2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)

专题15 数形结合思想

专题点拨

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．

(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：

①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；

②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；

③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；

④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

⑤构建立体几何模型研究代数问题；

⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

⑦构建方程模型，求根的个数；

⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．

(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

①准确画出函数图像，注意函数的定义域；

②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．

(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．

例题剖析

一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

【例1】 若方程x 2－4x ＋3＋m ＝0在x ∈(0，3)时有唯一实根，求实数m 的取值范围．

【变式训练1】 已知函数f (x )＝?

????2x －1，x ＞0，

－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范

围为________．

【例2】 若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：

(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2

a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(

b －2)2的值域．

二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 【例3】若x ，y 满足约束条件?????x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，

则y

x

的最大值为________．

【例4】设函数f (x )＝?

????x 2＋bx ＋c ，x ≤0，

2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点

个数为________．

【例5】 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围．

三、数形结合思想在平面解析几何中的应用

【例6】已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |等于( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

巩固训练

1．已知x ，y 满足约束条件????

?x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．

2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式x [f (－x )－ f (x )]<0的解集为________．

3.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．

4．若x ∈()1，2时，不等式(x －1)2

5．已知函数f (x )＝{－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.

二、选择题

6．若不等式log a x >sin2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈(0，π

4)都成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．(0，π4)

B ．(0，π4]

C ．[π4，1)

D ．(π

4，1)

7．已知y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝ f (x )(x ∈R )图像与y ＝|log 5|x ||图像的交点的个数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 三、解答题

8.已知函数f (x )＝?

????ax 2＋2x ＋1，x ≥0，

－x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数，直线y ＝t 与函数f (x )的图像自左至右依次交于四个不

同点A 、B 、C 、D ，若||AB ＝||BC ，求实数t 的值．

新题速递

1．(2019?闵行区一模)已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[x a ∈，]b 的值域为[0，8]，则a b +的取值范围是 ．

2．(2020?奉贤区一模)已知直线1y x =+上有两个点1(A a ，1)b 、2(B a ，2)b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足

2222

12121122

2||a a b b a b a b +=+?+，若12a a >，||22AB =+，则这样的点A 有 个．