分离参数法求参数的范围，考查1x e x ≥+的应用和构造函数、转化的思想方法，属于难题. 2．D

【分析】设()()f a g b t ==，可将-a b 表示为关于t 的函数()h t ，利用导数可求得()h t 的最小值，即为-a b 的最小值.

【解析】设()()f a g b t ==，即221

ln 2

b a e t -+

==， 12

t a e

-

∴=，1

ln 12

b t =

+， 设()()12

1

ln 102

t h t a b e

t t -=-=-->， 则()

11

2

2

12122t t te h t e t t

---'=-

=， 令()()12

210t m t te

t -

=->，则()()1

112

2

2

22210t t t m t e

te

t e

-

-

-

'=+=+>，

()m t ∴单调递增，又102m ??

= ???

，

∴当10,2t ??

∈ ???时，()0m t <，即()0h t '<，

则()h t 在10,2?? ???

上单调递减；

当1,2t ??

∈+∞

???

时，()0m t >，即()0h t '>， 则()h t 在1,2??+∞ ???

上单调递增；

所以1

2

t =

取得极小值，也是最小值， ()min 1111111ln 1ln ln 2222222h t h ??

∴==--=-= ???

，

即-a b 的最小值为1

ln 22

. 故选：D .

【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，关键是能够将所求最值转化为关于第三个变量的函数的形式，通过导数确定函数的单调性，进而确定最值点. 3．D

【分析】将原不等式化简成()21x

x ae x >+,设()2f x x =,()()1x g x a x e =+再分0a ≤与

0a >两种情况,构造函数并分析函数的单调性与最值,再数形结合根据函数零点存在定理列

出区间端点满足的不等式求解即可.

【解析】将原不等式化简可得()21x

x ae x >+.

设()2

f x x =,()()1x

g x a x e =+,则原不等式等价于()()f x g x >.

若0a ≤,则当0x >时, ()0f x >,()0g x ≤,所以原不等式的解集中有无数个正整数解,不符合题意,所以0a >.

因为()00f =,()00g a =>,所以()()00f g <. 当()()11f g ≤,即1

2a e

≥

时,设()()()()2h x f x g x x =-≥, 则()()()2'2222x x

x e h x x a x e

x e

+=-+≤-

. 设()

()()2222x x e x x x e

?+=-

≥,则()()()35'2'22022

x x e e

x e

??+=-

≤=-<, 所以()x ?在[)2,+∞上为减函数,所以()()()2220x e ??≤=-<, 所以当2x ≥时, ()'0h x <,所以()h x 在[)2,+∞上为减函数,所以

()()23243402

e

h x h ae ≤=-≤-

<, 所以当2x ≥时,不等式()()f x g x <恒成立.所以原不等式的解集中没有正整数. 所以结合()(),f x g x 的函数图像可得,要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则

()()()()()()112233f g f g f g ?>?>??≤?

,即2

3

124394ae ae ae >??>??≤?,解得329443a e e ≤<.

故选：D

【点评】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值,从而结合零点存在性定理分析零点存在,从而求得参数范围的问题.需要根据题意将原不等式分成两个函数,再求导分析函数的单调性,进而根据区间端点满足的不等式求解.属于难题. 4．C

【分析】将参数a 分离到不等式的一边，将不等式的另一边视为函数()h x ，然后利用导数研究函数()h x 的单调性，从而得到函数()h x 的最值，最后求解实数a 的取值范围． 【解析】由对任意0x <，不等式()()f x g x ≥恒成立， 得对任意21

0,

ln()0x x x ax x x e

<++--+≥恒成立， 即对任意20,( 1) ln()x

x a x x e

x -<+≥---恒成立．

因为0x <，所以2

ln()1x x e x a x

----+≤．

令2ln()()x x e x h x x ----=，则22

1ln()(1)()x x x x e h x x

-'

---++=， 显然当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '

>单调递增．

所以min ()(1)1h x h e =-=+，故11a e +≤+，解得a e ≤．

或：令x t -=，则由0x <知0t >，不等式()()f x g x ≥可化为2ln t e t at t t +-≥+，

故当0t >时，2ln t e t at t t +-≥+恒成立，

即当0t >时，2ln 1t e t t

a t

+-+≤恒成立．

令2ln ()t e t t F t t +-=，则22

(1)1ln ()t t e t t F t t

'

-+-+=， 显然当1t >时，()0,()F t F t '>单调递增； 当01t <<时，()0,()F t F t '<单调递减．

所以min ()(1)1F t F e ==+，故11a e +≤+，解得a e ≤． 故选：C.

【点评】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式恒成立问题等，考查考生的化归与转化能力以及逻辑思维能力．本题是“已知不等式恒成立求参数的取值范围”问题，解决的基本方法是分离参数法．本题在求解时，考虑到不等式中变量的取值范围是(,0)-∞，且不等式中含有x e -，ln()x -，因此可采用换元的方法，令x t -=，将原不等式转化为关于t 的不等式，从而可简化解题过程．属于较难题. 5．C

【分析】对函数()f x 求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数

()x g x e x ax =--并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab 的不等式关系，进而表示

()()()()2

2

111ln 1b a a a a +≤+-++，再令1t a =+并构造()22

ln h t t t t =-，利用导数

求得最大值即可.

