湘教版解读-11认识三角形

生活中自行车很常见，是我们的一种重要交通工具。 你在这幅画中，除了发现圆的这个几何图形，还能发现哪种重要的几

何图形? 知识点1 （知识详解，（1）三

角形的定义：由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 叫做三角形.）（2）相关概念：如图1.1-1，①三角形的表示法：△ ABC ②三条边：

AB AC BC ③三个顶点：A B 、C ；④三个内角：/ A / B

为公共角的三角形是 ____________

【分析】BE 的对角的顶点不在线段

1.新课导读

**认识三角形

问题链接

问题探究 2.教材解读

三角形的概念（重点）/掌握）

/

C.

【知识拓展】 通过三角形的定义可知， 三角形的特征有: ③首尾顺次连接. 【 教

①三条线段; ②不在同一条直线上; 这是判定是否是三角形的标准. 材 栏

请说出图中所tJT 的三和形，■W ■牛三柏，形 的￡采边和1个内仰.

（课本P4）

【教材栏目答疑】

△ ABD A ABC A D BC △ ABD 的边、角分别为线段 AB 线段AD 线段DB / ABD △

ABC 的边、角分别为线段 AB AC CB 与/ A 、/ C 、/ CBA △ D BC

的边、角分别为线段 DB DG CB 与/ C / CDB / CBD

【新课导读点拨】三角形。

【例11如图1.1-2，在△ BCE 中, BE 的对角是 ,/ CBE 的对边是 ，以/ A

BE 上,即该角的顶点是除 B 和E 之外的第三个字母；以

图 1.1-

图 1.1-

/ A 为公共角的三角形必有一个字母是

A,另外两个字母是 BCDEI 中任取两个字母，当然也

要看这三个字母是否能构成三角形. 【解】/ ECB / E ;A AEC △ ABD △ ABC 【解题策略】按三角形的有关 概念来，注意/ A 可以是不同三角形的内角。 知识点2三角形的分类（/难点/掌握） （知识详解）

按三角形中的最大内角与 90。的大小关系分： 直角三角形 三角形锐角三角形

钝角三角形 【知识拓展】 【探究交

流】

锐角三角形与钝角三角形可以合称为斜三角形。 有没有新的分类方法？ 【点拨】有。 可以按边分类：三角形等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 。

C 等边三角形 （1）已知一个三角形的三个内角分别为 35 ° , 55° 和 90°; （2）已知一个三角形的二个内角分别为 35 ° , 105 O

（3）已知一个三角形的三个内角分别是 80

°、50° 和50° 【分析】找出 三角形中的最大内角再与 90° 的大 小比。

【解】（1）直角三角形，（2）钝角三角形， (3) 锐角三角形

【例2】下列三角形分别是什么三角形: 【规律?方法】 仔细分析三角形中角所具备的特征， 大小比。 知识点3 三角形的三边关系（重点、难点） （知识详解）三角形任意两边之和大于第三边。 【知识拓展】（1）这里的“两边”指的是任意两边. 最短”的具体运用. 边“

【/规律方法小结】判断三条线段能否组成三角形，判断时可以检查是否任意两边之和大于 第三边，也可以检查较小的两边的和是否大于第三边； 而较简洁的是：若两条较短的线段长 度这个大于第三边，则这三条线段可以组成三角形，反之，则不能组成三角形. 找出三角形中的最大内角再与 90°的

三角形的三边关系是“两点之间，线段 （2）由“三角形两边的和大于第三边”可得“三角形两边的差小于第三 【教材栏目答疑】“问题:

（课本

P5）

【答疑】三角形任意两边之差小于第三边 【例3】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗

(1) 5cm, 8cm, 2cm (2) 5cm, 8cm, 13cm (3) 5cm, 8cm, 5cm

【分析】只要比较两较短线段之和与最长线的大小即可

.

【解】(1)v 5 + 2 = 7< 8 ，不满足两边之和大于第三边.??不能摆成三角形 (2 )??? 5 + 8 = 13

=13 ，出现两边之和等于第三边的情况.??不能摆成三角形 (3)??? 5 +5= 10>8，两较小边之和大于

第三边，.??能摆成三角形

【规律?方法】 三角形第三边的取值范围是 ：两边之差 <第三边 <两边之和 知识点4三角形的角平分线、中线和 高(重点/难点/掌握 (知识详解)

1. 如图1.1-3图1，从△ABC 的顶点A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D 所得 线段AD

叫做△ ABC 勺边BC 上的高.

2. 如图1.1-3图2,连接△ ABC 的顶点A 和它所对的边 BC 的中点D,所得线段AD 叫做△ ABC 的边

BC 上的中线.

图 1.1-3

边是相交的.这个角的顶点与交点之间的线段 才是这个内角的平分线.即三角形的角平分线.

④

图

1.1-4

3.如图 1.1-3 的角平分线.

