不等式与不等式组(知识总结-试题和答案)
初中精品数学精选精讲
学科:数学任课教师:授课时间:年月姓名年级课时
教学课题不等式与不等式组
教学目标
(知识点、考点、能力、方法)知识点:不等式及性质,一元一次不等式,一元一次不等式组。
考点:不等式的解集,一元一次不等式及一元一次不等式组的解法,列一元一次不等式组解实际问题。
能力:能判断及解不等式组及不等式组,通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质。
方法:了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念;然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、
难点
重点
一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式(组)
课堂教学过程
课前
检查
作业完成情况:优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦
不等式与不等式组
1.熟悉知识体系
2.不等式与不等式组的概念
不等式:用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子,叫做不等式。
不等式组:几个不等式联立起来,叫做不等式组.(注意:当有A
3.一元一次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是一次,这样的不等式,叫做一元一次不等式.4.不等式的基本性质:
性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变2.
5.解不等式组
解不等式组,可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集,然后分别在数轴上表示出来。
(1) 求出不等式组中每个不等式的解集
(2) 借助数轴找出各解集的公共部分
(3) 写出不等式组的解集
求公共部分的规律:大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无解.
以两条不等式组成的不等式组为例,
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集,此时一般表示为a ④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。此乃“向背取空 6.类比一元一次方程解一元一次不等式 例如:解下列方程和不等式: 131222+-=+x x ;13 1222+-≥+x x 解: 3(2+x)=2(2x -1)+6 1、去分母: 解:3(2+x)≥2(2x-1)+6 6+3x =4x -2+6 2、去括号: 6+3x≥4x -2+6 3x -4x =-2+6-6 3、移项: 3x -4x≥-2+6-6 -x =-2 4、合并同类项: -x≥-2 x =2 5、系数化为1: x≤2 ∴x =2是原方程的解 ∴x≤2是原不等式的解集。 注意:解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同,但是要注意步骤1和5,如果乘数或除数是负数时,解不等式时要改变不等号的方向。 7.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集. 8.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤: (1) 审题;(2)设未知数;(3)根据不等关系列不等组;(4)解不等式组;(5)检验并作答。 二、经典例题讲解 【例1】(1)下列不等式组中,是一元一次不等式组的是( ) ? A. ???-<>32x x B. ???<->+0 201y x ? C. ? ??>+->-0)3)(2(023x x x D. ???>+>-x x x /11023 (2)下列说法正确的是( ) ? A. x=4不是不等式2x >7的一个解 ? B. x=4是不等式2x >7的解集 ? C. 不等式2x >7的解是x >4 ? D. 不等式2x >7的解集是x >3 【例2】(1)如果b a >,你能很快说出下面各式的解集吗? ???< ??<>b x a x ???<>b x a x ???> ? A. B. ? C. D. 【例3】(1)不等式组? ??<-<-03321x x 的解集是 。 (2)不等式3253<-≤-x 的正整数解是 。 【例4】解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来 (1)2x -1≥0 (2)4<1-3x <13 【例5】解下列不等式组 (1)21241x x x x >-??+<-? (2)253(2)12 3x x x x +≤+??-?? 【例6】(广东茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养,已知甲种小鸡苗每只2元,乙种小鸡苗每只3元. (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元,求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只? (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元,问:应选购甲种小鸡苗至少多少只? (3)相关资料表明:甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%,若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡苗的总费用最小,问:应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只?总费用最小是多少元? ????? x -3x -2≤4, ①1+2x 3 >x -1. ② (三)用不等式组解实际问题 (1)课外阅读课上,老师将43本书分给各个小组,每组8本,还有剩余;每组9本,却又不够,这个课外阅读小组共有( )。 A.4组 B.5组 C.6组 D.7组 (2)已知三个连续整数的和小于10,且最小的整数大于1,则三个连续整数中,最大的整数为 。 (3)排污公司用每小时可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要x 小时才能把污水抽空,则x 满足( )。 A.5040< B.5040≤≤x C.5040≤ D.5040<≤x (4)某工厂现有甲种原料360kg ,乙种原料290kg ,计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品,共50件,已知生产一件A 种产品,需用甲种原料9kg ,乙种原料3kg 。生产一件B 种产品,需用甲种原料4kg ,乙种原料10kg ,在安排生产时,必须保证原料够用或有余。 ①按要求安排A 、B 两种产品的生产件数,有几种方案? ②请你把方案设计出来。 四、课后练习 1.填空 (1)性质l:不等式的两边都加上(或减去)________________,不等号的方向_______; (2)性质2:不等式的两边都乘以(或除以)_______不等号的方向_____ ; (3)性质3:不等式的两边都乘以(或除以)_______,不等号的方向____. (4)列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤:(1) 审题;(2)_______________; (3)根据不等关系列不等组;(4)______________;(5)检验并作答。 4.某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆.经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人合0件行李. (1)设租用甲种汽车x 辆,请你帮助学校涉及所有可能的租车方案; (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案. 五、 章节测试 不等式与不等式组 章节测试题 学生姓名: 考试分数: 特别说明:1、本试卷完成时间为 90 分钟;2、本试卷满分为 100 分;3、考试中考 生必须遵守考试规则,独立完成;4、考生草稿纸要求规范使用,考试结束上交。 一、填空题 (每小题3分,共10小题,总30分) 1.不等式组? ??的解集是 2.将下列数轴上的x 的范围用不等式表示出来______________ 3.?1<5 43+x ≤2的非正整数解为 4.a>b ,则-2a -2b 5.3x ≤12的自然数解有 个 6.不等式0.5x >-3的解集是 7.用代数式表示,比x 的5倍大1的数不小于x 的0.5与4的差 8.若(m ?3)x<3?m 解集为x>?1,则m 9.三角形三边长分别为4,a ,7,则a 的取值范围是 10.某次数学测验中有16道选择题,评分办法:答对一道得6分,答错一道扣2分,不答得0分;某学生有一道题未答,那么这个同学至少要答对_____道题,成绩才能在60分以上. 二、选择题(每小题3分,共10小题,总30分) 11.在数轴上表示不等式x ≥-2的解集,正确的是( ) A B C D 12.下列叙述不正确的是( ) A.若x<0,则x 2 >x B.如果a1,则a>?a C.若43-<-a a ,则a>0 D.如果b>a>0,则b a 11-<- 13.