(完整word版)一维势垒问题总结

一维势垒中的透射系数

利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系.

一维方势垒

势垒模型

在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该

怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。

在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。

下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式：

ψψψE U m

=+?-2

22h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程

t i U x m ??=+??-ψ

ψψh h 2222

一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令

t E

i e

x t x h

-=)(),(ψψ

由此得到

ψψψ

E U dx d m =+-

2

222h

按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式

022

2=+ψψ

k dx

d

??

?><<<=.

,0,0;

0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形

粒子满足薛定谔方程分解为三个区域：

??????

???>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332

2

222022

2

2112

2

2ψψψψψψψh h h （1） ????

?????>=+<<=-+<=+a x x mE

x dx d a x x u E x dx d x x mE

x dx

d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(3232220222

12

122ψψψψψψh h

特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r

方程 0=+'+''qy y p y 的通解

两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根

βαi r ±=2,1

)sin cos (21x C x C e y x ββα+=

注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0

x

q x

q e

C e C y ---

+=21，

当0>q 时，通解x

q i

x

q i

e C e C y -+=21

方程（1）的解可以表示为：

????

?????>+=<<+=<+=-----a x de te x a x ce be x x re ae x x mE

i x mE i x u E m i x u E m i x mE i x mE i ,)(0,)(0,)(223)

(2)(2222100h h h

h h

h ψψψ （2）

定态波函数321,,ψψψ再分别乘上一个含时间的因子Et i e

h

-，可以看到式子（2）的

三式，第一项是左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波，即入射波和反射波。在a x >区域内，只有入射波，无反射波，故0=d 。利用波函数及其一阶导数在a x x ==,0连续的边界条件，可得如下:这里的h

h )(2,2021u E m k mE

k -==

；

由 ()()()()???

??=

=====020

10

201x x x x dx x d dx x d x x ψψψψ 得 ???-=-+=+c

k b k r k a k c

b r a 2211 （3）

由 ()()()()???

??=

=====a x a

x a

x a x dx x d dx x d x x 3232ψψψψ ?????=-=+--a

ik a ik a ik a

ik a ik a ik e tk e

ck e bk te ce be 1221

22122 （4） 可以写成： ???

?

?????? ??-=???? ?????? ??-c b k k k k r a 1212111111 （5） a ik a ik a

ik a ik a

ik te k k c b e e e e 12222211???

? ??=???? ?????? ?

?--- （6） 由式（5）和式（6）得：

a

ik a ik a ik a ik a ik te e k k k k e k k k k e k k k k e

k k k k r a 1222221122112211221121111111141?

???

??

?

?????? ??-???? ??+?

???

??+???? ??-???? ??-???? ??-???? ??+???? ??+=???? ??-- （7） 化解得： a

ik te a k k k k k i a k k k k k i a k r a 122112221122sin )(2sin )(2cos ?

????

??

??-+-=???? ?? 注：概率流密度的定义()

ψψψψ?-?=

**2m

i J h

； 此处入射波x ik ae 1，透射波x ik te 1，反射波x ik re 1-，分别代入概率流密度

()()

][21111**dx

e a d e a dx e a d ae m i J x ik x ik x

ik x ik a ---=h ; 化简得：2

a m

i J a h =

，同理2t m i J t h =，2r m i J r h =；

注：透射概率流密度与入射概率流密度之比称为透射系数，即a x >区域粒子在单位时间内流过垂直与x 方向的单位面积的数目，与入射粒子在0

从得出反射系数22

a

r J J

R a r ==。

a

k k k

k k a k a k k k k k R 2222

1122222

22

112sin )(41cos sin )(41++-=

化简的 ()()2

122

2

22

2

1

22

2

22

2

1

4sin

sin

k k a k k k

a

k k k

R +--=

(8)

同理透射系数T ， ()2

122

2

22

2

1

2

2

2

14sin

4k k a k k k

k k T +-=

（9）

由上式R 和T 之和等于1，证实了入射粒子一部分透射到x>a 区域，另一部分被

势垒反射。

（以后要重点关注共振点） 这里常在文献中涉及到是，当...2,1,0,2==n n ak π反射为零，透射系数为1，产生的共振，此时只有透射波没有反射波，这个理解

为第一个界面反射的波和第二个界面反射的波相消干涉。即两个反射波之间有π相位差。（这里也可以研究概率密2

ψ度验证以上的结论） 讨论0u E <的情形，

??????

???>=-<<=+-<=-a x x E x dx

d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332

2

222022

2

2112

2

2ψψψψψψψh h h 解： ????

