高中数学-抽象函数的周期与对称轴
抽象函数的周期与对称轴
一. 内容：抽象函数的周期与对称轴
二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容
1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为
a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=
3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期
a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ①
令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②
由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+-
∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴
a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b
a x +=
证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。 证：方法一：要证原结论成立只需证
)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C C y x P ∈?),(00则P 关于点)0,2(
b a +的对称点),(00y x b a P --+'
)()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+
∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'
【典型例题】
[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
（1）在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
（2）若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。
（3）若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。
（4）若)(x f 为单调增函数，则
)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的为？
解：（2）（3）
[例2] 若函数
3)()(a x x f +=R x ∈?有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。 解：R x ∈?，)1()1(x f x f --=+知)(x f 的图象关于)0,1(对称
而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a
∴ 3)1()(-=x x f 则
26)3(1)2()2(3-=--=-+f f [例3] 设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈?均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤ 解：由R x ∈?有)2()(+-=x f x f 得4=T 设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x )()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=- ∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f ∴ 31≤ [例4] 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则 （1）)(x f 是周期函数且周期为2 （2）当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -= （3）4 3)5,2004(=-f 其中正确的是？ 解：（1）（2）（3） [例5] 已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+， 当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2 )(且13)4(-=-f ， 若)3(b f m =，)2(c f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？ 解：由已知得4=T ，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴 ∴ 42-=-b ∴8=b 由13)4(-=-f ∴ 134644-=-c ∴ 3=c ∴ )38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p == ∴ p m n >> [例6] 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π ∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。 解：233sin )3()3()32()32()3 5(===-==+=πππππππf f f f f [例7] 设)(x f y =定义在R 上， R n m ∈?，有)()()(n f m f n m f ?=+且当0>x 时，1)(0< （1）求证：1)0(=f 且当0 （2）求证：)(x f 在R 上递减。 解： （1）在)()()(n f m f n m f ?=+中，令1=m ，0=n 得)0()1()1(f f f = ∵ 1)1(0< 设0 有)()()0(x f x f f -=而1)0(=f ∴ 1)(1)(>-=x f x f （2）设21x x <则012>-x x ∴ 1)(012<- 令1x m =，2x n m =+则12x x n -=代入条件式得)()()(1212x x f x f x f -= 即1)()(012< 【模拟试题】 一. 选择 1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=f 则=)2000(f （ B ） A. 2 B. 2- C. 23+ D. 23- 2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ C ） A. 400-x B. 398-x C. x -400 D. x -398 3. 若函数)sin(3)(?ω+=x x f ，R x ∈?都有)6()6( x f x f -=+ππ则)6(πf 等于（ D ） A. 0 B. 3 C. 3- D. 3或3- 4. 函数)22 3cos(x y -=π是（ C ） A. 周期为π2的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π4的奇函数 5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ C ） A. 22ππθ+=k B. ππθ+=k 2 C. 2ππθ+=k D. ππθ+=k 6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ D ） A. x 2sin B. x cos C. x sin D. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ B ） A. 32ππθ-=k B. 6ππθ-=k C. 62ππθ±=k D. 6π πθ+=k 8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ B ） A. 0.5 B. 5.0- C. 1.5 D. 5.1- 9. 设 c bx x x f ++=2)(，t x ∈?有)2()2(t f t f -=+那么（ A ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f << D. )1()2()4(f f f << 10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（D ） A. 0=y 对称 B. 0=x 对称 C. 1=y 对称 D. 1=x 对称 二. 填空 1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则 )3()2()(πππf f f ++)2003(πf ++ = 0 。 