自动控制原理 第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
第八章 线性系统的状态空间分析与综合
习题及解答
8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a
a
a a a E dt
di L i R U ++=+ dt
d K E m
b
b θ= a m m i C M =
dt d f dt d J M m
m
m m m θθ+=2
2 )
()([)()(2m b m a a m m a m a m
a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ
⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m
y θ=,试建立其动态方程。 解：
（1）由题意可知： ???
????=======123121x
y x
x x x x m m m
m
θθθθ ，
由已知 ???????+===++=m m m m m
a m m
m
b b
a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ
可推导出 ?????
????=++-+-===1
233
3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x
a m
a m
m a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下
=??????????321x x x ???
??
?
?
??????
?+-
+-
m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01
00010??????????321x x x +???????
?
?????
???m a m J L C 00
a U y =[]001????
??????321x x x
（2）由题意可知：,1a i x =m
m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ????????
???==-=-====+--=+--==2
3133
231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a
a b a a a a m a b a a a a
θθθθθ
可列动态方程如下
[]??
??
??????=321010x x x y
由 ?????===m
m m
x x x θθθ 321和 ???
??===m
m a x x i x θθ 321
得 ???
?
?????
-=-======3
133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ
由上式可得变换矩阵为 ??????
?
???????
-=m m m m J f J C T 0100
010
8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++
。式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解： 由题意可得：
10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a
C f x x m
m J J m m ??
??--????
??????
??????????=+??????????????????????-
????????
32
6
6
116
=
+++
y
u s s s
可控标准型
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
3
2
1
6
1
6
11
6
1
1
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
状态变量图如下：
由方程得可观测标准型
[]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
6
6
1
11
1
6
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
状态变量图如下：
8-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为
3
2
1
,
,x
x
x。试求动态方程，并画出状态变量图。
由结构图可得
?
??
????
??+--=+--=?+=-==?=-=+-=+?+=-u x x x u x x sx s x u x x x
x sx s x x x x x x x x sx x s s s x x x 2322323
2
2222)1(221221212313113
321132112
321 即即即
由上述三式，可列动态方程如下：
[]1122331123001023020230100x x x x u x x x y x x x ????????????????=--+????????????????-????????????==??????
状态变量图如下：
8-4 已知系统传递函数为
2268
()43
s s G s s s ++=++，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。
解：
(1) 可控标准型
[]u
x x y u x x x x
+??
?
???=??
????+???????
?????--=??????21212125104310
（2）可观测标准型
[]u
x x y u x x x x
+??
?
???=??????+???????
?????--=??????21212110254130
（3）123321
13
486)(22++++=++++=s s s s s s s G
由上式可得对角型 []u
x x y u x x x x +??
?
???=?????
???????+???????????
?--=??????2121211123211003 8-5 已知系统传递函数 )
2()1(5
)(2++=
s s s G ，试求约当型动态方程，并画出状态变量图。
解：25
15)
1(5)2()1(5)(2
2+++-+=++=
s s s s s s G 由上式，可得约当型动态方程
[]????
??????-=??????
????+????????????????????---=??????????321321321555110200010011x x x y u x x x x x x
8-6 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为
3
2122
112321321321212261162x x x y x x y u x x x x
u u x x
u x x
-+=-=+---=-+=+= 写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图
解： 由题中给定方程可列写出动态方程
???
?
?
??????????
?-=?????????????????-?????+?????????????????
??
?---=??????????32121213213211012112100216116100010x x x y y u u x x x x x x
状态变量图如下
8-7 已知系统动态方程为 []010********* 0 0 1x x u
y ??????????=--+??????????-?????
?=?
，试求传递函数G(s)
解：
[]??
??????????????????--+-=-=-21031103201
100])[()(1
s s s B A sI C s G =[]
????
?
?????++-----21023156
712
3s s s s s s =6737232--++s s s s
8-8 已知系统矩阵A=??
?
???-1001，至少用两种方法求状态转移矩阵。 解：
（1）级数法：
++
+=2
22
1t A At I e At + =?
?????????+++++++-+- 4324324131211004131211t t t t t t t t =??
??
??-t t
e e 0
0 (2) 拉氏变换法
???
?
?
?????-+=??
??
??-+=---110011
1001)
(1
1
s s s s A sI ??
????=????
?
?????-+=--t t
At
e e s s L e 0011001
11 8-9 已知系统t 2t
t 2t 1t 2t
t 2t 6e 5e 4e 4e (t)3e 3e 2e 3e --------??
--Φ=??-+-+??，
和 t 2t
t 2t 2t 2t
t 2t 2e e e e (t)2e 2e
e 2e --------??
--Φ=??-+-+??
判断12ΦΦ，是否是状态转移矩阵。若是，则确定系统的状态阵A ；如果不是，请说明理由。
解：转移矩阵应满足：I A =ΦΦ=Φ
)0(,
()1100I 01??Φ== ??? 210(0)01??
=??
??
Φ 假设1()t Φ，2()t Φ为转移矩阵则 A 1=221220
4461048()
343626t t
t t t
t
t t t t e e e e t e e e e Φ--------==??
-+-+??==??
??----??
?? A 2=222220
01222()23244--------==??
-+-+??==??
??----??
