2020年全国各地数学中考模拟试题精选50题(2)——代数式

2020年全国各地数学中考模拟试题精选50题（2）——代数式

一、单选题

1.（2020·北京模拟）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够符合题意表示该图形面积关系的是（）

A. (a+b)2=a2+2ab+b2

B. (a+b)2=a2+2ab?b2

C. (a?b)2=a2?2ab+b2

D. (a?b)2=a2?2ab?b2

2.（2020·门头沟模拟）如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P的坐标是( )

A. (26，0)

B. (26，1)

C. (27，1)

D. (27，2)

3.（2020·海曙模拟）已知代数式x2+3x+5的值为7，那么代数式3x2+9x﹣2的值是（）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

4.（2020·宝安模拟）定义一种新运算：（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，如（2，5）（1，3）=2×1+5×3=17，若（1，x）（2，-5）=7，则x=（）

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

5.（2020·龙华模拟）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形，已知点P（m，n）是抛物线y=x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）

A. -12

B. 0

C. 4

D. 16

6.（2020·硚口模拟）观察下列算式：a1=√1×2×3×4+1=5，a2=√2×3×4×5+1=11，

a3=√3×4×5×6+1=19，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为a n，则1

a1?1+

1 a2?1+1

a3?1

+?+1

a7?1

的值是（）

A. 1

2B. 121

360

C. 539

1080

D. 119

240

7.（2020·江岸模拟）（问题背景）“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法.利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题.

（迁移运用）计算

1

1+2+1

1+2+1

1+2+1

1+2+?

的值

解：设原式=x，则可分析得：x=1

1+2+x

根据上述方程解得：x1=?3+√13

2，x2=?3?√13

2

而原式>0，故：原式=x1=?3+√13

2

（联系拓展）2+22+23+24+25+26+?+220=___________

A. 221?1

B. 221?2

C. 222?1

D. 222?2

8.（2020·沙河模拟）老王面前有两个容积相同的杯子，杯子甲他装了三分之一的葡萄酒，杯子乙他装了半杯的王老吉凉茶，老张过来将装有凉茶的杯子乙倒满了酒，老王又将杯子乙中饮料倒一部分到杯子

甲，使得两个杯子的饮料分量相同．然后老王让老张先选一杯一起喝了，如果老张不想多喝酒，那么他应该选择（ ）

A. 甲杯

B. 乙杯

C. 甲、乙是一样的

D. 无法确定 9.（2020·邯郸模拟）观察等式： 2+22=23?2 ； 2+22+23=24?2 ； 2+22+23+24=25?2??? 已知按一定规律排列的一组数： 250 、 251 、 252 、 ??? 、 299 、 2100 ．若 250=a ，用含 a 的式子表示这组数的和是（ ）

A. 2a 2?2a

B. 2a 2?2a ?2

C. 2a 2?a

D. 2a 2+a 10.（2020·淮南模拟）当 x =1 时，代数式 ax 3?bx +4 的值是7，则当 x =?1 时，代数式 ax 3?bx +4 的值是（ ）

A. ?7

B. 7

C. 3

D. 1 11.（2020·硚口模拟）已知整数 a 1 、 a 2 、 a 3 、 a 4 、……满足下列条件： a 1=0 ， a 2=?|a 1+1| ， a 3=?|a 2+2| ， a 4=?|a 3+3| ，……， a n+1=?|a n +n| ( n 为正整数)依此类推，则 a 2020 的值为（ ）

A. ?1008

B. ?1009

C. ?1010

D. ?1011 12.（2020·安庆模拟）某校九年级3月份中考模拟总分760分以上有300人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在4月份中考模拟总分760分以上人数比3月份增长5%，且5，6月份的760分以上的人数按相同的百分率x 继续上升，则6月份该校760分以上的学生人数（）.

A. 300(1+5%)(1+2x)人

B. 300(1+5%)(1+x)2 人

C. (300+5%)(300+2)人

D. 300(1+5%+2)人 13.（2020·武汉模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比

如在 1+12+12+12+12+ …中，“…”代表按规律不断求和，设 1+12+12+12+1

2+???=x .则有 x =

1+12x ，解得 x =2 ，故 1+12+122+123+124+???=2 .类似地 1+132+134+1

36+??? 的结果为（ ） A. 43 B. 98 C. 6

5 D. 2 14.（2020·武汉模拟）在研究百以内的整数时，老师先将1个圆片分别放在个位和十位组成2个不同的数1和10，再将2个圆片分别放在个位和十位组成3个不同的数2,11和20.按照这个规律，如果老师现在有11个圆片分别放在个位和十位会组成( )个不同的数.

