等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,

n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则

n a =（）

A ．21n -

B ．43n -

C ．54n -

D ．n

2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8

B ．4

C ．12

D ．16

3．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（） A ．11

B ．10

C ．6

D ．3

4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（） A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11

B ．12

C ．23

D ．24

6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则

129

a a a a ++???+=（） A ．

278

B ．

C ．3

D ．4

7．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12

a b =（） A ．

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸

D ．二丈二尺五寸

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（） A ．21S

B ．20S

C ．19S

D ．18S

11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（） A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100 13．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则9

S a =（） A ．9

B ．5

C ．1

D ．

14．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）

A ．7

B ．9

C ．21

D ．42

15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

16．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15

B ．30

C ．3

D ．64

17．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23

，且

11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(

)n －1

B ．(

)n C ．

n + D ．

n + 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：

①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15

B ．20

C ．25

D ．30

二、多选题

21．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是（）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列22．题目文件丢

失！

23．已知数列{}n a 满足112a =-，11

1n n

a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）

A ．2-

B ．

C ．

D ．3

24．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >

D ．110S >

25．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d > B ．70a =

C ．95S S >

D ．6S 与7S 均为n S 的最大值

26．下列命题正确的是（）

A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c

可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列

27．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)

11n a =

-，则关于数列

{}n a 说法正确的是（）

A ．28a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．数列{}n a 为周期数列

D ．2

2n a n n =+

28．无穷数列{}n a 的前n 项和2

n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）

A ．{}n a 可能为等差数列

B ．{}n a 可能为等比数列

C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列

D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列

29．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（） A ．0d <

B ．70a >

C ．{}n S 中5S 最大

D ．49a a <

30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

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一、等差数列选择题 1．A 【分析】

由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】

11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,

令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-

令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2

311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，

与已知矛盾，故解得31a t =+

{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =

则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 2．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大

212

，

()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 3．A 【分析】

利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】

由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，

213a a d =+=，

解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选：A. 4．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出

(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出

111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++

+++=++=

则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 5．C 【分析】

由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】

32153S a ==，25a ∴=，

12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+?=，

故选：C. 6．A 【分析】

根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】

因为1109a a a +=，所以11298a d a d +=+，即1a d =-，

所以

()1129510101992727

49a a a a a d a a d d a d ++???+====++. 故选：A 7．C 【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且

n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-，故选：C ． 8．D 【分析】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为

985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差

数列性质求得后5项和．【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()

19959985.52

a a S a +=

==（尺），所以59.5a =（尺），由题知

1474331.5a a a a ++==（尺），

所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，

则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 9．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．B 【分析】

设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系139

a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】

设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392

a d =-. 又10a >，所以0d <，因此

222120(20)2002222n d d d d

S n a n n dn n d ??=

+-=-=-- ??

?，所以20S 最大. 故选：B. 11．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥

，进而得到2121

k k b --=，结合等差数

列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得1

m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1

m m b k m +=，即()()11212

m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 13．B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求9

S a . 【详解】

4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，

∴1999()

452

a a S d ?+==，99a d =，且0d ≠， ∴

5S a =. 故选：B 14．C 【分析】

利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()

1212121632

a a S +=

=，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++

+=++++++

111111111122277321a a a a a =+++==?=，

故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，

()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++

+=++++++=即可求解.

15．D 【分析】

由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】

解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，

得：111154435242238a d a d a d a d ???

?+=+ ??

?+++=?????

，

即

{

1132024

a d a d +-+=，解得：

{

123

a d =-=，

51424310a a d ∴=+=-+?=.

故选：D. 16．A 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，

12111a a d =+，即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174

174d a ?=????=-??

，

所以12117760

111115444

a a d =+=-+?==，所以12a 的值是15，故选：A 17．C 【分析】由已知可得数列1n x ??????是等差数列，求出数列1n x ??????

的通项公式，进而得出答案．【详解】

由已知可得数列1n x ??

????

是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d =

则

()1111122n n n x +=+-?=，故21

n x n =+ 故选：C 18．D 【分析】

由()

1213n n n n S S a n +++=+-+得到()

1132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得

到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】

因为()1

1213n n n n S S a n +++=+-+，

所以()

1132n n n a a n ++=-+-，

所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，

从而15941a a a a ===???=，

22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，

则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，

()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，

()()20

1411820622

k k =+?=-=

∑1220，

故①②③正确. 故选：D 19．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，104a .

故选：D. 20．B

【分析】

设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()51154

55254202

S a d a d ?=+=+=?= 故选：B

二、多选题

21．ABC 【分析】

由)

12n a =

-1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】

当2n ≥时，由)

12n a =-，

得)

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC

22．无

23．BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】

因为数列{}n a 满足112a =-

，111n n

a a +=-，

212131()

a ∴=

--；

31a a =

=-； 41311

a a a =

=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-

，2

，3；故选：BD ．【点睛】

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题． 24．ABD 【分析】

转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】

因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，

因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确；所以6S 最大，故B 正确；所以()113137

131302

a a S a

+?==<，故C 错误；所以()111116

111102

a a S a

+?=

=>，故D 正确.

故选：ABD. 25．BD 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】

根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：

{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；

又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；

故选：BD. 【点睛】

本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 26．BCD 【分析】

根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】

A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；

C 选项：1a b c ===时，

111

1a b c

===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以

11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；

故选：BCD 【点睛】

本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 27．ABD 【分析】

由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项

可得结果. 【详解】

)

11n a =

-得)

11n a +=

，

1=，

即数列

2=，公差为1的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

∴2

2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，

所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题. 28．ABC 【分析】

由2

n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．

【详解】

当1n =时，11a S a b c ==++．

当2n ≥时，()()2

21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．

所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c

时，{}n a 是等差数列， 0

0a c b ==??

≠?

时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】

本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 29．AD 【分析】

先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，

0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.

【详解】

解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()

112121202

a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题. 30．AC 【分析】

由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】

解：在递增的等差数列{}n a 中，

由5105a a +=，得695a a +=，

又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)

3963

a a d ---=

==-，16525317a a d =-=--?=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．

故A 正确，B 错误；

12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---

可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．

∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．

故选：AC ．【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．