??
t t t t t
t
t t t t e e e e t e e
e e Φ 则
A 1()1t Φ=t 2t
t 2t t 2t
t 2t 12e 8e 8e 4e 9e 8e 6e 4e --------??
--??-+-+??
1()≠t Φ A 2()2t Φ=t 2t
t 2t t 2t
t 2t 2e 2e e 2e 2e 4e
e 4e --------??
-+-+??--??
=2()t Φ＝()2t ΦA 2 所以1()t Φ不是转移矩阵，()2
t Φ是转移矩阵，其状态阵为0
123????--??
。
8-10 试求下列状态方程的解 x x ????
??????---=30002000
1 的解 解：由题意可得：
????
???-=-==-=---0110
1
0)()()()(x
A sI L t x x A sI x x
x A sI Ax x
3201
1
1000000310002100011300020001
)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ????
??????=???
???
?
?
????????+++=??????????+++=------
8-11 已知系统状态方程为u x x ??
?
???+??????=111101 ，初始条件为0)0(,1)0(21==x x 。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
解：
此题为求非奇次状态方程的解，对于非奇次状态方程。
τ
ττd Bu t x t t x t
)()()0()()(0?-Φ+Φ=
???
???=????
?
?
??????---=??
?
???---=-=Φ-----t t
t
e te e s s s L s s s L A sI L t 011)1(1
011
1101)()(21
1
111
????
?????+-=???
???????
??-+????????????=---t
t t t t t t t
t
te e d e e t e e te e t x 22111)(0010)(0τττττ 8-12 已知差分方程)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++，并且y(0)=0,y(1)=1,
试列写可控标准型离散动态方程，并求出(0)1()(1)1u u k u ????
==?
???????
时的系统响应。 解： 由差分方程可得离散动态方程如下：
??
??=?+?=+)()()
()()1(k x C k y k u H k x G k x []23103210
=?
?
????=?
?
????--=C H G
???
???=???????+=?+?=101100)0()0()1(u H x G x
[]21023)1()1(=??
?
???=?=x C y
???
???-=???????+????????????--=?+?=21110103210)1()1()2(u H x G x
[]12123)2()2(-=???
???-=?=x C y
8-13 已知连续系统的动态方程为[]x y u x x
01,102010=??
?
???+??????= 设采样周期s T 1=，试求离散化动态方程。
解：
??
?
?
?
???
-=?????
?
??????--=??
?
???--=-=Φ-----t t e e s s s s L s s L A sI L t 2211
1
1
1
)1(2
11
210)2(11
201][)( ???
???≈???
?
??
??
-==Φ39.7019.310)1(211
)1(22e e T ????
????????
???
?
-=Φ==u e e Bd T G T 100)1(211)()1(2210
0τ
τττ
=1
02221)21(21?????
???????-τττe e =?
??
???195.3347.1 8-14 试用李雅普诺夫第二法判断21221132,x x x
x x x
-=+-= 平衡状态的稳定性。 解：平衡点：??
?==002
1x x 构造 2
22
1)(x x x V +=
则 )32(2)(222)(2122112211x x x x x x x x x x x V -++-=+=
=2
2212
1662x x x x -+- =[]??
??????????--2121
6332x x x x
判定)(x V 性质： ?????>=-=--<-03912633
20
2 )(x V
负定，因此平衡状态是大范围一致渐近稳定的 8-15 已知系统状态方程为 ??????????
??????+??????
?
???????---=2102010112100103212u u x x ，当Q = I 时，矩阵P 的值；若选Q 为正半定矩阵，求对应
的P 矩阵的值，并判断系统稳定性。
解：
I Q PA P A T -=-=+
令：
??????
??????
??---??????????+????????
???????????
?---1210
0103212103211210023323
13
232212
1312
11
3323
13232212
1312
11
P P P P P P P P P P P P P P P P P P =????
??????--100010001 解得： ??
??
??????-----=??????????=44131213681284
1613323
13
232212131211P P P P P P P P P P
古氏行列式：
04<-
08864246
8
84<-=--=-
0156444
13
12136
8
12
84
<-=----- 因此不定。
选 ????
??????=000010000Q 则 22
)(X QX X X V T -=-= ， 为负半定。 由等式 Q PA P A T
-=+ 解得：
?????
?????=??????????=000021
00003323
13
232212
1312
11P P P P P P P P P P 正半定。 判定系统稳定性：
2)1)(2(1210
01032
1
2
++=+-+-
-=-s s s s s A sI 三个特征值分别为：1,1,2---。因此系统不稳定。
8-16 设线性定常离散系统状态方程为，010(1)0
01()0002
x k x k k k ?????
?
+=>???????
?
，，试求使系统渐近稳定的k 值范围。 解： 令 I Q P P T
-=-=-ΦΦ
即
??
??
?
?????--=????
??????-?????
?
?????
?
??????
??????????????10001000102
100010
0102010003323
132322121312113323
13232212131211P P P P P P P P P k P P P P P P P P P k
解得： ??????
?
?
??
?
?????