A. 8

B. 10

C. 12

D. 14 15.（2020·安庆模拟）某企业今年1月份产值为a 万元，2月份比1月份减少了15%，3月份比2月份增加了5%，则3月份的产值为（ ）

A. (a ＋15%)(a －5%)万元

B. (a －15%)(a ＋5%)万元

C. a(1＋15%)(1－5%)万元

D. a(1－15%)(1＋5%)万元

16.（2020·宜兴模拟）一列数a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， 其中 a 1=1

2

， a n =11?a n?1

（n 为不小于2的整数），则 a 2017= （ ）

A. 2

B. 2

C. 1

D. 1

2

17.（2020·石家庄模拟）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号 max{a,b} 表示a ，b 中的较大值，如： max{2,4}=4 ．因此， max{?2,?4}=?2 ；按照这个规定，若 max{x,?x}=

x 2?3x?2

2

，则x 的值是（ ）

A. －1

B. －1或 5+√332

C. 5+√332

D. 1或 5?√332

18.（2020·石家庄模拟）如图1，图2是甲、乙两位同学设置的“数值转换机”的示意图，若输入的 m =?2 ，则输出的结果分别为（ ）

A. 9，23

B. 23，9

C. 9，29

D. 29，9

19.（2020·绵阳模拟）四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2019时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）

A. 小沈

B. 小叶

C. 小李

D. 小王

20.（2020·绵阳模拟）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有

n个数，且两端的数均为1

n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）

为（）

A. 1

60B. 1

168

C. 1

280

D. 1

252

21.（2020·重庆模拟）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有（）个“O”

A. 28

B. 30

C. 31

D. 34

22.（2020·河南模拟）如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为√5的平行四边形.在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）

A. 28个

B. 42个

C. 21个

D. 56个

23.（2020·青山模拟）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2，…按如图的方式放置，A1、A2、

A3、…和点C1、C2、C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是（）

A. (63，32)

B. (64，32)

C. (32，16)

D. (128，64)

24.（2020·武昌模拟）如图所示，将形状、大小完全相同的“ ●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“ ●”的个数为a1，第2幅图形中“ ●”的个数为a2，第3幅图形中“ ●”的个数为

a3，…，以此类推，则1

a1

+1

a2

+1

a3

+?+1

a10

的值为（）

A. 175264

B. 175132

C. 1124

D. 11

12

25.（2020·衢江模拟）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 n 的值为（ ）

A. 491

B. 1045

C. 1003

D. 533 二、填空题

26.（2020·朝阳模拟）下图中的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：________．

27.（2020·银川模拟）下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成.其中，第①个图形由8个圆和1个正三角形组成，第②个图形由16个圆和4个正三角形组成，第③个图形由24个圆和9个正三角形组成，……则第________个图形中圆和正三角形的个数相等 .

28.（2020·武威模拟）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a 1 ， 第二个三角数记为a 2…，第n 个三角数记为a n ， 计算a 1+a 2 ， a 2+a 3 ， a 3+a 4 ， …由此推算a 399+a 400＝________.

29.（2020·潮南模拟）若代数式x 2+x+3的值的值为7，则代数式 14x 2+1

4x ?5 的值为________ .

30.（2020·锦江模拟）定义运算x ★y ＝ xy

x+y ，则共

2020★2020★2020★…2020★2020★︸共100个★

100个★的计算结果是________．

31.（2020·黄冈模拟）已知 x =3+√2 ，则代数式 (x ?3)2?2(x ?3)+1 的值为________. 32.（2020·藤县模拟）用同样大小 的按如图所示的规律摆放，则第20个图形有________枚.

33.（2020·云梦模拟）观察数表： 第1行 1 2 3

第2行 4 5 6 7 8

第3行 9 10 11 12 13 14 15

第4行 16 17 18 19 20 21 22 23 24 … …

根据数表排列的规律，第n 行从右向左数的第5个数是________.（用正整数n 表示）

34.（2020·宁波模拟）请你写出一个关于a，b的代数式，使得这个代数式的值等于max{a，b}（a，b中较大的一个数），这个代数式可以为________（写出一个即可）.

35.（2020·萧山模拟）已知x2-x-1=0，则x4-3x+4=________。

36.（2020·顺德模拟）如果x2﹣x﹣1＝0，那么代数式2x2﹣2x﹣3的值是________．

37.（2020·濠江模拟）一组数据为：1，√3，√6，√10，√15，...，则第9个数据是________．

38.（2020·澄海模拟）一组按规律排列的式子：a2，a4

3，a6

5

，a8

7

，……．按这样的规律，第n

（n为正整数）个式子为________．

39.（2020·潮阳模拟）如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n＝1，

分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y＝1

x （x＞0）的图象于点B1，

B2，B3，…B n，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……，△B6P6B7的面积为S6，则S1＋S2＋S3＋…＋S6＝________。

40.（2020·恩施模拟）将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第________行左起第________个数.

三、综合题

41.（2020·柳州模拟）我们用[x]来表示不超过实数x的最大整数，如[0.2]=0,[√2]=1.

（1）若[x]=1，则实数x所有可能取值的范围是________.

（2）求方程[x]+[y]=1(x≥0,y≥0)的解.