2. 函数)32sin(π +=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。12π =x 3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时， 2)(-=x x x f 则当0 4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则 （1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43(2+-≥-a a f f （3）)1()43(2+-<-a a f f （4）)1()43(2+-≤-a a f f 中正确的是 （2） 。 三. 解答题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ?、 ]21,0[2∈x 都有)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f （1）求)21(f 、)41(f （2）证明：)(x f 是周期函数 解：（1）∵ ]2 1,0[,21∈?x x 都有)()()(2121x f x f x x f ?=+ ∴ 0)2()2()(≥?=x f x f x f ]1,0[∈x ∵ 2)]21([)21()21()2121()1(f f f f f =?=+= ∵ 21)21(a f =，2)]41([)4141()21(f f f =+=∴ 41)41(a f = （2）由已知)(x f 关于1=x 对称 ∴ )11()(x f x f -+= 即)2()(x f x f -=，R x ∈ 又由)(x f 是偶函数知)()(x f x f =-，R x ∈ ∴ )2()(x f x f -=-，R x ∈将上式中x -以x 代换得)2()(+=x f x f ∴ )(x f 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足)(])(2[x f x b a f =+- 证：∵ )(x f 关于a x =和b x =对称 ∴ )2()(x a f x f -=，)2()(x b f x f -= ∴ )2()2(x b f x a f -=-令A x b =-2，则A b a x a +-=-)(22 ∴ )(])(2[A f A b a f =+-即)(])(2[x f x b a f =+- 3. 已知c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)2 1(f 与)2(f 的大小。 解：由)1()1(t f t f -=+知抛物线 c bx x x f ++=2)(的对称轴是1 ∴ )23()21(f f =而232> 根据)(x f 在),1(∞+上是增函数得)23()2(f f >即)21()2(f f > 4. 定义在实数集上的函数)(x f ，对一切实数x 都有)2()1(x f x f -=+成立， 若方程0)(=x f 仅有101个不同实根，求所有实根之和。 解：设x u -=2即u x -=2 ∴ )3()(u f u f -= ∴ R x ∈?有)3()(x f x f -= ∴ 所有实根之和为230323101=? 注：一个结论：设)(x f y =，R x ∈?都有)2()(x a f x f -=且0)(=x f 有k 个 实根)2(≥k ，则所有实根之和为ka 练 习 一. 选择 1. 已知)(x f 满足)()3(x f x f =+，R x ∈且)(x f 是奇函数，若2)1(=f 则=)2000(f （ ） A. 2 B. 2- C. 23+ D. 23- 2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)()4(x f x f =+对任何实数均成立，当20≤≤x 时，x x f =)(，当400398≤≤x 时，=)(x f （ ） A. 400-x B. 398-x C. x -400 D. x -398 3. 若函数)sin(3)(?ω+=x x f ，R x ∈?都有)6()6( x f x f -=+ππ则)6(π f 等于（ ） A. 0 B. 3 C. 3- D. 3或3- 4. 函数)223cos(x y -=π是（ ） A. 周期为π2的奇函数 B. 周期为π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π4的奇函数 5. )2sin(2)(θ+=x x f 的图象关于y 轴对称的充要条件是（ ） A. 22π πθ+=k B. ππθ+=k 2 C. 2ππθ+=k D. ππθ+=k 6. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f -=则)(x f 可以是（ ） A. x 2sin B. x cos C. x sin D. x sin 7. )cos(3)sin(θθ-++=x x y 为偶函数的充要条件是（ ） A. 32ππθ-=k B. 6ππθ-=k C. 62ππθ±=k D. 6π πθ+=k 8. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ ） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 9. 设c bx x x f ++=2)(，t x ∈?有)2()2(t f t f -=+那么（ ） A. )4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C. )1()4()2(f f f << D. )1()2()4(f f f << 10. )(x f y =定义在R 上，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ） A. 0=y 对称 B. 0=x 对称 C. 1=y 对称 D. 1=x 对称 二. 填空 1. )(x f 是R 上的奇函数，且)()2(x f x f =+π，则 )3()2()(πππf f f ++)2003(πf ++ = 。 2. 函数) 32sin(π +=x y 的图象的对称轴中最靠近y 轴的是 。 3. )(x f 为奇函数，且当0>x 时，2)(-=x x x f 则当0 4. 偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，则 （1）)1()43(2+->-a a f f （2）)1()43(2+-≥-a a f f （3）)1()43(2+-<-a a f f （4）)1()43(2+-≤-a a f f 中正确的是 。 三. 解答题 1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于1=x 对称，1x ?、]2 1,0[2∈x 都有)()()(2121x f x f x x f =+且0)1(>=a f （1）求)21(f 、)41(f （2）证明：)(x f 是周期函数 2. 如果函数)(x f y =的图象关于a x =和)(b a b x <=都对称，证明这个函数满足)(])(2[x f x b a f =+- 3. 已知c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)1()1(t f t f -=+，比较)2 1(f 与 )2(f 的大小。 4. 定义在实数集上的函数)(x f ，对一切实数x 都有)2()1(x f x f -=+成立，若方程0)(=x f 仅有101个不同实根，求所有实根之和。 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 抽象函数的周期与对称轴 一. 内容：抽象函数的周期与对称轴 二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三. 具体内容 1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。 2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为 a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+= 3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期 a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ② 由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2b a x += 证：要证原结论成立，只需证)2()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(b a +为对称中心。 