平面向量与空间向量知识点对比
平面向量与空间向量知识点对比
内容
平面向量
空间向量
定义
既有大小，又有方向
既有大小，又有方向
表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a |表示
零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量
相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA
夹角范围 0≤θ≤π
0≤θ≤π
数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a.
空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a.
共线向量定理
向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量()
0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=
向量共线
（共面） 向量(
)
0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=
向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使
b y a x p +=
点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线
OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四
点共面
数量积
θcos b a b a
?=?
θcos b a b a
?=?
运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律
向量的运算
线性运算坐标运算线性运算坐标运算
加法
三角形法则:首尾相连首尾连；例
如：AC
BC
AB=
+
平行四边形法则：同起点，对角线
()
2
1
2
1
,y
y
x
x
b
a+
+
=
+
三角形法则:首尾相连首尾
连；例如：AC
BC
AB=
+
()
2
1
2
1
2
1
,
,z
z
y
y
x
x
b
a+
+
+
=
+
减法
三角形法则:同起点，连终点，指
向被减向量；例如：CB
AC
AB=
+
()
2
1
2
1
,y
y
x
x
b
a-
-
=
-
三角形法则:同起点，连终点，
指向被减向量；例如：
CB
AC
AB=
+
()
2
1
2
1
2
1
,
,z
z
y
y
x
x
b
a-
-
-
=
-
数乘
倍的向量
的
），长度为
或者相反（
）
方向相同（
表示与
x
a
x
x
a
a x
<
>
()
1
1
,y
x
aλ
λ
λ=
倍的向量
的
），长度为
或者相反（
）
方向相同（
表示与
x
a
x
x
a
a x
<
>
()
1
1
,y
x
aλ
λ
λ=
数量积
模
夹角
平行
1221
//0
a b a b x y x y
λ
?=?-=
2
1
2
1
2
1
,
,
//z
z
y
y
x
x
b
a
b
aλ
λ
λ
λ=
=
=
?
=
?
cos
a b a bθ
?=cos
a b a bθ
?=
1212
a b x x y y
?=+
121212
a b x x y y z z
?=++
1122
(,)(,),
a x y
b x y
==
若，则有
111222
(,,)(,,)
a x y z
b x y z
==
若，，则有
a a a
=?22
11
a x y
=+a a a
=?222
111
a x y z
=++ cos
a b
a b
θ
?
=1212
2222
1122
cos
x x y y
x y x y
θ
+
=
++
cos
a b
a b
θ
?
=121212
222222
111222
cos
x x y y z z
x y z x y z
θ
++
=
++++
(0)
a b b
λ
=≠111222
222
x y z
x y z
x y z
==≠
（）
(0)
a b b
λ
=≠
11
22
22
x y
x y
x y
=≠
（）
垂直
向量的正交分解及坐标表示
()y x j y i x a ,=+=
()z y x k z j y i x a ,,=++=
坐标运算 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --= 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()121212,,z z y y x x AB ---=.
常用结论
22a a =
a b ?=12120
x x y y +=0
a b ?=1212120
x x y y z z ++=