【解析】因为函数()2

312

x

e x

f x x =-

+，则()23x e x f x x =-+'， 由题可知，对x ∈R ，恒有22330x x e x x x ax b e x ax b -+≥++?---≥成立，令

()x g x e x ax =--，则()1x g x e a '=--，

当1a <-时，函数()g x 在R 上单调递增，且x →-∞时，()g x →-∞，不符合题意； 当1a =-时，0ab b +=，

当1a >-时，令()()10ln 1x

g x e a x a '=-->?>+，所以函数()g x 在()()

ln 1,a ++∞

上单调递增，且在()()

,ln 1a -∞+上单调递减； 所以()()()

()()()()()ln 1min ln 1ln 1ln 111ln 1a g x g a e

a a a a a a +=+=-+-+=+-++????，

故()()()()()()()2

2

11ln 10111ln 1a a a b b a a a a +-++-≥?+≤+-++， 令10t a =+>，则()2

2

ln h t t t t =-，且()()()22ln 12ln h t t t t t t t '=-+=-，

当(t ∈时，()0h t '>，函数()h t 单调递增；当)

t ∈+∞时，()0h t '<，函数()

h t 单调递减，

所以()2

2

max ln

2e h t h

==-=

，故()12

e

b a +≤， 综上所述，ab b +的最大值为2

e

. 故选：C

【点评】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，还考查了利用分类讨论求参数的最值，属于难题. 6．B

【分析】()(1)(1)x x

f x ae x e x =++++与()2x

g x e =的图象有三个不同的公共点等价于

()()f x g x =有三个不同的实根，化简方程得11

()(1)1e e x x

x x a ++++=通过换元得到 ()2110t a t a +++-=，研究1

e

x x t +=

的单调性对根的影响求解. 【解析】由()()f x g x =得2(e 1)(e 1)e x x x

a x x ++++=，即11

()(1)1e e x x

x x a +++

+=. 设1e

x x t +=

，是()(1)1a t t ++=，即2

(1)10t a t a +++-=. 由1e

x

x t +=

得()e x x

t x -'=. 所以()t x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,)+∞上单调递减（如图1所示）

若()f x 与()g x 有四个公共点，则方程2

(1)10t a t a +++-=在区间(0,1)有两个不等实根

（如图2所示），

则2(1)4(1)0,10,1(1)(1)0,101,2a a a a a a ??=+-->?

->??

?+++->?

+?<-

无解. 若()f x 与()g x 有三个公共点，则方程2

(1)10t a t a +++-=在区间(,0)-∞和(0,1)上各有

一个实根（如图3所示）

则10,1(1)(1)0,

a a a -

+++->?解之得1

12a -<<.

特别情况：若0t =，则1a =，此时220t t +=，则10t =，22t =-，不满足题意. 若1t =，则1110a a +++-=， ∴12a =-

，2

13022t t +-=，则11t =，232

t =-，不满足题意.

综上所述1

12

a -<<. 故选:B.

【点评】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想. 7．D

【分析】求导，由()0f x '=得()ln 1,1x a =∈-可求出a 的范围，再考查ln a

与零的大小

比较，在()ln 1,0a ∈-时，结合题意得出()()1020f f ?-

10

20f f ?

解出实数a 的范围可得出答案． 【解析】

()1x f x e ax =--，则()x f x e a '=-，

由于函数()y f x =在区间()1,1-上存在极值点，令()0x

f x e a '=-=，得ln x a =，

所以，1ln 1a -<<，解得

1

a e e

<<， 由于()00f =，且不等式()0f x <恰有一整数解．

①当ln 0a =时，即当1a =时，()1x

f x e '=-，

当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

此时，函数()y f x =在0x =处取得最小值，则()()00f x f ≥=，不合乎题意； ②当1ln 0a -<<时，即当

1

1a e

<<时，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>． 所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞．

由题意可得()()

2

12210110f e a f e a --?-=+-≥??-=+-

11

2e e a e e --≤<； ③当0ln 1a <<时，即当1a e <<时，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>． 所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞．

由题意可得()()

22210110f e a f e a ?=--≥??=--

12e e a --<≤，此时，1e a e -<<．

因此，实数a 的取值范围是()22

11,1,2e e e e e e ??

---???

?，故选D ．

【点评】本题考查函数的极值以及函数的零点问题，难点在于不等式整数解的问题，充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力，属于难题． 8．A

【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.

【解析】由题意得：2'

11(1)(1)

()1x x x x

x

xe x e x x xe f x e xe x x x

+--+-=+--==

， 易得0,10x x >+>，设'

()0f x =，可得10x xe -=，可得1x

e x

=

，由x y e =与1

y x =图像

可知存在0(0,1)x ∈，使得0

1x e x =

，可得当0(0,)x x ∈，'

()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即00000

1

()ln 21x a f x x e x x -==?