42.（2020·广东模拟）观察以下等式：

第1个等式：1

1?1

1×2

+1

2

=1，第2个等式：1

2

?1

2×3

+2

3

=1，

第3个等式：1

3?1

3×4

+3

4

=1，第4个等式：1

4

?1

4×5

+4

5

=1…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式________；

（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式（用含n的等式表示），并证明．

43.（2020·衡水模拟）请同学们仔细阅读下列步骤，完成问题：

①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；

②交换百位数字与个位数字，得到一个三位数；

③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；

④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；

⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．

问题：

（1）③中的三位数是________；④中的三位数是________；⑤中的结果是________．

（2）在草稿纸上试一个不同的三位数，看看结果是否都一样？如果一样，请你用含a、b的代数式表示这个三位数，解释其中的原因．

44.（2020·包河模拟）观察以下等式：

第1个等式：2

1?2

2

=2

2

；第2个等式：3

2

?2

3

=5

6

；

第3个等式：4

3?2

4

=10

12

；第4个等式：5

4

?2

5

=17

20

；…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：________

（2）写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．

45.（2020·平度模拟）【问题提出】

如图，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则移动金属片，

规则1：每次只能移动一个金属片；

规则2：较大的金属片不能放在较小的金属片上面．

则把这n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？

我们从移动1，2，3，4个金属片入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数。

探究一：

当n=1时，只需要把金属片从1号针移到3号针，用符号(13)表示，共移动了1次。(说明：(13)表示把金属片从1号针移到3号针，以此类推)

探究二：

当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，移动顺序是(本次移动我们借助2号针作为“中间针”)：

(Ⅰ)把第1个金属片从1号针移到2号针；

(Ⅱ)把第2个金属片从1号针移到3号针；

(Ⅲ)把第1个金属片从2号针移到3号针。

用符号表示为：(Ⅰ)(12)；(Ⅱ)(13)；(Ⅲ)(23)，共移动了3次。

探究三：

当n=3时，移动顺序是：

(Ⅰ)把上面两个金属片从1号针移到2号针；

(Ⅱ)把第3个金属片从1号针移到3号针；

(Ⅲ)把上面两个金属片从2号针移到3号针。

（1）其中(Ⅰ)和(II)都需要借助合适的“中间针”，用符号表示为：(Ⅰ)：(13)(12)(32)；(Ⅱ) (13)；

(Ⅲ)________；共移动了________次。

（2）探究四：

当n=4时，移动顺序是：

(Ⅰ)把上面________个金属片从1号针移到2号针；

(Ⅱ)把第________个金属片从1号针移到3号针；

(Ⅲ)把上面________个金属片从2号针移到3号针。

（3）完成(Ⅰ)需移动________次，完成(Ⅲ)需移动________次，共移动了________次。

……

（4）【问题解决】

根据探究一~四，以此类推，你能发现移动规律并对得出的结论进行归纳猜想吗？请你直接写出猜想结果：若把这n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动________次。

46.（2020·安庆模拟）有下列等式：

第1个等式：3

4=1?1

4

；第2个等式，3

7

=1

2

?1

14

；第3个等式：3

10

=1

3

?1

30

；第4个等式：

3 13=1

4

?1

52

；…

请你按照上面的规律解答下列问题：

（1）第5个等式是________；

（2）写出你猜想的第n个等式；（用含n的等式表示），并证明其正确性.

47.（2020·贵阳模拟）某厂销售一种茶壶和茶杯，茶壶每只定价40元，茶怀每只定价5元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①茶壶和茶杯都按定价的90%付款；②买一个茶壶送一个茶杯.现某客户要到该厂购买x个茶壶（x≥1），茶杯个数是茶壶数的4倍少5.

（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买.需付款________元；（用含x的代数式表示）

（2）若x=40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

图形

第1格的“特征多项式”为4x+y；

第2格的“特征多项式”为9x+4y．

回答下列问题：

（1）第3格的“特征多项式”为________，

第4格的“特征多项式”为________，

第n格的“特征多项式”为________；

（2）若第1格的“特征多项式”的值为?10，第2格的“特征多项式”的值为?16，求x,y的值；（3）在（2）的条件下，第n格的特征多项式的值为?304

7

，则直接写出n的值；若没有，请说明理由．

49.（2020·定兴模拟）如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．

（1）尝试：

第3次画线后，分割成________个互不重叠的正方形；

第4次画线后，分割成________个互不重叠的正方形．

（2）发现：第n次画线后，分割成________个互不重叠的正方形；并求第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数________．

（3）探究：若干次画线后，能否得到1001个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．

50.（2020·北京模拟）阅读下面的材料：

如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．

例题：证明函数f（x）＝6

x

（x＞0）是减函数．

证明：设0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝6

x1?6

x2

=6x2?6x1

x1x2

=6(x2?x1)

x1x2

．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴6(x2?x1)

x1x2

＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）= 6

x

（x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f(x)=1

x2

+2x(x<0)．

f（﹣1）＝1

(?1)+（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝1

(?1)

+（﹣4）＝?15

4

．

（1）计算：f（﹣3）＝________，f（﹣4）＝________；

+2x(x<0)是________函数（填“增”或“减”）；（2）猜想：函数f(x)=1

x

（3）请仿照例题证明你的猜想．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【解析】【解答】由图可知，大正方形面积S的两种求法如下：