设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体,用天平比较它 们质量的大小,两次情况如图所示,那么每个“○”、“□”、“△”这 样的物体,按质量从大到小的顺序排列为( ) A.○□△ B.○△□ C.□○△ D.△□○ 14.天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ,则物体A 的质量m(g)的取值范围,在数 轴上可表示为( ) A B C D 15.代数式1?m 的值大于?1,又不大于3,则m 的取值范围是( ) A.?1 B.?3≤m<1 C.?2≤m<2 D.?2 16.不等式的正整数解为( ) A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 3(8分).若不等式组 ? ? ? > - < - 3 2 1 2 b x a x 的解集为?1 4(12分).为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备;现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表: 经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元. (1)请你设计该企业有几种购买方案; (2)若该企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案; (3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水为每吨10元,请你计算, 该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) 课堂 检测 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________ 课堂练习(累计不超过15分钟)______道;成绩_____;教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容 □ 课后 巩固 作业______题;巩固复习_____________;预习布置___________________ 签字 教学组长:教研主任:校长: 学习管理师:学生签字 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当0 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 (1)不等(等)号的定义:. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a >(对称性) ? a< b b (2)c ? > >,(传递性) a> c a b b (3)c + ? > >(加法单调性) c a+ a b b (4)d + > >,(同向不等式相加) a+ > ? d b c a c b (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >><>(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>?<(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号) 0,2b a ab a b >+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号) 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->-<<时,或 (7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么 2 2a b a b ++ 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。 均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 高中《不等式》知识 点总结 《不等式》知识点 一、不等式及其解法: 1.一元二次不等式: 化标准式(即二次项系数为正)?“大于取两边,小于取中间” 如:解不等式(1)0322≤-+x x ; (2)0122≤++-x x 解:(1)原不等式等价于 0)1)(3(≤-+x x , 方程0)1)(3(=-+x x 的根为3-,1 故解集为}{}13≤≤-x x . (2)原不等式等价于0122≥--x x , 方程0122=--x x 的根为21+,21-, 故解集为}{} 2121+≥-≤x x x 或. 2.高次不等式:“穿根法”. 化标准式(即每一项的x 系数为都为正)?穿根 (从右上方出发,依次穿过每个根,如遇“重根”,奇穿偶回) 如:解不等式(1)0)1)(1(≤-+x x x ; (2)0 )1)(2(≥-+x x ; (3)0 )1(2<-x 解:(1)解集为{}101≤≤- 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值; 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件:“一正,二定,三相等” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若* ,R b a ∈,则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 (1)若,,,a b c d R ∈,则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=,求证:2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5:不等式选讲: 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二:利用不等式求函数值域 课时作业15均值不等式 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( ) x A.无最大值,有最小值7 B.无最大值,有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号, 有最大值一1,无最小值. 1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分)???当x=\时, 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 高考不等式知识点总结 高考不等式知识点总结不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题, 最终都可归结为不等式的求解或证明。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化。在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式, 运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要 善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用。 3。在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分 均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< 期末复习之不等式知识点 2 3 1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x2–(a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0; 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有: 1、讨论a与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题: 例1.已知关于x的不等式 在(–2,0)上恒成立,求实数a的取值范围. ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2.关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立,求a 的取值范围. 4 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 (1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3),a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a =b 时取“=”号). 总结:已知y x ,都是正数,则有 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)如果和y x +是定值s ,那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正,则要加负号,若不定,则要凑定值,若不等,则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z +=基本不等式知识点归纳.
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