10.第十章 习题解答
第十章 波动光学
选择题
10—1 两个LC 无阻尼自由振荡电路,它们的自感之比12:1:2L L =.电容之比
12:2:3
C C =,则它们的振荡频率之比12:νν为 （ C ） (A) 13; (B) 3 (C) 3; (D) 3.
10—2 平面电磁波的电场强度E 和磁场强度H
（ C ）
(A) 相互平行,相位差为0; (B)相互平行,相位差为π2
; (C) 相互垂直,相位差为0; (D)相互垂直,相位差为
π2. (
10—3 在杨氏双缝干涉实验中,若双缝间的距离稍微增大一点,其他条件不变,则干涉条
纹将 （ A ）
(A) 变密; (B) 变稀; (C) 不变; (D) 消失.
10—4 在杨氏双缝干涉实验中,为了使屏上的干涉条纹间距变大,可以采取的办法是
（ B ）
(A) 使屏靠近双缝; (B) 使双缝的间距变小;
(C) 使双缝的间距变大; (D) 改用波长较小的单色光入射.
10—5 如图所示,在杨氏双缝干涉实验中,屏幕E 上的P 处是明纹.若将缝2S 盖住,并在
1S 、2S 连线的垂直平分面上放一平面反射镜M ,其它条件不变,则此时 （ B ）
(A) P 处仍为明纹;
(B) P 处为暗纹;
(C) P 处光强介于明、暗纹之间;
#
(D) 屏幕E 上无干涉条纹.
10—6 真空中波长为λ的单色光,在折射率为n 的透明介质中,从点A 沿某路径传播到
点B ,其相位的变化为3π,则路径AB 的光程为
（ A ）
(A) 1.5λ; (B) 1.5n λ; (C) 3λ; (D) 1.5n
λ. 10—7 在透镜上镀一层折射率为n （比透镜的折射率大）的透明介质薄膜,要使波长为λ
的单色光增加透射,薄膜的最小厚度应为 （ B ） (A) 4n λ
; (B) 2n λ
; (C) n
λ; (D) n λ. 10—8 波长为λ的平行单色光垂直入射到宽度为b 的单缝上,衍射图样中第一级暗纹的
衍射角为o 30,则单缝宽度b 的大小为 （ C ） (A) 2
λ; (B) λ; (C) 2λ; (D) 3λ. 10—9 在单缝夫琅禾费衍射中,单缝宽度为2000nm ,入射光的波长为500nm .对于衍
射角为o 30的衍射光而言,单缝处波面被划分成半波带的数目为 （ C ）
—
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.
10—10 在光学仪器中,将透镜的孔径增大一倍,入射光波长减小一半,则其分辨率是原来
的
（ D ）
(A) 1倍; (B) 2倍; (C) 3倍; (D) 4倍.
10-11 一束平行白光垂直照射到透射光栅上,所得到的一级光谱按衍射角从小到大排列
的顺序是 （ A ）
(A) 紫黄红; (B) 红紫黄; (C) 黄红紫; (D) 红黄紫.
10—12 波长为550nm 的单色光垂直入射到光栅常量为6210m -?的光栅上,能够观
察到的谱线的最高级次为
（ B ）
(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.
10—13 两个偏振片叠在一起,它们偏振化方向之间的夹角为o 30.当自然光入射时,出射
光强与入射光强之比为 （ D ） (A) 18; (B) 34; (C) 14; (D) 38
. 10—14 一束光是自然光和线偏振光的混合光,让它垂直照射到偏振片上,若以入射光为
轴旋转偏振片,测得出射光强的最大值是最小值的5倍,则在该入射光中,自然光与线偏振光的
光强之比为 （ B ）
—
(A) 14; (B) 12
; (C) 1; (D) 2. 10—15 在两种介质的分界面上,当自然光以o 60角入射时,反射光是线偏振光,则折射角
为 （ B ）
(A) o 60; (B) o 30; (C) o 45; (D) o
56.
10—16 一束自然光以布儒斯特角0i 入射到玻璃片堆上,当玻璃片堆中的玻璃片足够多时,从玻璃堆出射的折射光近
似为 （ A ）
(A) 线偏振光; (B) 自然光; (C) 部分偏振光; (D) 以上皆非.
计算题
10—17 在杨氏双缝干涉实验中,设双缝间距为0.4mm ,在距双缝2m 远的屏上产生干涉条纹,若测得第四级明纹到中央明纹的距离为11mm .求:
(1) 相邻明纹间距;
】
(2) 入射光的波长.
解
(1) 双缝干涉条纹间距相等.因此相邻明纹间距为
11mm 2.75mm 4
k x x k ?=== (2) 由D x d
λ?=,可得入射光的波长为 3
370.410 2.7510 5.510m 550nm 2
d x D λ---?=?=??=?= 10—18 在杨氏双缝干涉实验中,双缝与屏之间的距离 1.2m D =,双缝间距0.45mm d =,若测得干涉条纹中相邻明纹间距为1.5mm .求入射光的波长λ.