方法一，S=(a+b)2

方法二，S=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2

则有(a+b)2=a2+2ab+b2

故答案为：A．

【分析】根据大正方形面积S的两种求法：方法一，S等于边长的平方；方法二，S等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，由此即可得出答案．

2.【答案】C

【解析】【解答】由图可归纳出以下两条规律：（n为正整数）（1）第n次运动后，动点P的横坐标为n（2）在运动过程中，动点P的纵坐标是以2,0,1,0为循环变换的

则经过第27次运动后，动点P的横坐标为27

∵27÷4=6 (3)

∴经过第27次运动后，动点P的纵坐标与第3次运动后，动点P的纵坐标相同，即为1

综上，所求的动点P的坐标是(27,1)

故答案为：C．

【分析】根据图形中前几次运动后，动点P的坐标，归纳类推出规律，由此即可得出答案．

3.【答案】C

【解析】【解答】解：∵x2+3x+5的值为7，

∴x2+3x＝2，

代入3x2+9x﹣2，得3（x2+3x）﹣2＝3×2﹣2＝4.

故答案为：C.

【分析】观察题中的两个代数式x2+3x+5和3x2+9x﹣2，可以发现，3x2+9x＝3（x2+3x），因此可整体求出x2+3x的值，然后整体代入即可求出所求的结果.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：原式可变为

2-5x=7

x=-1

故答案为：A.

【分析】根据定义的新运算，得到关于x的式子，求出x的值即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线上的点

∴n=m2+k

∴k=n-m2

∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16

∴2|m|+2|n|=|mn|=16

∴|m|=4，|n|=4

当n≥0时，k=n-m2=4-16=-12

当n＜0时，k=n-m2=-4-16=-20

故答案为：A.

【分析】根据点P在抛物线上，即可得到关于k的式子，根据矩形的额面积即可得到m和n的绝对值，由n的取值分类讨论，即可得到答案。

6.【答案】C

【解析】【解答】解：∵a1=√1×2×3×4+1=5=1×4+1，

a2=√2×3×4×5+1=11=2×5+1，

a3=√3×4×5×6+1=19=3×6+1，…，

观察以上各式发现规律，由规律可知：a4=4×7+1，a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1

a n=n·(n+3)+1

验证：a4= √4×5×6×7+1=29=4×7+1

故依次为：a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1

∴a n =n·(n+3)+1 ∴

1a 1?1+1

a 2?1+1a 3?1

+?+

1

a 7?1

= 11×4+12×5+1

3×6+1

4×7+15×8+1

6×9+1

7×10

= 1

3(1-1

4+12-1

5+13-1

6+14-1

7+15-1

8+16-1

9+1

7-1

10) = 13(1+12+13-18-19-110) =

539

1080

故答案为：C

【分析】先通过观察找出第n 个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照裂项法展开计算即可. 7.【答案】 B

【解析】【解答】解：设 S =2+22+?+220 ， 2S =22+23+?+221 ， 则 S =2S ?S =221?2 ， 故答案为：B.

【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令 S =2+22+?+220 ， 2S =22+23+?+221 ，作差即可求解.

8.【答案】 B

【解析】【解答】实际求的是哪个酒精含量少, 设甲杯中的酒精含量为a, 则一杯酒精含量为3a,

在乙中加了半杯酒后,乙杯酒精含量为1.5a,

要使两个杯子的饮料分量相同,则要从乙杯中倒 1

3 到甲中, 甲中含有酒精是1.5a,乙是a, 所以乙杯酒精含量较少. 故答案为：B.

【分析】老张不想多喝酒,其实是在求那个杯子里的酒精含量少,根据题意,设甲杯含酒精为a,用a 将其它杯子的酒精表示出来,然后比较选择即可. 9.【答案】 C

【解析】【解答】250＋251＋252＋...＋299＋2100 ＝a ＋2a ＋22a ＋ (250)

＝a ＋（2＋22＋…＋250）a ， ∵ 2+22=23?2 ， 2+22+23=24?2 ，

2+22+23+24=25?2 ， …，

∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a ＋（2＋22＋…＋250）a ＝a ＋（251－2）a ＝a ＋（2 a －2）a ＝2a 2－a ， 故答案为：C.

【分析】根据题意，一组数： 250 、 251 、 252 、 ??? 、 299 、 2100 的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a ＋（2＋22＋…＋250）a ，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案. 10.【答案】 D

【解析】【解答】解：把x=1代入得：a-b+4=7，即a-b=3； 则当x=-1时，原式=-a+b+4=-3+4=1． 故答案为D ．

【分析】先把x=1代入代数式得到a-b=3，将x=-1代入计算即可解答． 11.【答案】 C

【解析】【解答】解：由题意可知：a1=0；a2=?|0+1|=?1；a3=?|?1+2|=?1；a4=?|?1+3|=?2；a5=?|?2+4|=?2……

（2020－1）÷2=1009 (1)

故a2020=?(1009+1)=?1010

故答案为：C.