--+=??????????=2223323
13
2322121312
11
412000480
001
k k k P P P P P P P P P P
若要满足题意，需令 20
4>??
k k 。因此，渐近稳定的条件为：20< 8-17 试判断下列系统的状态可控性。 (1) 221002001401x x u --???? ????=-+????????-???? (2) 110001010110x x u ????????=+???????????? (3) 12110000100101110u x x u ??????????=+???????????????? (4) 400104020011x x u -???? ????=-+???????????? (5) 11 1 11 001101x x u λλλλ???? ? ???? ???=+?????????????? (6) 11 1 11 01 0010 1x x u λλλλ???? ? ???? ???=+?????????????? 解： （1）[] ?? ?? ? ?????--==1010002102 B A AB B P c 32=<=n rankP c 该系统不可控 （2） [] ???? ? ?????==2101112102 B A AB B P c 32=<=n rankP c 该系统不可控。 （3） ???? ? ?????=211111101010201010c P n rankP c ==3 该系统可控。 （4） ???? ? ?????--=11132821641c P 32=<=n rankP c 该系统不可控。 （5） u x x ????? ? ??????+????????????=11100 00000 0001 11 1 1 λλλλ 解： [] ? ? ??? ?? ?? ???==31211 3121131211113 21113210λλλλλλλλλ λλB A B A AB B P c 矩阵不满秩，该系统不可控。 （6） u x x ????? ? ??????+????????????=11000 00001 0001 11 1 1λλλλ 解：[] ????? ?? ?? ???==312 11 31211211 13211321 03100λλλλλλλλλB A B A AB B P c 矩阵不满秩，该系统不可控。 8-18 设系统状态方程为0111x x u a b ???? =+? ???-???? ，并设系统状态可控，试求,a b 。 解： []? ? ????-==11 ab b b AB B P c 令b b a b ab P c 1 12 +≠?≠--=时，即可满足可控性条件。 8-19 设系统状态方程为 8 147)(23++++=s s s a s s G ，并设系统状态可控、可观测， 试求a 值。 解： ) 4)(2)(1(8147)(23++++=++++= s s s a s s s s a s s G ○ 1 采用可控标准型，不论为a 何值，系统总可控。 ○ 2 在任意三阶实现情况下可控，则4,2,1≠a 。 8-20 试判断下列系统的可观测性： (1) []1 22201101011110x x u y x ---???? ????=--+????????-???? = (2) []2000200311 11x x y x ????=??????= (3) 11121210000010x x y x -????-??=?? -??-?? ??=??-?? (4) []210020 0030 11x x y x ????=????-??= 解： （1）?? ????????---=??????????=050 1310112CA CA C P c n P rank c ==3 该系统可观。 （2） ?? ??? ?????=??????????=113` 41521112CA CA C P c n P rank c ==3 该系统可观。 （3） 该形式为约当标准型，直接判定，该系统可观。 （4） 该形式为约当标准型， 直接判定，该系统不可观。 8-21 试确定使系统[]1,110a x x y x b ?? ==-? ??? 可观测的.,b a 。 解： ?? ? ???--=???? ??=b a CA C P c 111 101+≠?≠+-=a b a b P c 时，于是系统可观。 8-22 已知系统动态方程各矩阵为 ?? ?? ? ?????=??????????=010010,100240231B A ， ??????=100001C 试用传递矩阵判断系统的可控性和可观测性。 解： ???? ??? ???----------=?? ?? ? ?????------=---）（4)1(00)1(2)1(0)1(2) 1(3)4)(1()4()1(1100240231) (2 21 1 s s s s s s s s s s s s s A sI 判断可控性： ?? ?? ??????----=????????????????????---=--040242 )4)(1(1010010400210234)(1s s s s s s s B A sI 令 [][][]0040242 321=-++-s a a s a 0321===a a a 所以 B A sI 1 )(--中三行向量线性无关，因此该系统可控。 判断可观性： )4)(1(1400210234 100001) (1 --???? ??????---??????=--s s s s s A sI C = ??????----42030 4)4)(1(1 s s s s 令 0420304321=?? ? ???-+??????+???? ??-s a a s a 解得 0321===a a a 。 所以，1 )(--A sI C 中三行向量线性无关，因此该系统可观测。 8-23 已知矩阵 ? ? ??? ???? ???=0001 10000100 0010 A ，试求A 的特征方程,特征值和特征向量,并求出变换矩阵，将A 约当化。 解： （1） 10 110 010001)(4-=---= -=s s s s s A sI s D （2） j ±=-==4,321 1 1λλλ ????????? ?? ?--=Λj j 1 1 （3） ????? ???????--=??? ?????????--=??? ?? ???????--=????? ???????=j j P j j P P P 1111111111114321 对角化变换矩阵 []? ??? ????? ???------==j j j j P P P P P 11111111111 143 21 ???? ? ? ??? ???------==Λ111111111111j j j j AP P 所以 P 可使A 对角化 8-24 将状态方程u x x ?? ????+??????-=114321 化为可控标准型。 解： []? ? ? ???-==7111AB B P c 所以，,2=c P rank 可控，可化为可控标准型。 ?? ? ???-=111781c P 取 []118 1 1-= P 则 ?? ? ???-=??? ?? ?-=??????=-12166211811 1 11P A P P P 验证： ?? ? ???-=??????-??????-??????-= -51010121643216211811PAP ?? ? ???=????????????-=1011621181PB 验证完毕。 故可控标准型实现对应的B A ,阵为： ?? ? ???=???? ??-=10,51010B A 8-25 已知系统传递函数为2 31 )()(2+++=s s s s U s Y ，试写出系统可控、不可观测，可观测，不可控，不可控、不可观测的动态方程。 解： ） 2)(1(1 231)()(2+++=+++=s s s s s s s U s Y 传递函数有零极点对消，因此不可控或不可观。 可控、不可观方程： U X X ? ? ? ???+???? ??--=103210 []X Y 11= 可观测、不可控方程： []X Y U X X 10113120=?? ????+??????