5.2平行线及其判定讲义【精】(可编辑修改word版)

1、平行线的概念：第五章相交线与平行线

5.2.1平行线

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥ b 。

2、两条直线的位置关系

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

如左图所示，∵ b ∥ a ，c ∥ a

b ∴b ∥c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这c

两条直线都平行。

【典型例题】

类型一、两条直线的位置关系

1.同一平面内的两条直线若相交，那么有交点，若平行则交点.

2.在内，两条直线的位置关系只有、两种.

3.下列叙述的图形是平行线的是（）

A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线.

B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线.

C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线.

D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

4.在同一平面内的两条直线的位置可能是( )

A.相交或垂直

B.垂直或平行

C.平行或相交

D.相交或垂直或平行

类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画

5.读下列语句,并画出图形.

(1)直线AB、CD 是相交直线,点P 是直线AB、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直

线CD 相交于点E；

(2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P,且与直线AB 平行.

6.读下列语句，并作图：

（1）如图(1)，过A 点画AF∥CE 交BC 于F；

（2）如图(2)，过C 点画CE∥AD 交BA 的延长线于E.

类型三、平行公理及其推论

7.如图5.2.1-2,∵AB∥CD(已知),过点F 可画EF∥AB,∴EF∥DC,

理由是.

8.画∠AOB=90°,在它的边OA 上取一点C,过C 画EF∥OB,量得∠AC F= 度.

9.l1、l2、l3为同一平面内三条直线,若

与l2不平行,l2与l3不平行,那么下列判断正确的是( )

A.l1与l3一定不平行

B.l1与l3一定平行

C.l1与l3一定互相垂直

D.l1与l3可能相交,也可能平行

10.下列说法中,错误的是( )

①有且只有一条直线与已知直线平行②过一点有且只有一条直线与已知直线平行

图 5.2.1-2

③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行④平行于同一条直线的两条直线平行

A.①③

B.②④

C.③④

D.①②

11.在同一平面内,直线a 与b 满足下列条件,写出其对应的位置关系：

(1)a 与b 没有公共点,则a 与b ；

(2)a 与b 有且只有一个公共点,则a 与b ；

(3)a 与b 有两个公共点,则a 与b .

5.2.2平行线的判定

探索一：请同学们仔细阅读课本P13 页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？

由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填 1 种就可以）

判定方法1（判定公理）E

几何语言表述为：∵ ∠=∠∴ AB∥CD

由判定方法 1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

判定方法2（判定定理）

几何语言表述为：∵ ∠=∠∴ AB∥CD C6587D 由判定方法 1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

判定方法3（判定定理）F

几何语言表述为：∵ ∠+∠=180°∴ AB∥CD

平行线的判定1

[1]判定方法 1 的认识

1.如图5.

2.2-1，技术人员在制图版时，用“丁”字尺画平行线，其数学依据是.

图5.2.2-1 图5.2.2-2 图5.2.2-3

2.如图5.2.2-2，∠3=∠7 或，那么，理由是.

3.如图5.2.2-3 所示，直线AB、DE 被CD 所截，∠D=50°，当∠BFC= 时，AB∥DE.

4.如图

5.2.2-4 所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则∥∥.

图5.2.2-4 图5.2.2-5

5.如图5.2.2-5 所示，判定AB∥CD 的条件是（）

A. ∠2=∠B

B. ∠1=∠A

C. ∠3=∠B

D. ∠3=∠A

[2]判定方法 1 的应用

6.两直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则这一对同位角的角平分线（）

A.互相垂直

B.互相平行

C.相交但不垂直

D.不能确定

7.如图5.2.2-6，能使BF∥DG 的条件是（）

A.∠1=∠4

B.∠2=∠4

C.∠2=∠3

D.∠1=∠3

图5.2.2-6 图5.2.2-7

8.如图5.2.2-7 所示，若∠1 与∠2 互补，∠2 与∠4 互补，则（）

A.l3∥l4

B.l2∥l5

C.l1∥l5

D.l1∥l2

9.如图5.2.2-8 所示，∠1= ∠DFG，ED 平分∠BEF，

试问AB 与CD 平行吗？为什么？

图5.2.2-8

平行线判定 2、3

[1]判定方法 2、3 的认识

1.如图5.

2.2-9，直线a、b 被直线c 所截，现给出以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；

③∠2+∠3=180°；④∠6=∠8；其中能判定a∥b 的条件的序号是( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④

图5.2.2-9 图5.2.2-10

2.如图5.2.2-10 所示,下列条件中,不能判定AB∥CD 的是( )

A.AB∥EF,CD∥EF

B.∠5=∠A

C.∠ABC+∠BCD=180°

D.∠3=∠2

3.如图5.2.2-11,若∠1=67°,∠2=113°,则∥,根据是.

图 5.2.2-11

图 5.2.2-12

4.如图

5.2.2-12,若∠1+∠2=180°,那么( )

A.a ∥b

B.a ∥c

C.c ∥d

D.a ∥d 5. 已知：如图 5.2.2-13,下列条件中,不能判定直线 l 1∥l 2 的是( )

A.∠1=∠3

B.∠2=∠3

C.∠4=∠5

D.∠2+∠4=180°

图 5.2.2-13

[2] 判定方法 2、3 的应用

6. 在ft 脚下,甲、乙两地之间要修一条穿ft 隧道如图 5.2.2-14,从甲地测

得隧道走向是北偏东 60°,如果甲、乙两地同时开工,那么在乙地隧

道应按南偏度施工,才能使公路准确接通.

5.2.2-14 7. 如图 5.2.2-15,直线 MN 分别和直线 AB 、CD 、EF 相交于 G 、H 、P ，∠1=∠2，∠2+∠3=180°,试问:AB 与 EF 平行吗?为什么?