【知识拓

图3,画/A 的平分线AD 交/A 所对的边

BC 于点D,所得线段AD 叫做△ ABC

(1)三角形的角平分线与一个角的平分线不同 .一个内角的角平分线与它的对 (2)三角形的角平分线、中线、高是线段；

(3)三角形的角平分线与中线、高都有三条，且它们交于一点，三角形的角平分线与中线 的交点在形内，而三角形的高交点有三种可能： 锐角三角形的三条高都在三角形内，

于一点(图1.1-4图 (图1.1-4 图 1.1-4 图 5)

角边 (图 3) 4) 且相

交 .直角三角形有一条高在三角形的内部， 而另两条高恰是它的两条直

.钝角三角形有三条高，一条高在三角形内，另两条高在三角形外

图1

图3

C

【规律方法小结】 [

X {H 用 ft 尺甘别作锐角

摘卅肝C |'皿 H 形DFF fflFG/fj

他形陀尺的各边1M 鬧说?

a

/'、 —\

I 第;*題）

（2）观累你所作側旳自比较三个三菊形屮 必惮酗j 位.尸 角?的娄哩何什么关系？

/■

(?

（课本

P8）

【答疑】见【知识拓展】第 3点。 【教材栏目答疑】

帕圏I-?成口氏尸彷别是厶血「的总边 W'I'/t

￡ 求心DEF 的廊悭

你可LH 这样帝虑，

（1） 连结山匡心「的仰枳昱多■V.F （2） 山第（门题*価能求HlAECFl 的血积吗？ 山ADF 和典DRE 的曲i 积呢勺

ft

Z<\ zW ：.

（课本P9）

【答疑】（1） △ AEC 面积等于EC 乘以EC 上的高再除以2，而EC 是BC 的一半，△ AEC 的高 等于△ ABC 的高，则△ AEC 面积等于^ ABC 面积的一半

（2）同理得△ FEC 面积等于^ AEC 面积的一半，等于△ ABC 面积的四分之一ADF 面积等 于^ ADC 面积的一半， 面积的四分之一。 【例4】如图1.1-5 , 三角形个数为（

A. 3个

等于△ ABC 面积的四分之一。△ DBE 等于△ ABE 面积的一半，等于△ ABC 在^ ABC 中, D 是BC 边上的任意一点，AH L BC 于 H 。图中以AH 为高的 ）

B. 4个

C. 5个

D. 6个

【分析1 AH 可看作点A 到直线BC 的垂线段，因此 A 、H 表示的点必然一个是三角形的顶点， 另一个是垂足。显然点 A 是三角形的顶点，另外两个字母是可从“ B D 、H C ”中任取两个 字母，所以以 AH 为高的三角形可以是△ ABD △ ABH △ ABC △ ADH △ ADC △ AHC 【解1 D

【解题策略/ 1按高的概念来，并有条理地寻找三角形！ 这里可从左向右看或按字母看组成！ 【例51如图1.1-6 , AD 是三角形的中线，现把三角形△ ADC 沿 AD 翻折，得△ ADC ，它和 △ ABD 交于点￡,则^ AC E 和^ BED 的面积之比为 ______________

【分析1本题没有数值，似乎很难算。观察： AD 是^ ABC 的中线，则S AABD = S A ACDo 又△ ADC

沿AD 翻折得△ ADC ,则它的面积不变，而要研究的两个三角形有重叠部分， 则它们同减去

一个相同的部分，剩下的面积仍相等。

【解1得^ AC E 和^ BED 的面积之比为1: 1。

【解题策略1运用中线，得到等底同高的一些三角形，再由操作得到图形面积上的一些性质。

3.典例剖析

基本知识题

类型1运用三角形的概念解题。 【例61 )如图1.1-7 , ( 1 )图中有 为:

图 1.1-7

【分析】按三角形的概念

【解1 (1) 3;A ABC △ ACD A CDB. (2) a ； b ; AB.

个三角形；这几个三角形分别表示

(2)在^ ABC 中,/ A 的对边是 ;/B 的对边是

;/ ACB 勺对边是

解决。

图 1.1-

【解题策略】三角形的个数一定要注意要有顺序的去数，做到不重不漏 类型2判断三条线段是否构成三角形

。

【例7】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗

？.

(1) 5c m 8c m 2cm ； (2) 5c m 8c m 13c m (3) 5cm, 8c m 5c m 【分析】用两边之和大于第三边来解。

【解】(1)v 5+ 2 = 7< 8 ,不满足两边之和大于第三边.??不能摆成三角形

.

(2 )??? 5+ 8= 13 = 13,出现两边之和等于第三边的情况.??不能摆成三角形 . (3)v 5+ 5 = 10>8,两较小边之和大于第三边，?能摆成三角形.

【解题策略】如果三条线段长能够构成三角形， 则任意两边之和大于第三边，但是当两条较 短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的. 类型3三条重要线段的考查

【例8】如图1.1-8所示， 论不正确的是( )

???/ DAF =1

/ DAC ?选项 B 正确；???/ EAF=/ EAD+/ DAF =

2

1 / BAD+1 / DAC=^ CAB.二选项 A 正确；排除 A 、B 、D.故选 C.

