平面直角坐标系教材分析

第六章平面直角坐标系教材分析

大连市37中包金荣 2011年3月5日

1．内容和内容解析

内容：直角坐标系是（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书`·数学》七年级上册第六章的内容。主要内容包括平面直角坐标系的有关概念，点与坐标的对应关系（坐标为整数）用坐标表示地理位置及坐标平移等。

2、内容解析

“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，它的建立使代数的基本元素(数对)与几何的基本元素(点)之间产生一一对应，数发展成式、方程与函数，点运动而成直线、曲线等几何图形，实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合、互相转化的理论基础。因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具，体现数形结合思想。正因为如此，在中学数学中引入直角坐标系对理解函数的两个变量对应的核心概念有着至关重要作用，也是今后研究一些具体函数，如：画函数图象、观察图象的性质、探究函数与方程及不等式之间的关系、解有关复杂的方程组（例如二元一次方程组的图像解法）以及高中数学中函数研究如对数函数、指数函数即解析几何的研究都是以直角坐标系为重要的工具的。

本章为了用直角坐标系突出对应的思想还对直角坐标系的两个重要应用，即用坐标表示地理位置和平移进行了研究。

如用坐标表示地理位置时用经纬度表示地球上一个地点的地

理位置，是坐标与点一一对应思想的表现．从而建立坐标系用

坐标表示地理位置的问题，也使学生体会了坐标思想在解决实

际问题中的作用。

用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换这些基本性质进行论证，以一个动态的、发展的观点，研究在

平面直角坐标系中平移变换的坐标特点。也为后续学习利用平

移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴

对称、相似等）进行图案设计等打下基础．

本章重点：平面直角坐标系的相关概念及应用

2、目标和目标解析；

1．通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用；

2．认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定

的直角坐标系中，能根据坐标（坐标为整数）描出点的位置，

能由点的位置写出点的坐标（坐标为整数）；

3．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用；

4、在同一坐标系中，能用坐标表示平移变换，通过研究平移与坐标的关系看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换。让学生探究将几个已知坐标的点上、下、左、右的平移后得到新的点，通过探究发现并总结各对应点之间的坐

标有怎样的变化规律。使学生经历一个由特殊到一般的归纳过程。并让学生在坐标系中结合图形的变换理解这些结论（而不是死记硬背），从而教会学生学会学习。

5、通过将数学问题加上一个有趣的背景，例如关于点与坐标对应关系的问题，“三架飞机P、Q、R保持编队飞行，30秒后，飞机P 飞到P位置，用坐标表示动画制作过程中小鸭子的位置变化等。更符合学生的年龄特点，激发学生学习数学的兴趣，充分体现情与知的交融。

3、教学问题诊断分析

怎样引入直角坐标系是本章的难点：为突破此难点我是这样

做的：

（1）从实际出发，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，经历了一个由实践—理论—实践的认识过程，这样比较符合

学生的认知规律。

如教学中可以就本章编写的首先从建国50周年庆典中的背景图案、确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生

座位的位置等实际出发，引出有序数对，进而引入平面直角

坐标系．不仅让学生充分感受平面直角坐标系与实际问题的

联系。还可以结合班级实际让学生参与根据学生在教室的座

位报数，从而提高学生的学习兴趣和参与的积极性。

（2）运用类比法突出知识间的相互联系，使学生对知识有全面的感知。

对于平面直角坐标系的引入，教科书首先从学生熟悉的数轴出发，给出点在数轴上的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，在此基础上，类比数轴，探讨在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，给出平面直角坐标系的有关概念．这样通过加强平面直角坐标系与数轴的联系，可以帮助学生更好地理解点与坐标的对应关系，顺利地实现由一维到二维的过渡，从而突破难点。

4．教学支持条件分析（根据需要设置）

为了有效实现教学目标，根据教学内容的特点以及学生学习的需要，本节课应合理有效的利用组合教学媒体，使深奥的知识变得浅显易懂。

平面直角坐标系（第一课时）教学设计

大连市37中包金荣 2011年3月5日

一、内容和内容解析

内容：直角坐标系（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书`·数学》七年级上册第六章第一节第一课时）。

