师大附中年高一自主招生考试数学测试题及参考答案

师大附中高一自主招生考试

数学测试题

本卷满分150分 考试时间120分钟

题号 一 二 三

总 分

复 核 １ ２ 3 4 5 得分 阅卷教师

一、选择题(每小题6分，共３０分。每小题均给出了代号为A 、Ｂ、C 、D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得0分）

1、下列图中阴影部分面积与算式2

131242-??

-++ ???

的结果相同的是………………【 】

2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】

① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a+a;③121的平方根是 ±11;④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A. 1 个 B ． ２ 个 C ． ３ 个 D ． 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票,女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同,那么……………………………………………………………………【 】

Ａ、甲比乙更优惠 B 、乙比甲更优惠 C 、甲与乙相同 D 、与原标价有关 4、如图,∠ACB ＝6０○，半径为２的⊙O 切ＢC 于点C,若将⊙O 在CB 上向右

滚动,则当滚动到⊙O 与C Ａ也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】

Ａ、2π B 、π C 、32 D 、４

5、平面内的９条直线任两条都相交，交点数最多有m 个,最少有n 个,则m n + 等于……………………………………………………………………………【 】 A 、3６ B 、37 C 、38 D 、39

二、填空题（每小题6分,共48分）

1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距6５千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为3２.5千米/时，则经过 小时,两人相遇。

2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ,则x 的取值范围是 。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20％和３０%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位:分)如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。

笔试 实践能力 成长记录 甲 90 ８3 95 乙 8８ ９0 ９5 丙

9０

８８

90

4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x

y =

的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =(O 为坐标原点）,则AOB ?的面积为 。

5、如果多项式2

12x px ++可以分解成两个一次因式的积,那么整数p 的值是 。

6、如右图所示,Ｐ是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点,从Ｐ向AB 作垂线PQ ,Q 为垂足。延长ＱP 与AC 的延长线交于R ,设B Ｐ＝

x (01x ≤≤),△BPQ 与△C ＰR 的面积之和为y ,把y 表示为x 的函数

是 。

7、已知12x x ，为方程2

420x x ++=的两实根，

则3

121455x x ++= 。

8、小明、小林和小颖共解出１00道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有１人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。

三、解答题(本大题6小题，共7２分）

1、（1０分)在ABC ?中，AC AB =, 45=∠A 。AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连结CD ,如果1=AD ，求:BCD ∠tan 的值。

2、(12分）某公司为了扩大经营,决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞

甲 乙 价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个)

100

６0

⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案?

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于３８0个,为了节约资金，应选择哪种购买方案？

３、(1２分)如图所示,已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀,其中2=AF ，1=BF 。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABC Ｄ内截取一个矩形块M ＤN Ｐ，使点P 在AB 上，且要求面积最大,求钢板的最大利用率。

４、（12分)如图所示等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD CB =,对角线AC 与BD 交于O ，60ACD ∠=, 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。

求证：△PQS 是等边三角形。

5、（12分)如右图,直线OB 是一次函数2y x =的图像，点A 的坐标是（0,2)，点C 在直线OB 上且△A ＣO 为等腰三角形,求C 点坐标。

6、（14分）已知关于ｘ的方程018)13(3)1(2

2

=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数)。

△A ＢC 的三边ａ、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，082

2=-+b m b m 。

求：⑴ m 的值；⑵ △A ＢC 的面积。

师大附中20１1年高一自主招生考试

数学试题参考答案

一、1、Ｂ，2、B,3、B,4、Ｃ，5、B

二、１、２ 2、41≤≤x ３、甲、乙 4、2 ５、7,8,13±±±

242)x x -+ 7、7 8、２0 三1、有已知可得CDE ADE ??和均为等腰直角三角形,计算得12-=

BD ，在直角三角形BCD 中,12tan -==

∠CD

BD

BCD 。 2、（1）设购买x 台甲机器，则34)6(57≤-+x x ，所以2≤x 。即x 取0、1、２三个值，有三种购买方案:①不购买甲机器,购6台乙机器；②购买１台甲机器，5台乙机器；③购买２台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金3056=?（万元),日产量为360606=?(个);按方案②，所需资金325571=?+?（万元）,日产量为

4006051001=?+?(个)；按方案③，所需资金为344572=?+?（万元),日产量为4406041002=?+?（个）

。所以,选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDN Ｐ的面积，设 ＤＮ=x ,ＰN =ｙ，则面积 S ＝x ｙ， ① 因为点P 在AB 上，由△A ＰQ ∽△AB Ｆ得

2

1

)4(24=---x y ，即y x 210-=. 代入①，得y y y y S 102)210(2

+-=-=,

即2

25

)25(22+--=y S .

因为3≤y ≤4，而y ＝25不在自变量的取值范围内,所以y =2

5

不是最值点，

当y =3时,S=1２;当 y =4时，S ＝8.故面积的最大值是S ＝１2．

此时,钢板的最大利用率是8０%。 4、连CS 。

∵A ＢCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于Ｏ,

∴AO ＝BO,CO ＝DO.

∵∠ACD=6０°，∴△OCD 与△O ＡB 均为等边三角形. ∵S 是ＯＤ的中点,∴CS ⊥DO. 在Ｒt △ＢＳC 中,Ｑ为BC 中点，S Ｑ是斜边B Ｃ的中线,∴SQ=1

2

B Ｃ.

同理BP ⊥AC ．

在R ｔ△BPC 中，PQ=1

2

BC.

又SP 是△ＯAD 的中位线,∴SP=12AD=1

2

ＢC.

∴SP=P Ｑ＝ＳQ.

故△SP Ｑ为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA 为一腰,且以A 为顶点,则A Ｏ=ＡＣ1＝2. 设C 1(,2x x ）,则得222(22)2x x +-=，解得85x =，得C 1（816

,55

）

若此等腰三角形以O Ａ为一腰,且以O 为顶点,则OC 2=OC ３=OA ＝2. 设C 2（'',2x x ），则得'2'22(2)2x x +=,

解得'x =得C ２

又由点Ｃ３与点Ｃ2关于原点对称,得Ｃ３

（ 若此等腰三角形以ＯA 为底边，则C 4的纵坐标为1,从而其横坐标为12，得C 4（1

,12

).

所以,满足题意的点Ｃ有４个，坐标分别为: (816,55），

,

（，C 4(1,12

） 6、（1）方程有两个实数根，则012

≠-m ，解方程得

161+=

m x ,13

2-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=??-=? 即?

??==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m .

(２)把2=m 代入两等式，化简得0242

=+-a a ，0242

=+-b b ， 当b a =时,22±==b a .

Q

N

M

P

A

F B

C

D E

当b a ≠时，a 、b 是方程0242

=+-x x 的两根，而△>０，由韦达定理得,

4=+b a ＞0,2=ab >0，则a >０、b >0．

①b a ≠，32=c 时,由于2

222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+

故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°,Ｓ△ＡＢＣ=12

1

=ab . ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32,故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+

>32,故能构成三角形.

S △ＡBC ＝1

2

? 综上，△AB Ｃ的面积为1或2129+.