?????>=<<+=<+=----a x te x a x be ae x x re e x x mE

i

x E u m x E u m x mE i x mE i ,)(0,)(0,)(23)

(2)(2222100

ψψψ 其中

)(2,202

1E u m k mE k -==；边界条件：

??

?-=-+=+b

k a k r ik i k b

a r 22111 ???

?

?????? ??=???? ?????? ??---000*112222122

t e ik e b a e k e k e e a ik a ik a k a k a k a k ()a

k ch k k

a k sh k k

k k T 22

222

1

22

2

22

2

1

2

2

2

144+-=

5101520

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.01

0.020.030.040.050.060.07

无论是E>u0,还是E

???

??

??<->-=)(,))((2)(,))

((2i i i i i x u E E x u m i x u E x u E m k h h

我的验证过程是用的传递矩阵所求出的透射系数与书上推导出来的做的图是一致的，这里试图找到隧穿共振的点和图，

πn a u E m =-2

)

(2 ，我在编程的过程中验证了一个非常有用简便的方法???

??

??<->-=)(,))((2)(,))

((2i i i i i x u E E x u m i x u E x u E m k h h

，这个等式在Mathematica 中可以统一写

成h

))

((2i i x u E m k -=

，这是正确的，以后完全不用再分段。为保证完全正确，下面再进

E>u0,a=0.8nm,u0=3eV E

5

10

15

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a=0.8nm,u0=3eV

一步验证。

双势垒模型

设真空中质量为m ，能量为E 的粒子从左方入射，如上图所示的一维两个方

势垒中，势垒的势能函数为

???????><<<<<=2

211

,0,20,10,0)(a x a x a u a x u x x u

同样满足常数势垒求薛定谔方程， 当E>u1，u2时；

?????????????<<=+->=-<<=+-<=-2133232

2

22

4422212212

222112

2

2),()()(2),()(20),()()(20),()(2a

x a x E x u x dx d m a

x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ψψψψψψψψψψ

解

???????????>=<<+=<<+=<+=-------2232

1)(22)(2231)

(21)(21

2221,)(,)(0,)(0,)(2211a x te

x a x a e b e a x a x e b e a x x re e

x x

mE

i x u E m i x u E m i x u E m i x u E m i x mE i x mE i

ψψψψ

令

)(2,)(2,222110u E m k u E m k mE

k -=-==

，

可求得：

???? ?????? ??-=???? ?????? ??-1111

0011111

b a k k r k k

????

?????? ??-=???? ?????? ??-----22221111121

2121

2111

1111

1b a e k e k e e b a e k e k e e a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik ???? ?????? ??-=???? ?????? ??-----22221111121

2121

2111

1112

2b a e k e k e e b a e k e k e e a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik ???

? ?????? ??=???? ?????? ??---0001

020222

2222

202222t e

k e b a e k e k e e a ik a ik a ik a ik a ik a ik

???

? ?????? ?????

?

??-???? ??-???

?

??-???? ??-???

? ??-=???? ??---------00011

111202

0222

2222

21212121

2111

1111

101

22221

11111

00t e k e e k e k e e e k e k e e e k e k e e k k k k r a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik

即有此通式 ???

?

?????? ??-???? ??-=???? ??++-++---++++11111111*21i i L ik i L ik i L ik L ik L ik L ik i L ik L ik i i i b a e k e k e e e e k e e k b a i i i

i i

i i

i i i i

i i i i

i ???? ??????

?

?

??+--

+=???? ??++-++++-++-+++++11)(1)(1)(1)(11111)1()1()1()1(*21i i L k k i i i L k k i i i L k k i i i L

k k i i

i i i b a e k k e k k e k k e k k b a i i i i

i i i i i i

i i 注：上式作为通式很重要，一定要牢牢记住，可以为以后的计算省好多时间。

这里通过化简可以得到

（注：这里一定要认真化简，化成统一的形式）

220112)()(201201)1)(1)(1(811L k k i L k k i e k k k k

k k t -+-+++=

220112)()(201201)1)(1)(1(812L k k i L k k i e k k k k

k k t -+++--=

220112)()(201201)1)(1)(1(813L k k i L k k i e k k k k

k k t ++----+=

220112)()(2

01201)1)(1)(1(814L k k i L k k i e k k k k

k k t +++--+-=

4321t t t t t +++=

透射系数 2

1

t T =

2

4

6

8

0.2

0.40.60.8

1.0

2468

0.2

0.4

0.60.8

1.0

这里先是一个方势垒下透射系数，然后两个方势垒退化成一个方势垒是否正确有a1=0.8,a2=0时，或a1=a2=0.4.u1=u2时退化成方势垒。验证是正确的。在程序中我用的矩阵的形式，然后得出的是透射系数，但是我同时也把我自己化简的结果，直接求出的投射系数，然后带入之后，确定是正确，这感到很欣慰。这足以表明传递矩阵的方法在一个方势垒和两个方势垒是正确的。此外通过一个方势垒和两个方势垒已经能够得出任意势垒的传递矩阵下面进行验证。