解 由D x d
λ?=,可得入射光的波长为 3
370.4510 1.510m 5.6310m 563nm 1.2
d x D λ---?=?=??=?= 10—19 钠光在真空中波长为589.3nm ,垂直入射到一个空气劈尖上.实验观测到,第1
条暗纹与第51条暗纹之间的距离是10mm .求该劈尖的劈角θ.
.
解 第1条暗纹到第51条暗纹之间的条纹数为50N =.相邻二条纹之间的距离为l L N =,式中10mm l =.将此代入2nL
λθ=,可得劈尖的劈角为 9
3350589.310rad 1.4710rad 2211010
N nl λθ---??===???? 10—20 金属片夹在两块平板玻璃之间形成劈角θ很小的空气劈.现以波长600nm λ=的单色光垂直入射到空气劈上,测得相邻暗纹间距为11.010mm -?,若已知棱边到金属片的距离50mm D =.求:
(1) 金属片厚度d ;
(2) 如果金属片受热膨胀,则干涉条纹总数将增加还是减少
解 (1) 金属片的厚度为
93
44600105010m 1.510m 221 1.010D
d nL λ----???===???? (2) 干涉条纹总数为d N
e =?.式中相邻二条纹处膜厚之差2e n
λ?=是不变化的.由此可见,若金属片受热膨胀,其厚度d 增加,干涉条纹总数N 会随之成正比地增加.
10—21 在制作珠宝时,为了使人造水晶( 1.5n =)具有很强的反射本领,就要在其表面上镀一层一氧化硅(2n =).要使波长为560nm 的光强烈反射.求镀层的最小厚度.
解 若自然光中波长为560nm λ=的光强烈反射,则如图所示,对镀膜上下表面的反射光Ⅰ和Ⅱ,波长为λ的光的光程差是波长的整数倍,有
(
()2 1,22ne k k λ
?λ=+==
由此可得,镀膜厚度应为
()1 1,222e k k n λ??=-= ???
当1k =时,镀层厚度e 最小,为 98min 56010m 7.010m 0.07μm 442e n λ
--?===?=? 10—22 波长为589.3nm 的单色光垂直入射到牛顿环上,测得第k 个暗环直径为
4.20mm ,第10k +个暗环直径为6.80mm .求牛顿环装置中平凸透镜的曲率半径R .
解 平凸透镜的曲率半径为
22622221096.80 4.201022m 1.21m ()1010589.310
m n k k r r r r R m n λλ-+-??????-??? ? ?????--????====-?? 10—23 波长500nm λ=的绿色平行光,垂直入射到缝宽0.5mm b =的单缝上.缝后放一焦距为2m 的透镜.求:
(1) 透镜的焦平面上中央明纹的宽度;
]
(2) 若缝宽变为0.51mm ,中央明纹宽度减小多少
解 (1) 在透镜的焦平面上,中央明纹的宽度为
9
303500102 22m 4.0010m 0.510l f b λ
--?==??=?? (2)若缝宽变为0.51mm ,则中央明纹的宽度为
9
303500102 22 3.9210m 0.5110l f b λ
---?'==??=?'? 350
0(3.92 4.00)10m 810m l l --'-=-?=-? 中央明纹宽度减小了5810m -?.
10—24 单缝宽度0.5mm b =,透镜焦距0.5m f =,有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面上.若以波长650nm λ=的单色光垂直入射到单缝上,求第一级暗纹在屏上的位置.
解 屏上第一级暗纹中心到中央明纹中心的距离为
9
41365010 0.5 6.5010m 0.510x f b λ
---?==?=?? {
10—25 在单缝夫琅禾费衍射实验中,用波长1650nm λ=的平行光垂直入射到单缝上,已知透镜焦距 2.0m f =,测得第二级暗纹距中央明纹中心3.2mm .再用波长为2λ的单色光做实验,测得第三级暗纹距中央明纹中心4.5mm .求缝宽b 和波长2λ.
解 用波长为1650nm λ=的平行光垂直入射到单缝上,焦面上二级暗纹到中央明纹中心的距离为
1122 x f b
λ=
由此可得,单缝的缝宽为 9
4131222265010 =m 8.1310m 3.210
f b x λ---???==?? 用波长为2λ的单色平行光垂直入射到单缝上,三级暗纹到中央明纹中心的距离为
2233 x f b
λ=
由此可得,波长为 33
7232 4.5100.81310m 6.0910m 332
x b f λ---???===?? 10-26 已知地球到火星的距离为78.010km ?.在理想情况下,试估计火星上两物体间的距离为多大时,恰好能被地球上的观测者用5.08m 孔径的望远镜所分辨.设望远镜对波长为555nm 的光对敏感.
、
解 对555nm λ=的光,望远镜的最小分辨角为
9
70555101.22 1.22rad 1.3310rad 5.08D λ
θ--?===? 在火星上,正对着望远镜,最小分辨距离为
1073008.010 1.3310m 10.710m r l θ-==???=?
也就是说,在垂直于望远镜镜筒的方向上,火星上相距10.7km 以上的两个物体,能被这架望远镜分辨.
10—27 波长为589.3nm 的钠光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上.求第一级明纹的衍射角.