内容解析

“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，它的建立，使代数的基本元素(数对)与几何的基本元素(点)之间产生一一对应，数发展成式、方程与函数，点运动而成直线、曲线等几何图形，实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合、互相转化的理论基础。因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具。直角坐标系的基本知识是学习全章学习的基础，也对以后理解函数的概念，明确对应的核心思想有着至关重要作用，同时也是研究一些具体函数图象的性质，画函数图象的重要工具。因此在中学数学中直角坐标系也是研究函数的重要基础。例如：高中数学都要借助直角坐标系画出图象，如对数函数、指数函数。因此也是研究解析几何的基础。

教材教法及学法：

教法：新课程标准指出：“展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉．”遵循新课标的这一理念，我在围绕了本节课教学目标的基础上

主要分为四个阶段：1、学生观察思考：对实际问题：从通

过背景图案的组成生活中的实际例子引出有序实数对、理解

有序实数对，让学生的独立思考中体会实际问题抽象成数学

问题的方法。

2、学生讨论：类比数轴——尝试建系，一个点可以用一个

坐标来表示，而坐标可以在数轴上找到点，正如新课标指出：

数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经

验基础上。通过实际问题位置的探究引入用直角坐标系感念

使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会

学”

3、学生动手操作，在介绍概念时通过亲自画、动手实践中体会直角坐标系的有关概念。如：不同的点用不同的有序实数对表示，点的变化会引起数的变化，反过来数的变化可以引起形的变化。这种形与数对应渗透了着数形结合思想和对应的思想。

4、反馈后给学生增加3个数学活动体验，鼓励学生积极参与。在体验中进一步理解点与有序实数对的意义及它们的对应关系，提高学生对坐标系的实际应用重要性认识。

二、目标和目标解析

目标

1、使学生了解平面直角坐标系的产生过程；理解直角坐标系的

相关概念。

2、会正确画出平面直角坐标系；使学生会在平面直角坐标系中，

由点求坐标，由坐标描点。

目标解析：

1、知识目标

认识平面直角坐标系，知道到点的坐标及象限的含义。

能在平面直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，能将点用一对有序实数来表示。发展学生的数形结合意识、培养学生细致认真的学习习惯。

2、能力目标

通过探究、类比、归纳、理解坐标系平面中的点的表示，掌握平面直角坐标系有关知识，培养学生观察、归纳总结的能力.

3、情感目标

通过探索活动，让学生进一步感受“数形结合”的数学思想，感受“类比”和“坐标”的思想，体验将实际问题数学化的过程与方法。通过介绍数学家的故事，渗透理想和情感的教育。

教学重点和难点

平面直角坐标系的有关概念，根据点的位置写出点的坐标，由点的坐标描出点的位置，既是本节的重点又是本节的难点。

三、教学问题诊断分析

引入直角坐标系概念时很容易出现障碍。在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，学生只要理解有序实数对才会对点与坐标的对应有更深的理解。因此我认为：（1）有序实数对的概念引入——从实际问题开始；

（2）不同的有序实数对可以代表不同的坐标、不同的点——可以让学生座位举例

（3）由于直角坐标系是互相垂直的，因此有点找坐标、就要通过做垂直坐标轴来找。相关的上位概念主要是数轴、坐标等概

念。

（4）直角坐标系的建立是与数轴类比得到的。在学习直角坐标系之前，学生接触过数轴，并会由数描点、由点找数。在此基础上直角坐标系中的描点，使学生的思维经历了一个飞跃的过程，符合建构主义认识论，也使学生的知识是在螺旋式上升。