【分析】根据题意，分别求出a1、a2、a3、a4、a5，然后总结规律即可推出a2020的值. 12.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意得4月份760分以上的人数为：300（1+5%），

则6月份760分以上的人数为：300（1+5%）（1+x）2.

故答案为：B.

【分析】根据题意先表示出4月份760分以上的人数，再根据6月份760分以上的人数=4月份760分以上的人数×（1+增长率）2的列式.

13.【答案】B

【解析】【解答】设1+1

32+1

34

+1

36

+???=x，

则1+1

32+1

34

+1

36

+???=1+1

32

(1+1

32

+1

34

+1

36

+???)，

∴x=1+1

32

x，

解得，x=9

8

，故答案为：B.

【分析】设1+1

32+1

34

+1

36

+???=x，仿照例题进行求解.

14.【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意，11个圆片分成个数小于10的两组有四种情况，分别是2个和9个、3个和8个、4个和7个，5个和6个，然后每种可以交换放在个位和十位，故可以表示数为：29、92、38、83、56、65.共8个两位数.

故答案为：：A.

【分析】正确理解题意，直接通过列举法即可求解.

15.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意，得

3月份的产值为：a(1－15%)(1＋5%)万元

故答案为：D.

【分析】利用“变化前的量×（1±变化率）=变化后的量”依次求出2月份和3月份的产值即可。

16.【答案】D

【解析】【解答】a1=1

2

；

a2=1

1?a1=1

1?1

2

=2；

a3=1

1?a2=1

1?2

=?1；

a4=1

1?a3=1

1?(?1)

=1

2

；

??

依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，∵2017÷3=672??1，

∴a2017= a1= 1

2.

故答案为：D.

【分析】把a1，a2，a3代入代数式计算，找出规律，根据规律计算.

17.【答案】B

【解析】【解答】解：当x>0时，有x2?3x?2

2

=x，

解得x1=5+√33

2，x2=5?√33

2

（舍去），

x<0时，有x2?3x?2

2

=?x，解得，x1=?1，x2=2（舍去）．故答案为：B.

【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．

18.【答案】D

【解析】【解答】解：甲的“数值转换机”：

当m=?2时，（-2）2+52=4+25=29，

乙的“数值转换机”:

当m=?2时，[（-2）+5]2=32=9，

故答案为：D.

【分析】根据题意分别把m=-2代入甲、乙两位同学设置的“数值转换机”求值即可．

19.【答案】C

【解析】【解答】由图可知，

第一排所报数字有4个，以后每排3个，偶数排从大到小，前三个报数；奇数排从小到大，后三个报数；

∵（2019﹣4）÷3＝2015÷3＝671…2，

∴2019在第673排第2个数字，

∴得红花的小朋友是小李，

故答案为：C．

【分析】根据图中的数据，可以发现第一排所报数字有4个，以后每排3个，偶数排从大到小，前三个报数；奇数排从小到大，后三个报数；从而可以得到2019在第多少排第几个数字，进而得到哪个小朋友可以得到一朵红花．

20.【答案】B

【解析】【解答】解：寻找规律：

∵第n行有n个数，且两端的数均为1

n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，

∴第6，7，8行从左往右第1个数分别为1

6，1

7

，1

8

；

第7，8行从左往右第2个数分别为1

6?1

7

=1

42

，1

7

?1

8

=1

56

；

第8行从左往右第3个数分别为1

42?1

56

=1

168

．

故答案为：B．

【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于1

n?2?1

n

的结果再乘1

n?1

，再把n的值代入即可

得出答案．

21.【答案】C

【解析】【解答】解：设第n个图形共有a n个“o”（n为正整数），

观察图形，可知：a1＝4＝1+3，a2＝7＝1+2×3，a3＝10＝1+3×3，a4＝13＝1+4×3，…，

∴a n＝3n+1（n为正整数），

∴a10＝31.

故答案为：C.

【分析】设第n个图形共有a n个“o”（n为正整数），观察图形，根据各图形中“o”个数的变化可得出变化规律“a n＝3n+1（n为正整数）”，再代入n＝10即可求出结论.

22.【答案】B

【解析】【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，

在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，

在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，

……

∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，

故答案为：B.

【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1＋2＋3＋…＋n?2）个，据此可得.

23.【答案】A

【解析】【解答】解：把x=0代入y=x+1中得y=0+1=1 ∴OA1=1

∴正方形A1B1C1O的边长为1，OC1=1

∴B1（1，1）

同理可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），B5（31，16），B6（63，32）。

故答案为：A.

【分析】利用求函数的值和正方形的性质求解即可。

24.【答案】A

【解析】【解答】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，

…，a

n

=n(n+2)；

∴1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+?+

1

a10

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+?+

1

10×12

=

1

1×3

+

1

3×5

+?+

1

9×11

+

1

2×4

+

1

4×6

+?+

1

10×12

=

1

2

(1?

1

11

)+

1

2

(

1

2

?

1

12

)

=175

264

，

故答案为：A.

【分析】首先根据图形中“ ●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可.