证：方法一：要证原结论成立只需证 )2()2(x b a f x b a f -+-=++ 令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++ 方法二：设)(x f y =它的图象为C C y x P ∈?),(00则P 关于点)0,2( b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+ 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．． 时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω π 2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 ) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 7、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6） 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， 第六讲i 一、 周期函数 （a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 （b ）函数周期性的几个重要结论： 2、()()f x a f x b +=+?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+?)(x f y =的周期为a T 2= 5、) (1)(x f a x f -=+?)(x f y =的周期为a T 2= 7、1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+?)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+= +?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 2= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 4= 二、函数对称性 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 专题：函数的周期性对称性 1、周期函数的定义 一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期； )2 ()2(T x f T x f -=+，则)(x f 周期为T ； ()f x 的周期为)(x f T ω?的周期为 ω T 。 2、常见周期函数的函数方程： （1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+?+，则得 )]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 例析抽象函数周期的求法 抽象函数周期问题是近年来高考及各地模拟试题中高频出现的问题，其周期求法能有效考查学生的逻辑思维能力和代数推理能力，对培养学生思维品质大有帮助。下面举例说明求周期的常用方法及技巧。 一、仅含抽象关系式的周期函数 例1 若存在常数m>0，使函数f(x)满足，则的一个正周期是____________。 解：设，则，依题意有 ，由周期函数的定义，是的一个周期 所以期 例2 已知函数满足，求证：函数 为周期函数。 证明：因为对有 （2）代入（1）得 这样 所以为周期函数，且为它的一个周期。 例3 设函数的定义域关于原点对称，且对定义域内任意，有 ，且存在常数，使。试证：是周期函数，且有一个周期为4a。 证明：设，则 所以y=f(x)为周期函数，且有一个周期为4a。 说明：从以上几例可见，适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键。下面再给一个探求周期来计算函数值的例子。 例4 设是定义在R上的函数，且对任意，都有 ，又，求的值。 解： 又 所以 可知是以2为一个周期的周期函数 所以 二、图象中有两条对称轴的抽象函数 例5 若函数的图象关于两条直线和都对称，试证：是周期函数，且是它的一个周期。 证明：因为的图象关于直线和（a 高中数学复习典型题专题训练36 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且 (20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302??- ??? ，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ．2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且 (0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意典例分析 板块三.函数的周期性 121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ；⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线1 2 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =，则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求f (2004) 【例13】 函数()f x 在R 上有意义，且满足：⑴()f x 是偶函数；⑵(0)999f =； ⑶()(1)g x f x =-是奇函数，求(2008)f ． 【例14】 ()f x 是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，都有(3)()3f x f x ++≤和 (2)()2f x f x ++≥，设()()g x f x x =-， ⑴求证()g x 是周期函数； ⑵如果f （998）=1002，求f （2000）的值． 一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=? 高一数学抽象函数的周期与对称轴人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 抽象函数的周期与对称轴 二. 教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三. 具体内容 1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。 2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+= 3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ② 由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2 b a x += 证：要证原结论成立，只需证)2 ()2(x b a f x b a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则)2 ()2(x b a f x b a f -+=++ 5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2 (b a +为对称中心。 证： 方法一：要证原结论成立只需证)2 ( )2 ( x b a f x b a f -+-=++ 令2 a b x x -+ =代入)()(x b f x a f --=+ （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 抽象函数的周期和对称性 一、关于周期性的结论 1. ()()f x T f x +=型：f x ()的周期为T 。 2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x () 4. ) (1 )(x f a x f ± =+型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++= += =21 1 1。 5. f x a f x f x ()() () += +-11型：f x ()的周期为4a 。 