难点：⑴平面直角坐标系产生的过程的引入。

⑵教材中概念多，较为琐碎。如平面直角坐标系、坐标轴、坐标原点、坐标平面、象限、点在平面内的坐标等概念及其特征等等。

教学知识条件分析：为了提高课堂教学的效益，本节课将借助于多媒体课件与实物投影仪进行教学。

四、教学过程设计

1．创设情境，导入新课

引言：现在我找找6名学生排成一排，问其中一位同学，你排在

第几，你是怎么确定的。

学生回答出一个数（第几）

（设计意图：将数轴上点的坐标的概念学习置于具体的问题情境

中。）

师：把你看成一个点，只要与这个数对应就可以找到你啦。说明

一条直线上的点可以用一个数来表示。这和我们学过数轴道理一样，

数轴上的点可以用一个数来表示，反过来一个数可以在数轴上找到

点。也就是说如果我们画一条数轴，这样数轴上的点的位置与坐标之

间就建立了对应关系．

（设计意图：学生可以以其中的一人为基准进行描述，其目的是

为数轴上的点的坐标的确定做准备，感受数形结合）。

2．探索新知，尝试发现

问题1、学生回到座位后教师继续问怎么来说明你在教师的位置。你认为需要几个数能确定一个位置。

学生讨论：

学生说：在教室的5牌3列，

问题2：如果把你当做一个点，由5和3就可以决定你的位置了，这就是有序实数对。那么3排5列的同学是谁那？请站起来

同学们发现，都是由3和5两个数组成，由于顺序不同他们的位置也不同，就是说平面上的点由唯一对有序实数对决定的。

问题3、以上位置能否用图形形象表示（教师画一个矩形表示教室，用小方框代替学生，画出自己的位置）

学生讨论动笔比画出来，互相评价）

设计意图：通过身边熟悉的例子，引导学生讨论，发现一对数才能确定平面上的点。反过来平面上的点可以有一对数决定，又通过作图又为后续直角坐标系的引入奠定了基础。

说明：部分学生在回答问题3时可能会出现认知障碍，教师可以借助多媒体启发学生由特殊到一般寻找规律。对于学生回答不完整、表述不准确的地方，教师及时予以补充和纠正。

（1）请学生们说出生活中应用有序数对确定位置的例子. 简单举例(如棋盘、电影院等). （感受位置确定就在自己身边，体会数学源于生活.）

问题4：学生讨论，现在如果你站在一个长方形的操场上，请用画图方法找到你的位置。

(：设计意图：两个问题的安排有一定的层次性，受上述方法的启发，为了确定平面内点的位置，我们可以画一些纵横交错的直线，便于标记每一条直线的顺序，我们又可以以其中的两条为基准.为步引出平面直角坐标系作铺垫)。

教师讲故事，激发兴趣。300多年前，法国数学家笛卡尔受到有序数对的启发，提出用坐标方法确定点的位置，科学家向前跨出的一小步，使数学史向前跨出了一大步，今天让我们踏着先人的足迹首先学习“平面直角坐标系”.

（设计意图：介绍历史，激发兴趣，早在十七世纪，法国数学家笛卡尔就发现）笛卡尔设想将几何问题数量化，从而使其变成一个代数问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的，

（二）、探究新知，构建模式

1、平面直角坐标系的概念

（学生看书阅读）

找一名学生在黑板上画图（见教材第4１页图6.1-4)，其他学生在练习本上尝试画直角坐标系、x轴（或横轴）,y轴（或纵轴）、原

点。（教师补充：在一般情况下，两条坐标轴所取的单位长度是一致的）．

设计意图：让学生感受坐标系的画法，从而掌握直角坐标系的画法而加深直角坐标系的理解

2、点的坐标

问题：如何由点找坐标哪？（教师出示幻灯片让学生观察找点办法）

学生操作：如下图，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，其中3是横坐标，4是纵坐标．

教师强调：有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开。尝试：请在图1中写出点B、C、D的坐标。

设计意图：这一步是教学中的难点，教师一方面应强调点的坐标的书写规范，另一方面也必须安排一定的练习时间。

3、坐标轴上点的坐标

问题：（1）在图2的平面直角坐标系中，你能分别说出点A，B，C，D的坐标是什么吗？

（2）从上面的练习中你有什么发现？原点O的坐标是什么？x轴和y 轴上的点的坐标有什么特点？

在这里教师必须再次强调点的横坐标写在前面，纵坐标写在后面的坐标写法。

（设计意图：先学一般点的坐标，再来探究特殊点的坐标，这样安排符合学生的学习规律，也更容易使学生理解和掌握。）

（四）、巩固练习，形成技能

结合本节课的教学重点，设计两条例题：①由坐标描点；②由点求坐标。

例1、在直角坐标系中，描出下列各点A(4，2)，B(2，4)，C(-3，5)，D(-4，-3)，E(0，-3)，F(-5，0)。

解：见图3

例2、填空题：在括号内填入图4中A，B，C，D，E，F各点的坐标

A( ，)，B( ，)，C( ，)，D( ，)，E( ，)，F( ，)。

答：A(-5，4)，B(-4，-3)，C(3，-4)，D(5，2)，E(0，2)，F(-3，0)。

教学中应该注意的问题：关于坐标平面的结构，注意两条坐标轴不属于任何象限；要注意点的坐标是有序实数对，如点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3，2)和B(2，3)表示两个不同的点。一定要横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，不能颠倒。