25.【答案】B

【解析】【解答】解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；

则2n-1=21，解得n=11

左下方的数字为：20，21，22，…2n-1；

令n=11可得：m=211-1=1024

∴n=m+21=1024+21=1045

故答案为：B.

【分析】观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，

21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可.

二、填空题

26.【答案】答案不唯一，如m(a+b)=ma+mb

【解析】【解答】解：m(a+b)=ma+mb.

故答案为：m(a+b)=ma+mb.

【分析】由题意直接根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案．

27.【答案】8

【解析】【解答】第①个图形由3×4-4=8个圆和1个正正三角形du组成，

第②个图形由5×4-4=16个圆和22=4个正三角形组成，

第③个图形由7×4-4=24个圆和32=9个正三角形组成，

…

所以第n个图形由（2n+1）×4-4=8n个圆和n2个正三角形组成，

∵圆和正三角形的个数相等，

∴8n= n2，

解得n=8，或n=0（不合题意，舍去）.

故答案是8

【分析】根据前面3个图形的关系可以推出第n个图形由（2n+1）×4-4=8n个圆和n2个正三角形组成，代入可得结果

28.【答案】160000

【解析】【解答】解：∵a1+a2=4=22；a2+a3=3+6=9=32；a3+a4=6+10=16= 42；…

∴a n+a n+1=(n+1)2；

∴a399+a400=4002=160000.

故答案为：160000.

【分析】先计算前3组数据，找规律得到一般式，然后令n=399计算得出.

29.【答案】-4

【解析】【解答】根据原式可得出x2+x=7-3=4，即代数式为1

4（x2+x）?5=1

4

×4?5=?4

【分析】根据代数式化简可得出x2+x的值，代入代数式即可得出结果。

30.【答案】20

【解析】【解答】解：∵x★y＝

xy

x+y

，

∴2020★2020＝2020

2，2020★2020★2020＝2020

2

★2020＝2020

3

，

2020★2020★2020★2020＝2020

3★2020＝2020

4

，…，

∴共100个★＝2020

101

＝20

故答案为20．

【分析】根据定义逐项求出部分结果，归纳规律，然后按规律解答即可．

31.【答案】3?2√2

【解析】【解答】解：把x=3+√2代入代数式得：

(x?3)2?2(x?3)+1

=(3+√2?3)2?2(3+√2?3)+1

=2?2√2+1

=3?2√2.

故答案为：3?2√2.

【分析】直接把x=3+√2代入代数式计算即可.

32.【答案】800

【解析】【解答】第1 个图形五角星的个数：2=12+12；

第2个图形五角星的个数：8=22+22；

第3个图形五角星的个数：18=32+32；

由此可得出：

第20个图形五角星的个数：202+202=400+400=800；

故答案为：800.

【分析】将每个图形从中间一分为二，得到每个图形的两部分均为序数的平方，由此可得结论.

33.【答案】n2+2n﹣4

【解析】【解答】解：∵第1行的数的个数是3=2×1+1，

第2行的数的个数是5=2×2+1，

第3行的数的个数是7=2×3+1，

第4行的数的个数是9=2×4+1，

…，

∴第n行的数的个数是2n+1，

∴前n行的数的总个数是：[3+（2n+1）]×n÷2=（2n+4）×n÷2=n2+2n

∴第n行从右向左数的第5个数是n2+2n﹣4.

故答案为：n2+2n﹣4.

【分析】由式子可得每行的个数，即可求出前n行的总和，第n行从右向左数的第五个数即为总数减4.

34.【答案】a+b

2+ |a?b|

2

（答案不唯一）

【解析】【解答】解：这个代数式可以是a+b

2+ |a?b|

2

，

故答案为：a+b

2+ |a?b|

2

（答案不唯一）

【分析】根据这个代数式的值等于max{a，b}（a，b中较大的一个数），可使此代数式中包含式子|a﹣

b|，据此求解可得.

35.【答案】6

【解析】【解答】解：∵x2-x-1=0

∴x2=x+1，

∴原式=（x+1）2-3x+4=x2+2x+1-3x+4=x+1-x+5=6

故答案为：6.

【分析】将已知方程转化为x2=x+1，再将原代数式转化为（x2）2-3x+4，再代入可求值。

36.【答案】-1

【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，

∴x2﹣x＝1，

∴原式＝2（x2﹣x）﹣3

＝2×1﹣3

＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【分析】先由已知方程求得x2?x，再把原式化成含这个代数式的整体的代数式，整体代入求值便可．37.【答案】3√5

【解析】【解答】可观察到的规律为，被开方数依次＋1，＋2，＋3...，所以第6个数为√21，第7个数为√28，

第8个数为√36 ， 第9个数为√45=3√5 【分析】观察题中的规律，可得出第九个数据。 38.【答案】

a 2n 2n?1

【解析】【解答】解：第1个式子为：a 21

=

a 2×1

2×1?1

；

第2个式子为:

a 43=a 2×2

2×2?1； 第3个式子为：

a 65

=a 2×3

2×3?1；

……，依此规律可知：第n 个式子为:

a 2n

2n?1

.

