湖北省武汉市2021届新高考三诊数学试题含解析

湖北省武汉市2021届新高考三诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )

A ．1

B ．2

C D

【答案】D 【解析】 【分析】

设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】

由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，

可得222

337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，

5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，

设公比为q ，则()2

237q a a 4q 8+==，

则q =

负的舍去)，

故选D ． 【点睛】

本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．

2．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ?为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[

)1,+∞ B ．()1,+?

C ．(),1-∞

D ．(],1-∞

【答案】B 【解析】

命题p ：4a ≤，p ?为4a >，又p ?为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>?> 3．已知随机变量X 的分布列是

则()2E X a +=（ ） A ．

53

B ．

73

C ．

72

D ．

236

【答案】C 【解析】 【分析】

利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】

由分布列的性质可得

11123

a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =?+?+?=，

因此，()()11517222266362

E X a E X E X ?

?+=+=+=?+= ??

?. 故选：C. 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查． 4．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题

C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”

D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <” 【答案】B 【解析】 【分析】

解不等式，可判断A 选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B 选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

解不等式21a <，解得11a -<<，则命题p 为假命题，A 选项错误； 命题p 的逆命题是“若21a <，则1a <”，该命题为真命题，B 选项正确； 命题p 的否命题是“若1a ≥，则21a ≥”，C 选项错误； 命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a ≥”，D 选项错误．

本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题. 5．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3

π??

??

?

上单调递增 B ．直线8

x π=

需是函数()y f x =图象的一条对称轴

C ．点,04π??

???

是函数()y f x =图象的一个对称中心

D ．将函数()y f x =图象向左平移需8

π

个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】

利用辅助角公式化简函数得到())4

f x x π

=-，再逐项判断正误得到答案.

【详解】

()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=-=-

A 选项，132(,)4413

220,x x ππππ??

∈? ?

?

?

-∈-函数先增后减，错误 B 选项，208

4

x x π

π

=?-=不是函数对称轴，错误 C 选项，24

4

4

x x π

π

π

=

?-

=

，不是对称中心，错误

D 选项，图象向左平移需8

π

个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确

故答案选D 【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.

6．若实数,x y 满足不等式组2,

36,0,x y x y x y +≥??

-≤??-≥?

则3x y +的最小值等于（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】A

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】

解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥??

-≤??-≥?

表示的平面区域（如图示：阴影部分）

由200

x y x y +-=??-=?得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =?+=． 故选：A ．

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．

7．设12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲

线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．)

31±

C ．)

31±

D ．5【答案】C 【解析】 【分析】

如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，2

2a PN c

=

，

12ab

F N c

=

，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】

如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，

121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，

在1Rt MOF ?中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c

=，1

2ab F N c =， 根据勾股定理：2

42

242162a ab a c c c ??

=+- ??

?，解得31b a =+. 故选：C .

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．集合{}2

|30A x x x =-≤，(){}

|lg 2B x y x ==-，则A B ?=( )

A ．{}|02x x ≤<

B ．{}|13x x ≤<

C ．{}|23x x <≤

D ．{}|02x x <≤

【答案】A 【解析】 【分析】

解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】

由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以

{|02}A B x x ?=≤<，故选A ．

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.

9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;

② 直线FG 与直线1A D 所成角为60?;

③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为

56

. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；

连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；

直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60?；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：

是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：

三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=

23115

22131=2222

BEM ABE EDM ABMD S S S S ??+?-??-?-?=-梯形， 155

1326F EBM

V -=??=．所以三棱锥B EFG -的体积为56

，④正确； 故选：C ． 【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．

10．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若

e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）

A ．3y x =

B ．2y x =±

C ．52

y x =± D ．22

y x =±

【答案】A 【解析】 【分析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】

抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2， 又e ＝p ，所以e c

a

==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ． 【点睛】

本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 11．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则

x y

z

+=（ ）

A ．52

-

B ．2-

C ．2

D ．

72

【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，可得2x z y +=，2

z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2

z y =-，代入即得解 【详解】

由x ，y ，z 成等差数列， 所以2

x z

y +=

，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2

z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，

所以2

20x x

z z

??+-= ???，解得1x z =或2x z =-，

因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，

所以2x z =-，此时2z

y =-， 所以15

222

x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

12．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，

1log a

b 的大小关系为（ ）

A ．1log log b a

b a

a b a b >>>

B ．1log log a b

b a

b a b a >>>

C ．

1log log b a

b a

a a

b b >>> D ．

1log log a b

b a

a b a b >>> 【答案】D 【解析】

因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以

1

1a

>,1log 0a b <.

综上

1log log a b

b a

a b a b >>>；故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数()()()(

)()2log 2242x x f x f x x ?->?

=?

+≤??，则()5f -=__________；()()5f f -=__________.

【答案】0 1 【解析】 【分析】

根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】

函数()()()(

)()2log 2242x x f x f x x ?->?=?+≤??， 所以

()()()5130f f f -=-==，

()()()()5041f f f f -===.

故答案为：0；1. 【点睛】

本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.

14．已知点F 是抛物线2

2y x =的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若17

||||4

MF NF +=

，则线段MN 中点的纵坐标为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果. 【详解】

抛物线2

2y x =的标准方程为：2

12

x y =

，则抛物线的准线方程为1

8y =-，设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，

则1117

||||884M N MF NF y y +=+++=，所以4M N y y +=，则线段MN 中点的纵坐标为22

M

N y y +=. 故答案为：2 【点睛】

本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.

15．已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*

n ∈N ，若

()2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ??

??-??

的前n 项和为n S ，

则[]20003S =_________ 【答案】4 【解析】

【分析】

根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得1n a =，21n b n =+，2

1n c n n =++，进而得到

221

2n n n a c b n

=-，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.

【详解】

由题意，函数2

()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*n ∈N ，

可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，2

21()()(67)x f x f x e x x '==++

232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++L L

又由()2

()x

n n

n n f x e

a x

b x

c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，

数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，所以22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=L ， 所以2121321(1)(42)

()()()412

n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+

=++L ，

所以22

2211

22(1)(22)n n n a c b n n n n ?==-++-+，

又由2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n

>=-<=-≥++--， 可得数列1{

}(1)n n +的前n 项和为111111

1122311

n n n -+-++-=-++L ，

数列1{

}(1)n n -?的前n 项和为11111131

12334121

n n n +-+-++-=-++L ，

所以数列22n n n a c b ????-??

的前n 项和为n S ，满足11

11213n

S n n <--<++， 所以2000113(1)32033(0120120)S -

<-<，即200033

332920012001

S <--<， 又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，所以[]200034S =. 故答案为：4. 【点睛】

本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法

求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16．若复数z 满足23z z i +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =________. 【答案】1i +