高斯势垒

势垒模型

2468

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

n=2,a1=0.8,a2=0.,u1=u2=3ev,

此模型满足一维定态薛定谔方程：

ψψψE x U m

=+?-)(22

2 假设能量为E 一维空间运动的粒子从左边沿x 方向入射，第i 个势垒的势能函数

)()(i x u x u =为常数，势能表达式如下：

???

?

???<<><<<=----6.18.0,46.1,0,08.00,4)(22

22

2)2.1(2)

4.0(x e x x x e x u x x σσ

其中σ 是可调的参数，σ越大时，势垒越平滑，也就越低，σ越大是，势垒就越陡峭，就越大。 先讨论)(x u E >的情形，

这时能量为E 的粒子满足定态薛定谔方程可依次写成如下形式：当x<0时，由于粒子穿过第一个势垒，在这个区域就会有反射波和入射波。此时满足方程：

)()(22

2

2x E x dx

d m I I ψψ=- 此方程的解表示如下形式： x mE

i

x mE

i I re

ae

x

22)(-+=ψ

同理在x>2a 时，这个区域内透射波遇不到其他任何势垒不能发生发射只有向右传播的透射波， 此时满足薛定谔方程：

)()(22

2

2x E x dx d m III III ψψ=-

方程的解：

x mE

i III te

x h

2)(=ψ

在区域0

粒子在运动在各区域遵从定态薛定谔方程为

)()()()(22

2

2x E x x u x dx

d m II II II ψψψ=+- 于是在第i 个势垒中的势能为)(i x u ，)(i x u 是常数这里就转化成了矩形势垒的问

题，在此势垒中定态薛定谔方程可写成：

)()()()(22

2

2x E x x u x dx d m i i i i ψψψ=+-

h 粒子的波函数可以表示为： x

x u E m i

i x

x u E m i

i i i i e

b e

a x h

h

))

((2))

((2)(---+=ψ

))

((2i i x u E m k -=

是波矢，i i b a ,分别是入射波和反射波的波幅。下面列出了在

第i 个势垒左边和右边波函数做满足的定态薛定谔方程：

???????<<=+-<<=-++++-11112221222),()()()(2),()(2i i i i i i i i i

L

x L x E x x u x dx d m L x L x E x dx d m ψψψψψ

解得：

?????<<+=<<+=+---++----++1))((2))((211

1))((2))((2,)(,)(11i i x x u E m i i x x u E m i i i i i x

x u E m i i x x u E m i i i L x L e b e a x L x L e b e

a x i i i i h

h h

h ψψ

考虑到势垒本身并不吸收或产生粒子，势垒两侧的概率流密度应当相等。这就导致在i L x =处波函数及其一阶导数连续的边界条件，于是可得：

()()()()???

??=

=====i

i i

i L x i L x i L

x L x i dx x d dx x d x x ψψψψ3 代入方程：

?????-=-+=+++++-++++--++-i

i i i i i i i i

i i i i i i i L ik i i L ik i i i L ik i i L ik i i L ik i L ik i L ik i L ik i e k b e k a e

k b e k a e b e a e b e a 111111111 这里我可以写成矩阵的形式如下：

???

?

?????? ??-=???? ?????? ??-++-++---++++11111111i i L ik i L ik i L ik L ik i i L ik i L ik i L ik L ik b a e k e

k e e b a e k e k e e i i i i i

i i i i i i

i i

i i

i 继续化简这里可以得到一个通式：

???? ?

?????? ??-???? ?

?-=???? ??++-++---++++11111111*21i i L ik i i L ik i i L ik L ik L ik L ik L ik L ik i i b a e k k e k

k e e e e e

e

b a i i i i i i i

i i i i

i i i i

i

上面的转移矩阵就是：

????

?

??-???? ??-=++++-++---i i i i i i i

i i i i

i i

i i

i L ik i i L ik i

i L ik L ik L ik L ik L ik L ik i e k k e k k e e e e

e e p 111111*21

????