【分析】从已知的各式中发现分子上字母a 的指数、分母与序号之间存在的规律，照此规律写出结论即可。

39.【答案】 3

7

【解析】【解答】解：把x=1代入y =1x 得：y =1

1=1,∴点B 1（1,1）∴A 1B 1=1 同理：点B 2（2,1

2）∴A 2B 2=1

2∴A 1P 1=A 2B 2=1

2 ， ∴P 1B 1=A 1B 1-A 1P 1=1-1

2；

同理可得：P 2B 2=12-1

3,P 3B 3=13-14

,…P 6B 6=1

6?1

7

.

∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 6＝1

2×1×（1-12+12-13+13-1

4+…+16?1

7） =1

2×（1-1

7） =37。

【分析】利用已知条件求出点B 1、B 2的坐标，从而求出P 1B 1的长，同样的，求出…P 2B 2=12-13

,P 3B 3=1

3

-14,…P 6B 6=1

6?1

7 ， 再利用三角形的面积公式表示出S 1、S 2、S 3…S 6 ， 故可求出结论。 40.【答案】 64；4

【解析】【解答】解：由图可知， 第一行1个数， 第二行2个数， 第三行3个数， …，

则第n 行n 个数，

故前n 个数字的个数为：1+2+3+…+n ＝

n(n+1)

2

， ∵当n ＝63时，前63行共有 63×64

2 ＝2016个数字，2020﹣2016＝4，

∴2020在第64行左起第4个数， 故答案为：64，4.

【分析】根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决. 三、综合题

41.【答案】 （1）1≤x ＜2

（2）解：∵ x ≥0 且 y ≥0 ，且 [x]+[y]=1

∴ {

[x]=0[y]=1 或 {[x]=1

[y]=0 ∴ {

0≤x <11≤y <2 或 {1≤x <2

0≤y <1

. 【解析】【解答】解：（1）∵ [x]=1 ∴ 1≤x <2 ，

故答案为： 1≤x <2 ；

【分析】（1）根据题意可得 1≤x <2 ，由此即可得到答案； （2）根据题意分类讨论即可.

42.【答案】 （1）15

?15×6

+5

6

（2）第n 个等式为： 1n ?1

n(n+1)+n n+1=1 证明：左边＝ n+1n(n+1)?1

n(n+1)+n 2n(n+1)=n 2+n

n(n+1)=n(n+1)

n(n+1)=1 ＝右边， ∴等式成立

【解析】【分析】（1）观察给出的4个等式中每一项的分子与分母是否发生了变化，发生变化的值与序号的关系，从而发现这组等式的规律，则可利用发现的规律写出结论；

（2）先利用发现的规律写出等式，然后利用分式的加减运算法则计算出等式左边的结果即可得证。43.【答案】（1）198；891；1089

（2）解：可以设①中的三位数为100a+10b+（a-2），

∴②中的三位数为100（a-2）+10b+a，

于是100a+10b+（a-2）-〔100（a-2）+10b+a〕=198，这是一个常数，

于是在交换百位数字与个位数字后得到891，相加后一定是个常数1089．

【解析】【解答】解：（1）任写一个三位数为301，

∴①中的数字为301，

根据题意可得②中的数字为103，

根据③中的条件可得这个数字为198，

在根据题意可得④中的数字为891，⑤中的数字为1089，

∴答案为198，891，1089；

【分析】（1）任写一个符合条件的三位数，按照题意计算即可；（2）分析题意，列出相关算式计算加以证明．

44.【答案】（1）26

30

（2）n+1

n ?2

n+1

=n2+1

n(n+1)

;证明：等式左边= n+1

n

?2

n+1

=(n+1)2?2n

n(n+1)

=n2+1

n(n+1)=

右边

【解析】【解答】解：(1) 第1个等式：2

1?2

2

=2

2

；第2个等式：3

2

?2

3

=5

6

；

第3个等式：4

3?2

4

=10

12

；第4个等式：5

4

?2

5

=17

20

；

……

根据此规律，第5个等式为：6

5?2

6

=26

30

.

故答案为：6

5?2

6

=26

30

.(2)由题目中给定的规律，第n个等式为：n+1

n

?2

n+1

=n2+1

n(n+1)

.

故答案为：n+1

n ?2

n+1

=n2+1

n(n+1)

.

【分析】(1)观察规律写出即可；(2)观察出规律：等号左边第一个分数分母为n，分子比分母大1；第二个分数分母为n+1，分子固定为2；等号右边的分数分母为等号左边两个分数分母的乘积，分子为n2+1. 45.【答案】（1）（21）（23）（13）；7

（2）3；4；3

（3）7；7；15

（4）2n?1

【解析】【解答】（3）完成（Ⅰ）需要移动7次，用符号表示为（12）、（13）、（23）、（12）、（31）、（32）、（12），

完成(Ⅲ)需移动7次，用符号表示为（13）、（12）、（32）、（13）、（21）、（23）、（13），

共移动了15次；

（4）根据题目可得n=1时，最少移动1次；

n=2时，最少移动3次；

n=3时，最少移动7次；

n=4时，最少移动15次，

总结发现n个金属片从1号移到3号针，最少移动（2n-1）次.