---=-； 同理：2222'

222

1(1)(1)(1)()

()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x

------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2

x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，

使得12

1x e

x -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'

()0g x >，当(1,)

x ∈+∞时，'

()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得

1112

211112()ln 121x x x e b g x e x x x e

---==+-=+--=-，故1a b ==-，

故选：A.

【点评】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 9．C

【分析】由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极

值点，得出单调性，根据32

ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围.

【解析】设函数()ln(1)f x a x =+，32

()2g x x x =-，

因为2

()34g x x x '=-， 所以()0g x '=， 0x ∴=或43

x =

，

因为4

03

x <<

时，()0g x '<， 4

3

x >

或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：

当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；

当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)

(4)(4)f g f g >???，

32

32

ln 4323ln 5424

a a ?>-?∴?-??， 所以

932

2ln 2ln 5

a <. 故选：C.

【点评】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 10．B

【分析】根据题意()0f x >变形整理为()()2

16

1

10x x a x ++

>+<，设()()()2

16

101

g x x x x =++

>+，利用导数求()g x 在()0,∞+上的最小值，求解即可. 【解析】0x >时，()0f x >即()2

161011a x x x +-

+>++，对0x >成立. ∴()()2

16

1

10x x a x ++

>+<. 令()()()2

16101

g x x x x =++>+，

则()()()

()()

3

2

2

2116

16

2111g x x x x x +-=+-

=

+'+

令()0g x '>，即()3

18x +>，解得1x >. 令()0g x '<，即()3

18x +<，解得01x <<

∴()g x 在(]0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数. ∴()()112g x g ≥= ∴12a <. 故选：B

【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，求参数的取值范围，属于难题. 11．D

【分析】将原题等价转化为方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，

先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令

2

()ln 1F x x x ax =-++，求导得221

()x ax F x x

'

--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，

只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时

()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是

减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合2

11210x ax --=，构造函数

()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；

【解析】函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，

等价于方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.

111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；

当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.

设2

()ln 1F x x x ax =-++，2121

()2x ax F x x a x x

'

--=-+=-，

若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在

()0,e 有解，且易知只能有一个解.

设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.

因为0(0,]x e ?∈，方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以

()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2

a e e

≤-.

由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2

111ln 0x x ax -+>.

因为2

11210x ax --=，所以11

12a x x =-

，代入2111ln 0x x ax -+>，得2

11ln 10x x +->. 设()2

ln 1m x x x =+-，()1

20m x x x

'=

+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2

11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.

由1112a x x =-

在()1,e 上是增函数，得112a e e

<<-. 综上所述2

1a e e

<≤-， 故选：D.

【点评】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 12．C

【分析】求导，先求出()f x

在(x ∈

单增，在)

x ∈

+∞

单减，且

max 1()2f x f ==

知设()f x t =，则方程2

1[()]()08

f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程

2108

t mt -+=在1

(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等

式组求解可得.

【解析】依题意，2

43

2ln (12ln )()e x xe x

e x x

f x x x '

?--==

， 令()0f x '=，解得1

ln 2

x =

，x =

x ∈时，()0f x '>，

当)x ∈+∞，()0f x '<

，且1

2

e f e

==，

故方程2

108

t mt -+

=在1

(0,)2上有两个不同的实数根，

故121212

011()()022010t t t t t t ?>???-->???<+??，210211

082401m m m ?->???-+>??<

解得3

,)24

m ∈. 故选：C.

【点评】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：

(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；

(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 13．B

【分析】分类参数，构造新的函数()g x ，求出零点，判断()g x 的单调性，求出()f x 的最小值，即可求出a ．

【解析】0x >时，不等式(1)x

xe a x lnx -+可化为(1)x

a x xe lnx +-，

所以1

x xe lnx

a x -+，

设()1

x xe lnx

f x x -=+，其中0x >，

则22

1

(1)1()(1)x x x e lnx

x f x x ++--+'=

+， 设2

1

()(1)1x

g x x x e lnx x =++--

+，其中0x >， 则21()(1)[(2)]0x

g x x x e x

'=+++>恒成立，

则()g x 在(0,)+∞上单调递增，

2211

())(1)1(1)1x x x g x x x e lnx x e xe lnx x x

==++--

+=+---+， 令()0o g x =，得1o

x o

e

x =

， 所以()f x 在(0,)o x 单调递减，(o x ，)+∞单调递增，

1()111o x o o o

min

o o o

x e lnx x f f x x x -+====++，

对任意正数x 恒成立，即()1min a f x =， 故选：B ．

【点评】考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等． 14．A

【分析】根据条件将问题转化为

ln 11x k

x x

+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1

()1

x h x x x +=?

-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值. 【解析】()(N )k f x k x +=∈，ln 1

()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足

0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，

∴易得()()()g c f b f c =>，即

ln 11c k

c c

+>-恒成立， ln 11x k

x x

+∴

>-，对于1x >恒成立,