??=???? ??0*....***3210t p p p p p r a N N p p p p s *...**210=

这里设a=1,我们就得到了反射概率2

2

]

1,1[1

s t T ==；

下面讨论当)(x u E <的情形，已经知道势垒两边的区域薛定谔方程不变，波函数也不变，在中间区域的势垒中，当)(i x u E <，薛定谔方程的解成另外一种形式：

x

E x u m i x

E x u m i i i i e

b e a x h

h

)

)((2)

)((2)(--

-+=ψ；

这里令h

)

)((2E x u m k i i

-=

'可以明显观察到上面的计算仍然成立，前提是当)

(i x u E <时，只要 i k 变为虚数，即i i k i k '=；x k i e a '和x k i e b '-不是波，它是波幅的衰减因子。上面已经提到这在软件中是可以写成统一形式的。 方势垒分1，2,3,4,10段时的透射系数：

24

68

0.20.40.60.81.0

2468

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N=1,a=1.6nm,u=0.4eV

N=2,a1=0.8nm, a2=0.8,u=10.4eV ,u2=0.4

上面的图像可以完全证实我们的方法是正确的。 下面是双高斯的透射系数：

2468

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

24680.20.40.60.81.0 N=3,a1=a2=a3=(1.6/3)nm,u1=u2=u3=0.4eV N=10,a1=a2=a3....=a10=(1.6/10)nm, u1=u2=u3....=u10=0.4eV

2468

0.20.40.60.8

1.0

2468

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

方势垒u=4eV,a=1.6nm ， 双高斯势垒n=10,a=1.6nm ，3010=σ

24680.20.40.60.81.0

2468

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

双高斯势垒n=10,a=1.6nm ，1=σ 双高斯势垒n=10,a=1.6nm ，3010=σ

05

10

0.0

0.20.4

0.60.8

1.0T

EE B

0510

0.0

0.20.40.6

0.8

1.0

T

EE

B

0510

0.0

0.2

0.40.6

0.8

1.0T

EE

B

5

10

0.0

0.20.40.6

0.8

1.0

T

EE

1.0 B

双高斯势垒n=20,a=1.6nm ，1=σ 双高斯势垒n=40,a=1.6nm ，1=σ

双高斯势垒n=80,a=1.6nm ，1=σ

双高斯势垒n=100,a=1.6nm ，1=σ

上面先对一个方势垒进行了分段，分别画出了1,2,3,10段的图像，并进行比较，证明分段的程序是正确的，下面我又对双高斯势垒进行了分10段，并画出了图形，并且证实了当σ趋近于无穷大时，势垒趋近于常数，也就是趋近于方势垒，并且与方势垒是一致的，下面又对双高斯势垒分了20段，40段，80段和100段。再次证明图形是正确的。

总结：通过对公式的一步步推导，进一步认识了一维定态问题中粒子穿过势垒过程中透射系数的问题。再次证实了应用传递矩阵方法的正确性，有了这种方法我们可以求任意形状的势垒的透射系数。在编程的过程中，要一步一步的去验证自己的正确性。下面是程序的关键部分：

下面我还做了另外一种双高斯的图： ??

???>+--<<+-=

,04,4)6(40,*4)(22x x x x x x u

2468

123

4

24680.20.40.60.81.0 在这个势垒下的透射系数 势垒函数

Remove["`*"]

varDirectory=NotebookDirectory[]; CreateDirectory[varDirectory]; SetDirectory[varDirectory];

curr=OpenWrite["Gs100.dat"];

eV=1.6022*10-19;

a=1.6*nm;

hba=(6.6261*10-34)/(2*Pi);

m=9.10938188*10-31;

nm=10-9;

n=100;

Do[{

Energy=EE*eV;

k[0]=2m Energy 1

2/hba;

k[n+1]=2m Energy 1

2/hba;k[x_]=Which[a/n*x>0&&a/n*x 0.8*nm

,2m Energy 4E

1.6

n

x 0.4

2

2eV

1

2

/hba,a/n*x>0.8*nm,

2m Energy4E 1.6

n

x 1.2

2

2eV

1

2

/hba];

L[x_]=a/n*x;

ZZ={{1,0},{0,1}};

Do[{

A[j]=1/(2*k[j])*{{k[j]*E-I*k[j]*L[j],E-I*k[j]*L[j]},{k[j]*E I*k[j]*L[j ],-E I*k[j]*L[j]}}.{{E I*k[j+1]*L[j],E-I*k[j+1]*L[j]},{k[j+1]*E I*k[j+1]*L[j], -k[j+1]*E-I*k[j+1]*L[j]}};

AA=ZZ.A[j];

ZZ=AA;

},{j,0,n,1}];

t=Simplify[1/AA[[1,1]]];

T=Abs[t]2;

WriteString[curr,EE//FortranForm,"\t",T//FortranForm,"\n" ];

},{EE,0.0001,9,0.01}];

Close[curr];