【分析】仔细阅读题目，掌握两个移动规则，可直接对（1）、（2）填空；对于（3）严格遵守规则进行移动，尤其要注意规2，一步步进行移动即可；对于（4），先列出n=1、2、3、4是最少移动的次数，然后找出规律，即可得到n个金属片从1号移到3号针，最少移动的次数.

46.【答案】（1）3

16=1

5

?1

80

解：

（2）解：猜想：

3

3n+1

=1

n

?1

(3n+1)n

；

证明：等式右边=

3n+1

(3n+1)n

?1

(3n+1)n

=3n

(3n+1)n

=3

3n+1

=左边

故猜想成立.

【解析】【分析】先根据已知的四个等式发现这组等式的规律，再应用所发现的规律解题即可.

47.【答案】 （1）54x-22.5；55x-25 （2）解：当 x =40 时，

方案①购买，需付款： 54x ?22.5=2137.5 (元)； 方案②购买.需付款： 55x ?25=2175 (元)； 2137.5＜2175，

所以按照方案①购买较为合算.

【解析】【解答】解:(1)按方案①购买，需付款： [40x +5(4x ?5)]×90%=54x ?22.5 (元)； 按方案②购买，需付款： 40x +5(4x ?5?x)=55x ?25 (元)；

【分析】(1)根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；(2)将x=40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算.

48.【答案】 （1）16x +9y ；25x +16y ；(n +1)2x +n 2y

（2）解：∵第1格的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16， ∴根据题意可得：

{4x +y =?109x +4y =?16 ，解得： {x =?24

7

y =267

∴x ，y 的值分别为： x =?24

7 ， y =26

7

（3）n =10 或 n =14 ．

【解析】【解答】解：（1）第3格的“特征多项式”为：16x+9y ； 第4格的“特征多项式”为：25x+16y ；

第n 格的“特征多项式”为： (n +1)2x +n 2y ；

故答案为：16x+9y ；25x+16y ； (n +1)2x +n 2y ;（3）由（2）可知 x =?247 ， y =26

7

∴第n 格的“特征多项式”为： ?

24

7(n +1)2+

267

n 2

∴由题意可得 ?24

7(n +1)2+267n 2=?3047

整理得 n 2?24n +140=0 解得： n =10 或 n =14 ．

【分析】（1）利用已知表格中x ，y 个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）利用（1）中所求得出关于x ，y 的等式组成方程组求出答案；（3）利用二次函数最值求法得出答案．

49.【答案】 （1）10；13 （2）（3n ＋1）；6061 （3）解：不能．

设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m ，则m=3n+1．

若m=1001，则1001=3n+1．解得 n =3331

3 ． 这个数不是整数，所以不能．

【解析】【解答】尝试：(1)第一次1×

4-0=4张， 第二次2×

4-1=7张， 第三次3×

4-2=10张， 第四次4×

4-3=13张； 故答案为：10， 13；

发现：(2)由“尝试”可知经过 n 次分割后，共得到 4n ?(n ?1)=3n +1 张纸片； 当n=2020时，3n+1=6061，

即第2020次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6061， 故答案为：（3n+1），6061；

【分析】尝试：(1)利用前几次发现的规律：1×

4-0，2×4-1，3×4-2，…解答即可； 发现：(2)由“尝试”的规律，写出经过n 次分割后的式子，整理即可，把n=2020代入整理后的式子中即可求解；探究：(3)利用“发现”中的式子建立方程即可解决问题．

50.【答案】 （1）?53

9

；?10716

（2）增

（3）解：设 x 1

∵ f(x 1)?f(x 2)=1

x 1

+2x 1?1

x

2

?2x 2

=x 2

2?x 1

2

x 12x 22

+2(x 1?x 2) =

(x 2+x 1)(x 2?x 1)x 12x 22?2(x 2?x 1)

=(

x 2+x 1x 12x 22

?2)(x 2?x 1)

∵ x 1

∴ x 2?x 1>0,x 1+x 2<0,x 12x 2

2

>0

∴ (x 2+x 1

x 1

2x 2

2?2)(x 2?x 1)<0

∴ f(x 1)

∴函数 f(x)=1

x 2+2x(x <0) 是增函数． 【解析】【解答】（1）∵ f(x)=1

x 2+2x(x <0) ∴ f(?3)=1

(?3)2+2×(?3)=1

9?6=?53

9 f(?4)=

1(?4)2

+2×(?4)=

1

16

?8=?

10716

；（2）∵ ?4

∴函数 f(x)=1

x 2+2x(x <0) 是增函数；

【分析】（1）将 x =?3 和 x =?4 代入求解即可；（2）根据 ?4

猜想函数 f(x)=1

x 2+2x(x <0) 是增函数；（3）设 x 1

x 2+2x(x <0) 是增函数．