第三章空间向量与立体几何导学案
§ 3.1.1空间向量及其运算tutr ttm-
OB __________ ，AB _______________ ，
1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们
的运算律；
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几
何中的问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P84~ P86，找出疑惑之处)
复习1：平面向量基本概念：
具有____ 和_____ 的量叫向量，_________ 叫向量的
模(或长度)；叫零向量，记
着_____ ；叫单位向量.
叫相反向量，a的相反向量记着____________________ . 叫相等向量.向量的表示方法有 ___________________ , _____________________ ,
和________________ 共三种方法.
I
复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算：
1.向量的加法和减法的运算法则有
法则和法则.
a
■
■2.实数与向量的积：
实数入与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：
(1) 1 乔
(2)_______________________ 当心0时，七与A. ________________________________ ；
当疋0时，扫与A. _______ ；
当 L 0时，扫= _______ .
3.向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a + b= b+ a
加法结合律：(a+ b)+ c= a +( b+ c) 数乘分配律：
Xa + b) = + ?b
二、新课导学探学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求r r r r - —
a b,a b. a . b
2.点C在线段AB上，且虫5,则
CB 2
LUT LUU LUU LUU
AC _ AB , BC _______ AB .
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗?
⑴加法交换律：A. + B. = B. + a；
⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c);
⑶数乘分配律：XA. + b)=入A+入b
探典型例题
例1已知平行六面体ABCD
A'B'C'D'(如图)，化简下列
向量表达式，并标出化简结果
的向量：
utr Utt
⑴ AB BC；
utir UUL UUJIL
⑵ AB AD AA'；
UULT UUUL 1 UULtr ⑶ AB AD
-CC'
2
1UULT ULUL UUL ⑷—(AB AD AA').
2
U J(L LUf UULT UUU UUUL 变式：在上图中，用AB, AD, AA'表示 AC,BD'和UULU
DB'.
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量
之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向
量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首
尾相接的向量.
例2化简下列各式：
两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中,
■ 1|
⑴ AB BC CA ； JJJ JJJ JJLT ' JUT ⑶ AB AC BD CD; 自我评价你完成本节导学案的情况为（
）
A. 很好
B.较好
C. 一般
D.较差
X 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
X 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的
平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .
二学习评价
2. 如图，平行六面体 ABCD AB 1C 1D 1中，点M 为
JU T JJLT T JUT T
AC 与的 BD 的交点，AB a , AD b , l\A c, 则下列
向量中与BM 相等的是（）
1 T 1 T T A.
— —b c
2 2 Ij
1 T 1 T
T B.
— a —b c 2 2
1 T 1 T T 15
. , j. ? ■
C.
— a —b c A
2 2
1 T 1 T
T D.
— —b c
2 2
JJJ JJLT JJJ JJLT ⑸ OA OC BO CO : ⑹ JJJ JUT JJLT DC AB AD
JJIT JJLT JUJU JJLT ⑺ NQ QP MN MP
变式：化简下列各式: 1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若 I a I =1 b I,则 a , b 相反或相同；
B. 若a 与b 是相反向量，则I
C. 空间向量的减法满足结合律
D. 在四边形ABCD 中，一定有 2. 长方体 ABCD A'B'C' ujuu nju uJJir
AA ' AB AD = ____________
的长度相同, uuu UJIT AB AD
D'中， 万向
JJLT
AC .
化简
r r 口卄人亠冃 uDjjg — r r
3.已知向量a , b 是两个非零向量，a 0,b 0是与a , b
JJ u
JT U JJ UT A. a o b o B. 3o b o 或 a o b o
JJ
T T C. a o 1 D. .I a o I = I b o I
JUT JJJ JJLT
4.在四边形 ABCD 中， 若 AC AB AD,则四边形 是（ )
B.菱形
C.
D.平行四边形 A. 矩形
正方形 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（
） 5.下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按 减法法则进行运算，加法和减法可以转化 : X 动手试试 练1.已知平行六面体 ABCD A'B'C'D' , M 为 A 1C 1与B 1 D 1的交点，化简下列表达式：
JJLT JUJU ⑴ AA AR ； ⑵ AB AD 1 ； ? 2 2 ⑶ JJLT 1 JJJLT 1 JJJLT AA
AR A| D 1 2 2 JJLT JJUT
JJJLT
JJJ JJLT
⑷ AB BC CG GA AA.
1 JJJJ 1 UJJT 匸空齐….课后作业 1.在三棱柱 ABC-A'B'C'中，M,N 分别为 BC,BC 的 中点，化简下列式子： JJJJ JJLT UJJT JJJir JUT ,
⑴ AM + BN ⑵ A'N — MC + BB
⑵ AB MB JJJ JJLT ⑷ OA OD BO OM ; JUT DC .
§ 3.1.2空间向量的数乘运算（一）
' 学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题.
一、课前准备
(预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处) 复习1：化简：
r r r r
⑴ 5 ( 3a 2b ) +4 ( 2b 3a);
反思：充分理解两个向量a,b 共线向量的充要条件中 的b
0 ,注意零向量与任何向量共线
.
探典型例题
例1已知直线 AB,点O 是直线 AB 外一点，若 uui uui UUU
OP xOA yOB ，且x+y= 1，试判断 A,B,P 三点是 否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点,
血 1 LU ： LOl
右 OP OA tOB ，那么 t =
2
复习2:在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量 a,b ,若b 是非零向量，则a 与 b 平行的充要条件是
4
例2已知平行六面体 ABCD A'B'C'D'，点M 是棱
AA '的中点，点G 在对角线AC 上，且CG:GA '=2:1, ium r
ujr r uuu r r r r
设CD =a ，CB b,CC ' c,试用向量a, b,c 表示向 uui UJU
uuui uur
量 CA, CA , CM ,CG .
二、新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判 定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线： 1. ___________________________________ 如果表示空间向量的 ________________________________ 所在的直 线互相 或 ，则这些向量叫共线向量， 也叫平行向量?
2.
空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量 充要条件是存在唯一实数 推论：如图，I 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线， 对空间的任意一点 0,点P 在直 线I 上的充要条件是—
UJU r r UJIT
r r 试试：已知 AB a 5b, BC
2a 8b,
uuu r r
CD 3 a b ，求证:A,B,C 三点共线.
变式2:如图，已知 A,B,C 不共线，从平面 ABC 外 任一点
O ，作出点P,Q,R,S,使得：
⑵ 6 a 3b c a b c .
\|7
ro rb
(得
rb
使 r
变式1:已知长方体 ABCD A'B'C'D'，M 是对角
线AC '中点，化简下列表达式：
uuu , uuu ⑴ AA CB ；
uuuj ULm UULir ⑵ AB ' BC ' CD '
1 UULT 1 UUU 1 Ujr ⑶ AD AB AA