图 5.2.2-15

8. 已知如图 5.2.2-16,点 B 在 AC 上，BD ⊥BE ，∠1+∠C =90°.试问射线 CF 与 BD 平行吗？

图 5.2.2-16

综合训练（A ）一、填空题

1. 两条直线被第三条直线所截，如果相等或相等，那么这两条直线平行。

2. 如图 1，根据下列条件，分别写出 AB∥CD 的理由。

∵ ∠1=∠2(已知) ∴ AB∥CD ( ) ∵ ∠2=∠4(已知) ∴ AB∥CD ( )

∵∠3+∠4=1800

(已知) ∴ AB∥CD ( )

3.如图 2，∠2=1050，∠1=750

，则 ∥ ，

4.如图 3，∠3=840

，∠4=960

，∠1=500

，则 ∥ ，∠2 的度数是。

图

5.如图4，∠1和∠2是直线、被直线所截得的角，若∠1=∠2，则

∥。∠2与∠4是直线、被直线所截得角，若∠2=550，∠4=1250，则∥。

二、选择题

6.下列各判断中，错误的是( )

(A)同位角相等，两直线平行； (B)内错角相等，两直线平行；

(C)同旁内角相等，两直线平行；(D)同旁内角互补，两直线平行。

7.如图5，要使AB∥CD，必须具有条件是( )

(A)∠3=∠4；(B)∠A=∠C；(C)∠ABC=∠ADC；(D) ∠1=∠

2。

8.经过已知直线l 外一点 P 与直线l 平行的直线有( )

(A)0 条；(B)1 条；(C)2 条；(D)无数条

9.如图6，如果∠1=∠2=∠3，那么( )

(A)AB∥CD；(B)AD∥BC；(C)∠1+∠4=1800； (D)以上都不对。

10.如图7，已知∠DAB=280，∠BCE=620，∠CEB=900，∠DAF=1180，则图中平行线( )对。

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

三、简答题

11.作图题(如图 8)

(1)过P 点作EF∥AB；

(2)过P 点作PQ⊥CD。

12.在下列各题的括号内加注理由。

(1)如图 9，

∵∠A=∠ECD(已知)

∴AB()( )

∵∠B=∠BCE

∴()∥() ( )

(2)如图 10，

∵∠1=∠2(已知)

∴()∥() ( )

∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)

∴∠1+∠3=∠2+∠4()

∴()∥() ( )

综合训练（B）

一、填空题

1.两条直线被第三条直线所截，如果互补，那么这两条直线平行。

2.如图1 所示的∠1、∠2、∠3、∠4中若= ，则ABCD；

若= ，则AD∥CE。

3.如图2，已知∠1+∠2=1800求证：AB∥CD

证明：∵∠1+∠2=1800 ( )

∠1=∠3()

∴∠2+∠3=1800 ( )

∴ AB∥CD()

4.如图3，已知∠1=560，∠3=1200，∠2=560，则∥，∠4的度数是。

5.已知 HG 平分∠AGD，NI，平分∠GLE，∠AGD=∠GLE。

∴∠= ∠AGD

∠= ∠GLF

∴∠=∠( )

∴HG∥NL()

二、选择题

6.如图5，∠1=1300，∠2=500，正确的是( )

(A) ∵∠1+∠2=1800，∴∠1与∠2是邻补角；

(B)∵∠1≠∠2，∴AB、CD 不平行；

(D) ∵∠1+∠2=1800，∴AB∥CD。

7.如图6，过点C 有直线MN，要使AB∥MN，必须具有条件是( )

(A)∠B=∠ACM；(B) ∠B=∠ACB；

8.下列条件能判定互相平行的是( )

(1)同位角的平分线； (2)内错角的平分线；(3)同旁内角的平分

线。

(A)(1)、(2)；(B)(2)、(3)；(C)(1)、(3)；(D)以上都不对。

9.如图7，已知∠1=1300，∠2=500，∠3=500，则图中有( )组平行线。

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

10.如图8，△ABC中，∠B=∠C，AD 是∠BAE的平分线。下列表述中，错误的有( )句。

(1)∵ ∠BAE是ABC 的外角，∠BAE=∠B+∠C，又∵ ∠B=∠C，∴ ∠BAE=2∠B；

(2)∵AD是BAE 的平分线，∴∠DAE=∠BAE；

(3)∵∠DAE=∠BAE，而∠BAE=2∠B∴∠DAE=∠B；

(4)∵∠DAE=∠B，∴AD∥BC。

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

三、简答题

11.作图题(如图 9)

(1)过M 点作EF∥AB；

(2)过M 点作MN⊥AB。

12.在下列各题的括号内加注理由。

(1)如图10，∠ABC=∠CDA，∠CBD=∠ADB求证：AB∥CD

证明：∵∠ABC=∠CDA()

∠CBD=∠ADB()

∴∠ABD=∠CDB()

∴AB∥CD()。

(2)已知：CDE 是一直线，∠1=1250，A=550求证：AB∥CD

证明：∵ CDE 是一直线(已知)

∴∠1+∠2=1800( )

∵∠1=1250( )

∴∠2=550()

又∵∠A=550()

∴∠2=∠A()

∴AB∥CD()

13.如图1直1，线AC B D、被EF所截，∠1 =∠2，CN∠F =∠BME。求证AB：∥CD，

M P∥NQ．

A M

1 B

C N 2 D

F Q

图11

14.已知：如图：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH 平分∠AHM，MN 平分∠DMH。

求证：GH∥MN。

15.如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，

求证：CD∥BE。