分离变量法解高考压轴导数题

分离参数法解高考压轴题

新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。

一 洛必达法则介绍

如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim 0x g x f x x →或)

()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞

∞． 1．（洛必达法则1）

00 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件

（1）0)(lim )(lim 0

0==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；

（3） A x g x f x x =''→)

()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．

2（洛必达法则2） ∞

∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件

（1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0

0x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；

（3）A x g x f x x =''→)

()(lim 0（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)

()(lim )()(lim 00（或为无穷大） 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立．

二 典型例题:

例1．（08江苏理14）

设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥

- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12??????

上单调递减，因此()max 142g x g ??

== ???

，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x

-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4

【答案】4

例1 （2010 辽宁）已知函数1ln )1()(2

+++=ax x a x f

（I ）讨论函数)(x f 的单调性；

（II ）设1-

a ax ax x a x f 1221)(2++=++='. 当0≥a 时，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增；

当1-≤a 时，0)(<'x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递减；

当01<<-a 时，令0)(='x f ，解得a

a x 21+-=.