--= 2 1 10)2)(1(1)()+++=+++=s s s s s s U s Y （ 不可控、不可观测方程： []X Y U X X 10102001=?? ????+??????--= 8-26 已知系统动态方程各矩阵为： []1134, 2301,40230326002 00001--=????? ???????=?? ????? ?? ???---=C B A 试求可控子系统与不可控子系统的动态方程。 解： [] ????? ???? ???==191471123333000011 1132B A B A AB B P c 2=c P rank 1111300113000300231330027090272110002700---???? ????-? ???==???? -? ??????? T T 10011310001110002302000001127090623033002702700320 4211 0010875162713521210 0811********--????????????-????? ?= ??????---????? ?-?????? ---????-??= ?????? TAT ????? ???????=????????????????????????---=0002727123010027009027320031100271TB [][]341010011 20033100 0011 111341 --=?? ??? ?? ?? ???--=-CT 所以，可控子系统为： []?????=?? ????+??????---+??????-=c c c c c X y u X X X 101012211675271135271080271 不可控子系统为： []?? ? ????--=??????=????????=c c c c c X Y X X X 3460293120323 8-27 系统各矩阵同题8-26，试求可观测子系统与不可观测子系统的动态方程。 解：利用9-27的对偶关系实现： [] 000134101541822808121750013510800270 271==??? ? ? ? ??????--==?? ??? ???????----=T T B C C B A 可观子系统： []?????=??????+??????-=a a a a X Y u X X 01101135108270271 不可观子系统： ?????= ??????--+??????+??????---=0346209312282175271a a a a Y U X X X 8-28 设系统状态方程为 u x x ???? ??????+??????????--=10001010110010 。说明可否用状态反馈任意配置闭环极点，若可以，求状态反馈矩阵， 使闭环极点位于,31,10j ±--，并画出状态变量图。 解： [] []??? ??===+++=+-++-++++=?? ??? ???????????????-??????????---??????????-++++=--==?? ?? ??????==1.22.14 40 241210)91010()910(40241210001010110010000000)31)(31)(10()(, 399010010901001000 3 21231232332 332 1 2k k k s s s k s k k s k s s s s k k k s s s j s j s s Bk A sI n P rank B A AB B P c c 8-29 设系统动态方程为 []x y u x x 01,100010=?? ? ???+??????= ，试设计全维状态观测器，使其极点位于)0(2,>--r r r ，并 画出状态变量图。 解： ? ? ????=???? ??=1001CA C P c ,2n P rank c ==可观，可设计全维状态观测器。 观测器系统阵： [] ?? ? ???--=????????????-??????=-010100001 10h h h h HC A 令 221021 023)2)((1)(r rs s r s r s h s h s s h h s HC A sI ++=++=++=-+= -- 解得：02 132h r h r =???=?? 8-30 设系统传递函数为 ()(1)(2)()(1)(2)(3)Y s s s U s s s s -+=+-+，判断能否利用状态反馈矩阵将传递函数变成) 3)(2(1 ++-s s s ，若有可能，求出一个满足的状态反馈阵K ，并画出状态变量图。 提示：状态反馈不改变传递函数的零点。 解： 能。 6 522 )3)(2)(1()2)(1()()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s u s y 上式无零极点对消，因此可控，可任意配置极点。 用可控标准型实现： Cx y Bu Ax x =+=; 其中： []112,100,256100010-=?? ?? ??????=??????????-=C B A 为使传递函数变为 ) 3)(2(1 ++-s s s ，需配置极点，使得 12167)3()2()(2 3 2 +++=++=s s s s s s D 令： ???? ??????--=??????????----=-71612100010 2561000 1032 1 k k k Bk A 解得： ??? ??===52118 3 21k k k 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程 第三章线性系统的时域分析方法 教学目的：通过本章学习，熟悉控制系统动态性能指标定义，掌握线性系统稳定的充要条件和劳斯判椐的应用，以及稳态误差计算方法，掌握一阶、 二阶系统的时域分析方法。 教学重点：掌握系统的动态性能指标，能熟练地应用劳斯判椐判断系统稳定性，二阶系统的动态响应特性分析。 教学难点：高阶系统的的动态响应特性分析。 本章知识结构图： 系统结构图闭环传递函数 一阶标准式 二阶标准式 特征方程稳定性、稳定域 代数判据 误差传递函数误差象函数终值定理稳态误差开环传递函数系统型别、开环增益 公式 静态误差系数 第九讲 3.1 系统时间响应的性能指标 一、基本概念 1、时域分析方法：根据系统的数学模型求出系统的时间响应来直接分析和评价系统的方法。 （1）响应函数分析方法：建立数学模型→确定输入信号→求出输出响应→ 根据输出响应→系统分析。 （2）系统测试分析方法：系统加入扰动信号→测试输出变化曲线→系统分析。 系统举例分析：举例：原料气加热炉闭环控制系统 2、分析系统的三大要点 （1）动态性能(快、稳) （2）稳态性能（准） （3）稳定性（稳） 二、动态性能及稳态性能 1、动态过程（过渡过程）：在 典型信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程。（衰减、发散、等幅振荡） 2、稳态过程：在典型信号作 用下，当t → ∞ 系统输出量表现的方式。表征输出量最终复现输入量的程度。（稳态误差描述） 3、动态稳态性能指标 图3-1温度控制系统原理图 （1）上升时间tr ：从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。 （2）峰值时间tp ：从零时刻到达第一个峰值h(tp)所用的时间。 （3）超调量δ%：最大峰值与稳态值的差与稳态值之比的百分数。（稳） （3-1） %100)(()(%?∞∞-= h h t h p ） δ 【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】 1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成 2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】 1、MATLAB/Simulink 数值分析软件 2、计算机一台 【实验原理】 1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig （A ） Cv=eig(A) 说明：V 特征向量，J 是Jordan 型，cv 是特征值列向量 2、求运动的方法 （1）利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统 采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。 （2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有： 假设初始时刻为零，LTI 系统的解析解为dt Bu e e x e t x t At At At ??+=0 )()0()(τ。若u （t ）是单 位阶跃输入，则上述解可写成dtBu e e x e t x t At At At ? ?+=0 )()0()(τ。进一步简化为： Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+= 对离散线性定常系统有： ∑---+ =1 1 )()0()(k i k k i Hu G x G k x （3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统 采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法，典型的是Runge-Ktuta 算法，其通常使用如下的函数格式： [t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。 b.参数options 为积分的误差设置，取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间围；x0是初值是初值向量；[t,x]是解。 （4）利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step （）/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应： 当系统G 是连续的情况下： 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间围和周期； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间围和周期； 当系统G 是离散的情况下: 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间围和周期一致。 另外lsim()函数调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial （）,格式：[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应 使用simulink 求取线性或非线性系统的响应，调用格式如下： [t,x,y]=sim(‘XX.mdl ’,ti:Ts:tf,options,u) 【实验容】 已知线性系统：]) (201)() (2 10)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----? 已知线性系统 1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。 信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s 自考信号与线性系统分析内部题库含答案 单项选择题。 1. 已知序列3()cos( )5 f k k π=为周期序列，其周期为 （） A ． 2 B. 5 C. 10 D. 12 2. 题2图所示 () f t 的数学表示式为 （ ） 图题2 A ．()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=+- B. ()10sin()[()(1)]f t t t t πεε=-- C. ()10sin()[()(2)] f t t t t πεε=-- D. ()10sin()[()(2)] f t t t t πεε=+- 3.已知sin() ()()t f t t dt t πδ∞ -∞=? ，其值是 （） A ．π B. 2π C. 3π D. 4π 4.冲激函数()t δ的拉普拉斯变换为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.为了使信号无失真传输，系统的频率响应函数应为 （ ） A ． ()d jwt H jw e = B. ()d jwt H jw e -= C. ()d jwt H jw Ke = D. ()d jwt H jw Ke -= 1 f( t 0 10 正弦函数 6.已知序列1()()()3 k f k k ε=,其z 变换为 （） A ． 1 3 z z + B. 1 3 z z - C. 1 4 z z + D. 1 4 z z - 7.离散因果系统的充分必要条件是 （ A ） A ．0,0)(<=k k h B. 0,0)(>=k k h C. ,0)(< 广西大学实验报告纸 【实验时间】2014年06月15日 【实验地点】(课外) 【实验目的】 1、掌握线性系统状态空间的标准型、解及其模型转换。 【实验设备与软件】 1、MATLAB数值分析软件 【实验原理】 Matlab提供了非常丰富的线性定常连续系统的状态空间模型求解(即系统运动轨迹的计算)的功能,主要的函数有 ①、阶跃响应函数step()可用于计算在单位阶跃输入和零初始状态(条件)下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应，其主要调用格式为 step(sys,t) [y,t] = step(sys,t) [y,t,x] = step(sys,t) ②、脉冲激励下的仿真函数impulse()可用于计算在脉冲刺激输入下传递函数模型的输出响应,或状态空间模型的状态和输出响应,其主要调用格式为 impulse(sys,t) [y,t] = impulse(sys,t) [y,t,x] = impulse(sys,t) ③、任意输入激励下的仿真函数lsim()可用于计算在给定的输入信号序列(输入信号函数的采样值)下传递函数模型的输出响应，其主要调用格式为 lsim(sys,u,t,x0) [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) 【实验内容、方法、过程与分析】 已知线性系统 1、利用Matlab求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。 状态响应曲线： A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2]; D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0;0;0]; % 输入初始状态 sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数 [y,x,t]=step(sys); % 绘以时间为横坐标的状态响应曲线图 plot(t,x); grid; 综合测试(三) 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1、若想使连续时间信号在通过线性非时变系统传输时，波形不会产生失真，而仅仅是延时一段时间输出，则要求系统的单位冲激响应必须满足（） A. B. C. D. 2、序列和等于（） A. 1 B. C. D. 3、连续时间信号的单边拉普拉斯变换为（） A. B. C. D. 4、下列各式中正确的是（） A． B. C.D． 5、单边Z变换对应的原时间序列为（） A．B． C．D． 6．请指出是下面哪一种运算的结果？（） A ． 左移6 B. 右移6 C ． 左移2 D. 右移2 三、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 4y ’(t) + 3y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e -2t ，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。