（五）变式训练、交流活动

活动1、43页教材上探究──让学生建立不同的坐标系，发现其正方形顶点坐标将发生变化。

（设计意图：为下节课学习如何建立坐标系表示地理位置等内容作准备）

活动2、“标点”与“报坐标”比赛，任意叫两位学生走上讲台：一位报坐标，另一位标出相应点所在的位置；反过来，一位指点，另一位报出相应的坐标，看谁既快又正确。

活动3、对教室里学生座位建立平面直角坐标系，如第三排向右方面为X轴正方向，第三列向前为Y轴正方向。让学生说出自己与别人的坐标，反之，报坐标，相应的学生站起。

（活动2、3设计意图：进一步理解点与有序实数对的意义对应关系）

活动4、让学生相互交流这节课的收获，再请学生代表发言，然后教师归纳总结。

（六）、反馈练习

1.说出各点所在象限或坐标轴：

(1，8)， (-3，-5)，(0，4)，(-2，4)(-2，0)，(1，-2).

2、加强练习

选择题：若ab=0，P(a,b)所在位置( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

E.x轴上

F.y轴上

G.原点H.坐标轴上

（七）、总结归纳

1、平面直角坐标系的作用；

2、平面直角坐标系的有关概念；

3、已知一个点，如何确定这个点的坐标；

（设计意图：进行知识和方法的归纳）

（八）、布置作业

1、必做题：教材第50页习题6.1第3，4题．

2、思考如何确定空间中一个点的位置，提出方案并相互交流。

（九）、目标检测设计

基础练习：1．点P（3，2）在第_______象限．

2．如图，矩形ABCD中，A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为_____．

3．以点M（-3，0）为圆心，以5为半径画圆，分别交x轴的正半轴，负半轴于P、Q两点，则点P的坐标为_______，点Q的坐标

为_______．

4．已知x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）

A．（3，0） B．（0，3） C．（0，3）或（0，-3） D．（3，0）或（-3，0）

5．在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．如图，在所给的坐标系中描出下列各点的位置：

A（-4，4） B（-2，2） C（3，-3） D（5，-5） E（-3，3） F （0，0）你发现这些点有什么关系？你能再找出一些类似的点吗？（及时了解目标达成情况）

综合

7．（综合题）在如图所示的平面直角坐标系中描出A（2，3），B（-3，-2），?C（4，1）三点，并用线段将A、B、C三点依次连接起来，你能求出它的面积吗？

（设计意图：让有能力的学生进一步发展）

（十）、教学反思

本教学设计立足于问题情境的创设，将原本枯燥的平面直角坐标系赋予一定的现实意义，在实际问题中学习知识，力求避免空洞的说教；立足于知识的发现和发展，让学生能在气种自然而然的情境中理解建立平面直角坐标系的必要性，应用平面直角坐标系去分析和解决问题；立足于知识和情感的教育，在知识教学的同时，结合数学家的故事及时地对学生进行理想教育，同时在本设计中还力求体现学生探究能力的培养，通过一个个问题的设计，一步一步地引导学生进行探究及自主地进行学习，并及时地加以总结和反馈，尝试从多角度去体现新课程的教学理念．

本节课主要放在直角坐标系概念及有序实数对在四个象限点

的坐标的表示方法，所以本节从定义、简单练习、观察特点、再练习

的角度设计，分散难点。对于坐标系的产生过程，是本节课的难点，可采用探索发现法，即通过让学生在合作交流互相帮助，互补短长，在归纳探索中提高分析问题、解决问题的能力；对于坐标系的相关概念，由于其难度不大，且较为琐碎，学生完全有能力完成阅读，因此可采用指导阅读法；为了加深对坐标与点关系的内在特点的理解. 吸引学生的好奇心，本节尽量利用贴近生活的课程资源，让学生在亲自操作，反复描点，使学生从不同侧面练习写已知点的坐标，发现坐标特点。

在这节课的设计过程中，存在一些困惑。本节课注重了知识的产生发展过程，又有意识地渗透了一些数学文化，因此占用的时间较多，因此学生巩固训练的时间相对偏少。那么如何将这两者有机地整合处理好，在以后上课时要语言在精练些、注意把握时间，克服头重脚轻的安排时间的弊病。