证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]() () +=++=++-+211 = + +--+- =-1111111f x f x f x f x f x () ()()() ()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]() () ()+=++=- +=- - =4221 21 1。 6. 两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为||22b a -。 证明： f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-?? ? ?-=-?=+-222222， 。 第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x += 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到 ()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 3、中心对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=-+?()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2）()()()f a x f b x f x -=-+?关于,02a b +?? ??? 轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是 高中数学指数和对数知识点 (一)指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1(y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1* >∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log = 对数式与指数式的互化：x N a =log ? N a x = 对数的性质 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． （二）对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） 专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数, 如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。 它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点, 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难， 做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 若对于函数()f x 定义域内的任意x 都存在非零常数T 使得()()f x T f x +=恒成立， 则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，且()0kT k Z k ∈≠， 也是()f x 的周期。 所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期： 设()y f x =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: []()y f x x a b T b a =∈=-，，，。 把()y f x =沿x 轴平移()kT k b a =-个单位，即按向量(0)a kT =r ，平移即得()y f x =在其他周期 的图像：[]()y f x kT x kT a kT b =-∈++， ，。 [][]() x a b ()() x kT a kT b f x f x f x kT ?∈?=?-∈++?? ，， 2、奇偶函数： 设[]()y f x x a b =∈，，或[][]x b a a b ∈--U ，， ①()()()f x f x y f x -=-??=是奇函数； ②()()()f x f x y f x -=??=是偶函数。 分段函数的奇偶性（略） 3、函数的对称性： （1）中心对称（即：点对称） ①()(22)()A x y B a x b y a b --点，与，关于点，对称； ②()()()A a x b y B a x b y a b --++点，与，关于，对称； ③()2(2)()y f x b y f a x a b =-=-函数与关于点，成中心对称； ④()()()b y f a x b y f a x a b -=-+=+函数与关于点，成中心对称； ⑤)0(22)0()F x y F a x b y a b =--=函数（，与，关于点，成中心对称。 （2）轴对称（对称轴方程为0=++C By Ax ） 2222 2()2()()()0A Ax By C B Ax By C A x y B x y Ax By C A B A B ++++- -++=++点，与点，关于直线成轴对称 2222 2()2()()()0B Ax By C A Ax By C y f x y f x Ax By C A B A B ++++=-=-++=++函数与函数关于直线成轴对称 22222()2()(,)0(,)00A Ax By C B Ax By C F x y F x y Ax By C A B A B ++++=--=++=++与关于直线成轴对称 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性； 若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。 函数的对称性和周期性知识点精析 1．周期函数的定义 周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x 恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫 ()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称： 定理1：如果函数()y f x 满足()()f a x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称. 定理2：如果函数()y f x 满足2f x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称. 定理3：如果函数()y f x 满足2f x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称. 定理4：如果函数()y f x 满足()()f a x f b x ，则函数()y f x 的图象关于直线2 a b x 对称. 定理5：如果函数()y f x 满足()()f x f x ，则函数()y f x 的图象关于直线0x （y 轴）对称. 3.函数的点对称： 定理1：如果函数()y f x 满足()()2f a x f a x b ，则函数()y f x 的 图象关于点(,)a b 对称. 定理2：如果函数()y f x 满足22f x f a x b ，则函数()y f x 的 图象关于点(,)a b 对称. 定理3：如果函数()y f x 满足22f x f a x b ，则函数()y f x 的 图象关于点(,)a b 对称. 定理4：如果函数()y f x 满足()()0f a x f a x ，则函数()y f x 的 图象关于点(,0)a 对称. 定理5：如果函数()y f x 满足()()0f x f x ，则函数()y f x 的图象关 于原点(0,0)对称. 4．函数的对称性与周期性的联系 定理3：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以2()a b 为周期. 定理4：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以2()a b 为周期. 定理5：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以4()a b 为周期. 以上几类情形具有一定的迷惑性 ,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析. 5．几种特殊抽象函数的周期：高中数学指数函数与对数函数
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