齐次解为 y h (t) = C 1e -t + C 2e -3t 当f(t) = 2e –2 t 时，其特解可设为 y p (t) = Pe -2t 将其代入微分方程得 P*4*e -2t + 4(–2 Pe -2t ) + 3Pe -t = 2e -2t 解得 P=2 于是特解为 y p (t) =2e -t 全解为： y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1e -t + C 2e -3t + 2e -2t 其中 待定常数C 1,C 2由初始条件确定。 y(0) = C 1+C 2+ 2 = 2， y ’(0) = –2C 1 –3C 2 –1= –1 解得 C 1 = 1.5 ，C 2 = –1.5 最后得全解 y(t) = 1.5e – t – 1.5e – 3t +2 e –2 t , t ≥0 三、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e -t ，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。齐次解为 y h (t) = C 1e -2t + C 2e -3t 当f(t) = 2e – t 时，其特解可设为 y p (t) = Pe -t 将其代入微分方程得 Pe -t + 5(– Pe -t ) + 6Pe -t = 2e -t 解得 P=1 于是特解为 y p (t) = e -t 全解为： y(t) = y h (t) + y p (t) = C 1e -2t + C 2e -3t + e -t 其中 待定常数C 1,C 2由初始条件确定。 y(0) = C 1+C 2+ 1 = 2， y ’(0) = –2C 1 –3C 2 –1= –1 解得 C 1 = 3 ，C 2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t ≥0 四、如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = ，试观 )e e 1(e 2s s s s s -----)e e 1(e 2 s s s s s ----- 重庆大学信号与线性系统期末考试试题 一、填空题：（30分，每小题3分） 1. =-? ∞ ∞ -dt t t )()5cos 2(δ 。 2. ()dt t e t 12-?+∞ ∞ --δ= 。 3. 已知 f (t )的傅里叶变换为F (j ω), 则f (2t -3)的傅里叶变换为 。 4. 已知 6 51 )(2 +++= s s s s F ，则=+)0(f ; =∞)(f 。 5. 已知 ω ωπδεj t FT 1 )()]([+=，则=)]([t t FT ε 。 6. 已知周期信号 )4sin()2cos()(t t t f +=，其基波频率为 rad/s ； 周期为 s 。 7. 已知 )5(2)2(3)(-+-=n n k f δδ，其Z 变换 =)(Z F ；收敛域为 。 8. 已知连续系统函数1342 3)(2 3+--+= s s s s s H ，试判断系统的稳定性： 。 9．已知离散系统函数1.07.02 )(2+-+=z z z z H ，试判断系统的稳定性： 。 10．如图所示是离散系统的Z 域框图，该系统的系统函数H(z)= 。 二．(15分)如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ?????==+=++-- 5 )0(',2)0() (52)(4522y y t f dt df t y dt dy dt y d 已知输入 )()(2t e t f t ε-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应 )(t y zs 和零输入响应)(t y zi ，0≥t 以及系统的全响应),(t y 0≥t 。 三．（14分） ① 已知2 36 62)(22++++=s s s s s F ,2]Re[->s ,试求其拉氏逆变换f (t )； ② 已知) 2(2 35)(2>+-=z z z z z X ，试求其逆Z 变换)(n x 。 四 （10分）计算下列卷积： 1. }1,0,6,4,3{}4,1,2,1{)()(21--*=*k f k f ； 2． )(3)(23t e t e t t εε--* 。 第九章线性系统的状态空间分析与综合 一、教学目的与要求： 通过本章内容的学习，使学生建立起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据方法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。 二、授课主要内容： 1．线性系统的状态空间描述 2．线性系统的可控性与可观测性 3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建立方法与其他数学描述（微分方程、 传递函数矩阵）之间的关系。 2.掌握采用状态空间表述的系统运动分析方法，状态转移矩阵的概念和求解。 3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间 的对偶性。 4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构 造能控、能观测标准形的线性变换方法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解方法。 5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计方法，理解分离 定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。 重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。 四、主要外语词汇 线性系统 linear system 状态空间 state space 状态方程 state equation 状态向量 state vector 传递函数矩阵 translation function matrix 状态转换矩阵 state-transition matrix 可观测标准形 observational standard model 可控标准形 manipulative standard model 李亚普诺夫方程Lyaponov equation 状态观测器 state observation machine 对偶原理 principle of duality 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输入变量、输出变量各指什么？ 2．通过机理分析法建立系统状态空间模型的主要步骤有哪些？ 3．何为多变量系统？如何用传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？ 在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。 5．用非奇异矩阵P对状态方程式进行线性状态变换后，与原状态方程式之间存在什么关系？ 6．试简述系统能控性与能观性两个概念的含义及意义。 7．试述能控性和能观性定义。 8．试述系统能控性和能观性常用判据。 9．何谓对偶系统和对偶原理？ 10．什么是状态方程的线性变换？ 11．试述系统状态方程规范型变换的条件、特点及变换的基本方法。 12．试述状态能控性与能观性和系统传递函数（阵）的关系。 七、参考教材（资料） 1．《自动控制原理与系统》上、下册清华大学吴麒等国防工业出版社 2006-2007学年第二学期《信号与线性系统》（课内）试卷A 卷 一、计算题（共45分） 1.（5分）计算积分dt t t t )6 ()sin (π δ- +?+∞ ∞-的值。 2.（5分）绘出函数)1()]1()([-+--t u t u t u t 的波形图。 3.