解 每毫米500条刻痕的光栅的光栅常数为1mm 500
b b '+=.根据光栅方程()sin b b k θλ'+=,可得第一级明纹的衍射角θ的正弦为
9
3
589.310sin 0.29465110500b b λ
θ--?==='+?
o 17.14θ=
10—28 波长632.8nm λ=的平行单色光垂直入射到光栅上,若测出第一级明条纹的衍射角o 30θ=.求该光栅每毫米的刻痕数.
-
解 根据光栅方程()sin b b k θλ'+=,可得该光栅的光栅常数为
9
63o o 632.810()m 1.265610m 1.265610mm sin sin 30sin 30
k b b λλθ---?'+====?=? 每毫米内的刻痕数为
33
6
1101107901.265610N b b ---??==='+? 10—29 一束具有两种波长1λ和2λ的平行光垂直入射到光栅上,在屏上将产生对应上述波长的两组条纹.已知1450nm λ=,2600nm λ=.求:
(1) 波长为1λ的第4级明纹与波长为2λ的第几级明纹重合;
(2) 若重合处对应的衍射角o
60θ=,则光栅常数d 为多少.
解 (1) 设波长为1λ的平行光垂直照射光栅的第4级明纹,与波长为2λ的平行光垂直照射光栅的第m 级明纹重合,则根据光栅方程()sin b b k ?λ'+=,可得 124m λλ=
12444503600m λλ?=
== :
即波长为2λ的第3级明纹与波长为1λ的第4级明纹重合.
(2) 若重合处对应的衍射角60θ=,则光栅常数为
9
16o o 4445010m 2.0810m sin sin 60sin 60
k b b λλθ--??'+====? 10—30 一束自然光通过两个偏振片后,光强变为原来的
14.求这两个偏振片的偏振化方
向之间的夹角.
解 设自然光的光强为0I ,则其通过的一片偏振片后,光强为
02
I .通过第二片偏振片后,光强为 20cos 2
I I α= 将014
I I =代入上式,可得两个偏振片的偏振化方向之间的夹角α的余弦为
cos 2
α=== 45α=
10—31 三块偏振片叠在一起,第二块偏振片与第一块偏振片偏振化方向之间的夹角为o 45,第三块偏振片与第二块偏振片偏振化方向之间的夹角亦为o 45.一束光强为0I 的自然光垂直入射到第一块偏振片上.求透过每一块偏振片后的光强.
）
解 自然光透过第一块偏振片后的光强为
012
I I =
透过第二块偏振片后的光强为 220021cos 45cos 4524
I I I I ==
= 透过第三块偏振片后的光强为 220032cos 45cos 4548
I I I I === 10—32 有两个偏振片,一个用做起偏器,一个用做检偏器.当它们偏振化方向之间的夹角为o
30时,一束自然光穿过它们,出射光强为1I .当它们偏振化方向之间的夹角为o 60时,另一束
自然光穿过它们,出射光强为2I ,且12I I =.求这两束自然光的光强之比.
解 设两束自然光的光强分别为01I 和02I ,则从检偏器出射的光强1I 和2I 分别为 20112022cos 302cos 602I I I I =
= 由12I I =,可得两束自然光的光强之比为
!
201202cos 6013
cos 30I I == 10—33 一束自然光通过两个偏振化方向成o 60角的偏振片,出射光强为1I .在这两个偏振片之间插入另一偏振片,它的偏振化方向与前两个偏振片的偏振化方向均成o 30角.求这束自然光透过这三个偏振片后的出射光强.
解 设自然光的光强为0I ,则通过第一个偏振片后的光强为02I .再通过与其偏振化方向成60角的第二个偏振片后,出射光强为
201cos 602
I I =
由此可得
1
022cos 60
I I = 若在这两个偏振片之间,插入与上述两个偏振片的偏振化方向均成o 30角另一偏振片,这
束自然光透过这三个偏振片后,出射光强为
2202cos 30cos 302I I =
将1
022cos 60I I =代入上式,可得
2212129cos 30cos 304cos 60I I I =
= :
10—34 一束光以o
58角从空气入射到一平板玻璃的表面上,反射光是线偏振光.求:
(1) 折射光线的折射角;
(2) 玻璃的折射率.
解 因为反射光是全偏振光,所以这束光是以布儒斯特角0i 入射的,即o 058i =.
(1) 由o 0090i γ+=,可得折射光的折射角为 o o o o 0090905832i γ=-=-=
(2 )由布儒斯特定律201
tan n i n =,且空气的折射率11n ≈,可得这种玻璃的折射率为 o 210tan 1tan 58 1.60n n i ==?=
10—35 一束光以布儒斯特角入射到平板玻璃的上表面,试证明在玻璃下表面的反射光亦为偏振光.
证 如图所示,当一束光从折射率为1n 的介质以布
儒斯特角0i 进入折射率为2n 玻璃时,反射光为偏振光,且
201
tan n i n = 折射角0γ与入射角0i 之和为o 90,其正切为
o 1002
tan tan(90)n i n γ=-= 由几何关系可知,进入玻璃的光对下表面的入射角0i γ'=,因此有
12
tan n i n '= i '亦为布儒斯特角,玻璃下表面的反射光亦为偏振光.