（6分）已知)2()()(),1()()(21--=--=t u t u t f t u t u t f ，求卷积)()(21t f t f *。 4.（6分）若)(t f 的傅里叶变换已知，记为)(ωF ，求)1()1(t f t --对应的傅里叶变换。 5.（6分）如下图所示信号，已知其傅里叶变换，记为)(ωF ， 求： （1）)0(F ； （2）?+∞ ∞ -ωωd F )(。 6.（5分）已知)(t f 对应的拉氏变换为)(s F ，求)/(/a t f e a t -（0>a ）对应的拉氏变换。 7.（6分） 已知)(t f 对应的拉氏变换2 3)(2 +-=-s s e s F s ，求)(t f 8．（6分）线性时不变系统的单位样值响应为)(n h ，输入为)(n x ，且有 )4()()()(--==n u n u n x n h ，求输出)(n y ，并绘图示出)(n y 。 二、综合题（共计55分） 1、（10分）系统如图所示，已知t t x 2000cos )(=，t t t f 2000cos 100cos )(=，理想低通滤波器)300()300()(--+=ωωωu u H ，求滤波器的响应信号)(t y 。 x(t) y(t) f(t) 1 / 257 信号与线性系统课后答案 第一章 信号与系统（一） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=- t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）) ()sin()(t t t f επ= 2 / 257 （4）)(sin )(t t f ε= （5）) (sin )(t r t f = 3 / 257 （7）)(2)(k t f k ε= （10）) (])1(1[)(k k f k ε-+= 4 / 257 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1） ) 2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε 5 / 257 （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） ) 2()2()(t t r t f -=ε 实验二 线性系统时域响应分析 一、实验目的 1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。 2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 （一）基础知识 时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。 用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。 1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应 1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有： step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线 随即绘出 step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如 t=0:0.1:10） [y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量 在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。 考虑下列系统： 25 425 )()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 第九章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为 b a a a a a E t d di L i R u ++=，t d d K E m b b θ=，a m m i C M =，t d d f t d d J M m m m m m θθ+=2 2； )] ()([)()(2 m b m a a m m a m a m a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ。 ⑴ 设状态变量m x θ=1，m x θ&=2，m x θ&&=3，输出量m y θ=，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量a i x =1，m x θ=2，m x θ&=3，输出量m y θ=，试建立其动态方程； ⑶ 设x T x =，确定两组状态变量间的变换矩阵T 。 解：⑴ 由传递函数得 a m a m m a m b m a m a u C x R J f L x C K f R x J L ++-+-=323)()(&，动态方程为 []x y u x x x x x x 001100010001032121321=??????????+????????????????????--=??????????αα&&&，其中)/()()/()()/(21m a a m m a m a m b m a m a a m J L R J f L J L C K f R J L u C u +=+==αα； ⑵ 由微分方程得 3 133 2311x f x C x J x x u x K x R x L m m m a b a a -==---=&&&，即 []x y u x x x a a a a x x x a 0200010100032133311311321=???? ? ?????+?????????????????? ??=??????????&&&，其中 m m m m a b a a J f a J C a L K a L R a ////33311311-==-=-=； ⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到???? ? ???????????????=??????????3213331 321010001 0x x x a a x x x 。 9-2 设系统的微分方程为 u x x x =++23&&& 其中u 为输入量，x 为输出量。 ⑴ 设状态变量x x =1，x x &=2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211x x x +=，2122x x x --=，试确定变换矩阵T 及变换后的动态方程。 解：⑴ u x x x x ??????+????????????--=??????1032102121&&，[]?? ????=2101x x y ； ⑵ ??????=??????2121x x T x x ，??????--=2111T ；?? ????--=-11121 T ；AT T A 1-=，B T B 1-=，CT C =； 得，? ?????--=2111T ；u x x x x ?? ????-+????????????-=??????1110012121&&，[]??????=2111x x y 。 9-3 设系统的微分方程为 u y y y y 66116=+++&&&&&& 其中u 、y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A 为友矩阵)及可观标准型(即A 为友矩 阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 课程名称 信号与线性系统A 考试学期 08-07 得分 适用专业 微电、物理、 考试形式 闭卷 考试时间 120分钟 姓名 班级 学号 一、选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入[ ]内） 1．f （5-2t ）是如下运算的结果————————（ C ） （A ）f （-2t ）右移5 （B ）f （-2t ）左移5 （C ）f （-2t ）右移 2 5 （D ）f （-2t ）左移25 2．已知)()(),()(21t u e t f t u t f at -==，可以求得=)(*)(21t f t f —————（ C ） （A ）1-at e - （B ）at e - （C ）)1(1at e a -- （D ）at e a -1 3．线性系统响应满足以下规律————————————（AD ） （A ）若起始状态为零，则零输入响应为零。 （B ）若起始状态为零，则零状态响应为零。 （C ）若系统的零状态响应为零，则强迫响应也为零。 （D ）若激励信号为零，零输入响应就是自由响应。 4．若对f （t ）进行理想取样，其奈奎斯特取样频率为f s ，则对)23 1 (-t f 进行取 样，其奈奎斯特取样频率为————————（B ） （A ）3f s （B ） s f 31 （C ）3（f s -2） （D ）)2(3 1 -s f 5．理想不失真传输系统的传输函数H （jω）是 ————————（B ） （A ）0j t Ke ω- （B ）0 t j Ke ω- （C ）0 t j Ke ω-[]()()c c u u ωωωω+-- （D ）00 j t Ke ω- （00,,,c t k ωω为常数） 6．已知Z 变换Z 1 311 )]([--= z n x ，收敛域3z >，则逆变换x （n ）为——（ A ） （A ）)(3n u n （C ）3(1)n u n - （B ）)(3n u n -- （D ）)1(3----n u n 第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）) ()sin()(t t t f επ= （ 4）)(sin )(t t f ε= （5）) t f= r ) (sin (t （7）) f kε = t ) ( 2 (k （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε 第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。 （2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈:。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题 系统结构如题图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系 2012-2013学年第二学期《信号与线性系统》（课内）试卷A 卷 一、计算题（共45分） 1.（5分）计算积分dt t t t )6 ()sin (π δ- +? +∞ ∞ -的值。 2.（5分）绘出函数)1()]1()([-+--t u t u t u t 的波形图。 3.（6分）已知)2()()(),1()()(21--=--=t u t u t f t u t u t f ，求卷积)()(21t f t f *。 4.（6分）若)(t f 的傅里叶变换已知，记为)(ωF ，求)1()1(t f t --对应的傅里叶变换。 5.（6分）如下图所示信号，已知其傅里叶变换，记为)(ωF ， 求： （1）)0(F ； （2）? +∞ ∞ -ωωd F )(。 6.（5分）已知)(t f 对应的拉氏变换为)(s F ，求)/(/a t f e a t -（0>a ）对应的拉氏变换。 7.（6分） 已知)(t f 对应的拉氏变换2 3)(2+-=-s s e s F s ，求)(t f 8．（6分）线性时不变系统的单位样值响应为)(n h ，输入为)(n x ，且有 )4()()()(--==n u n u n x n h ，求输出)(n y ，并绘图示出)(n y 。 二、综合题（共计55分） 1、（10分）系统如图所示，已知t t x 2000 cos )(=，t t t f 2000cos 100cos )(=，理想低通滤波器)300()300()(--+=ωωωu u H ，求滤波器的响应信号)(t y 。 y(t) f(t) 第一章线性系统的状态空间描述 1.内容 系统的状态空间描述 化输入—输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换 组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵 2.基本概念 系统的状态和状态变量 状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组 状态变量：构成系统状态的变量 状态向量 设系统状态变量为X i(t),X2(t)厂，X n(t)写成向量形式称为状态向量，记为 _X i (t) x(t)= _X n(t) 状态空间 状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间 状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条 轨迹。 3. 状态空间表达式 设系统r 个输入变量：U i (t ),u 2(t )^ ,u r (t ) m 个输出：yQM), ,y m (t) n 个状态变量：X i (t),X 2(t), ,X n (t) 例：图示RLC 电路，建立状态空间描述 i L C 电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量, 方程为 如图中所注, L di L (t) dt Ri L (t) U c (t) =u(t) C 沁 “L (t) dt X i (t)二 L(t), X 2(t)二 U c (t) 二 LX i (t) RX i (t) X 2(t)二 u(t) Cx (t)二 X (t) N(t) - R/L 殳⑴门1/C 0 匚X 2(— O u(t) U c 输出方程 一般定义 状态方程：状态变量与输入变量之间的关系 dX i (t) dt = X i (t)二 f i 〔X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t);tl dX 2(t) dt = X 2(t)二 f 2'X i (t),X 2(t)^ ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 】 dX n (t) dt 二 X n (t)二 f n 〔X i (t),X 2(t), ^⑴小⑴心⑴,,U 「(t)；t 】 用向量表示，得到一阶的向量微分方程 x(t)二 f 'X(t),u(t), t 1 其中 X i (t) U ](t) fQ) “、 X 2(t) - U 2(t) . f 2(?)?Qn X(t) - c R ,u(t)戶；c R , f (?) ^^ ： c R N(t) 一 JU r (t) 一 -f n (叽 输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即 %(t)二 g i X i (t),X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t ] y 2(t)二 g 2 X i (t), X 2(t), ,X n (t)；U i (t),U 2(t), ,U r (t)；t 〔 y(t)二 ％(t)二 1 01 X i (t) 殳(t).线性系统的时域分析法(第七讲)
线性系统的时域分析方法
线性系统状态空间分析报告与运动解
信号与系统期末考试试题(有答案的)
自考信号与线性系统分析内部题库含答案
实验25线性系统状态空间分析和运动解
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信号与系统期末考试试题
线性系统的状态空间分析与综合
《信号与线性系统》期末试卷
信号与线性系统分析习题答案
自动控制原理》实验2(线性系统时域响应分析
第九章 线性系统的状态空间分析与综合习题
信号与系统期末试题与答案
信号与线性系统分析习题答案-(吴大正-第四版--高等教育出版社)
线性系统的时域分析习题答案
《信号与线性系统》期末试卷要点
线性系统的状态空间描述