2 2

【解】C

【解题策略】按角平分线定义解题

【例9】如图1.1-9所示，能说明 AD 是△ ABC 的中线的条件的有(

)

①点D 是BC 的中点；②BD=CD;③BD=

1

BC;④BC=2CD.

2

已知AE 是^ ABD 的角平分线，AF 是^ ACD 的角平分线，则下列结 A. / EAF=1 / CAB

2

B. / DAF =丄 / DAC

2

C. / DAF=1

/ EAF

2

D.

/ EAD= 1

/ BAD

2

??? AE 是^ ABD 的角平分线, ???/ EAD= 1

/ BAD 「?选项 D 正确；??? AF 是^ ACD 的角

2

平分线, C

【分

A.1个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【分析】由于线段AD 的一个端点A 是^ ABC 的一个顶点，①、②、③、④中的条件均可判 断点D 是边BC 的中点.,所以①、②、③、④中的条件均可说明 AD 是△ ABC 的中线，故选D.

【解】D.

【解题策略】 判断AD 是否是△ ABC 的中线，关键是判断点 D 是否是边BC 的中点.如果点D

是边BC 的中点，贝U AD 是^ ABC 的中线，否则 AD 不是△ ABC 的

中线. 综合应用题

类型4三角形三边关系的应用技巧

【例10】（如图1.1-10，在开阔地带有四个村庄 A B 、C D 饮水困难，现准备一水泵厂, 向这四个村庄同时送水，问该水厂建在何处，所需水管最短？请说明理由.

图 1.1-10

【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边.

【解】水泵厂建在线段 AB CD 的交点处，理由如下，如图：令 O

的一点 M,连接 MA MB MC MD 三角形三边关系有 MA+MB+MC+MD>AB+CD 取 AB CD 交点O 处所需水管最短.

【解题策略】 本题也可以根据“两点之间，线段最短

.”作出解答.

【例11】已知△ ABC 三边分别为a 、b 、c,C C 化简：l a — b — c I + |b — c — a I + |c — a — b I

【分析】 要化简 |a — b — c I + |b — c — a I + |c — a — b I ，需要知道 a — b — c 、b —

c — a 、 c — a — b 是正数还是负数，然后根据绝对值的性质进行化简.

【解】

??? a < b + c , b

???I a — b — c I + I b — c — a I + I c — a — b I =— (a — b — c ) — (b —

c — a ) — (c — a —

b )

【解题策略】 —C 、b —

c — a 、c — a — b 、a +b + c 、a + b — c 、a — b + c 、

类型5角平分线的判别

【例12】如图1.1-11 , AD 是△ ABC 的角平分线，DE// AB, DF// AC, EF 交AD 于点O.请问: DO 是△ DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

D.4

AB CD 交于点O,另取异于 MA+MB>AB MC+MD>CD 所以

a +

b +

c — b + c + a — c + a + b = a +b + c

利用三角形两边之和大于第三边以及三角形周长的概念，我们容易判断

b +

c — a 的正负性.

a — b

图 1.1-

图1.1-13 ( 2)

【规律-方

法】等。

探索与创新

三角形的一条中线将这个三角形分成两个等底同高的三角形, 它们的面积相（2）若将结论与AD是△ ABC的角平分线、DE// AB DF// AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？

【分析】是不是能证到DO分得的两个角相等。

【解】（1）DO是△ DEF的角平分线.

证明：??? AD是^ ABC的角平分线，

???/ EAD=/ FAD

???DE// AB, DF// AC

? / EDA=/ FAD / FDA=/ EAD（两直线平行，内错角相等）.

???/ EDA=/ FDA

???DO^A DEF的角平分线.

（2）所得命题正确.

【解题策略】按三条重要线段的定义解题。类型6利用中线等分三角形的面积.

【例13】（）图1.1-12，有一块三角形的优良品种实验土地，现引进四个良种进行对比实

验，需将这块土地分成面积相等的四块. 请你制订出二种以上的划分方案供选择（画图说明）.

【分析】只要面积相等，形状不一定相同！本题就是通过“等底等高的三角形面积相等” 按此思路来画三角形即可，本题的画法很多.

【解】方案如下：图1.1-13，（1）中点C、D、E分别是AB的四等分点；（2）中C、D、E分别是三边的中点；（3）C点为AB的四等分点（靠近点A）, E、F分别是BD边上的三等分点。

(1)

类型7规律探究

【例14】（）（规律题）观察如图1.1-14所示的一组图形，根据其变化规律，可得第n个图形中三角形的个数S为

_______________ .

【分析】观察发现，下底边中有几条线段,

在第1个图形中，三角形的个数图形中，S=

4+ 3 +2+1,在第

三角形的个数就有几个，

S= 3 = 2+1,在第2个图形中，

4个图形中，S= 5+ 4 + 3 +2+ 1,…，在第n个图形中,

=(n+ 1)+ □ + ???+ 2 + 1 = -

2

运用数线段条数的方法，

S= 6 = 3+2+ 1，在第3 个

S

1 【解】s 1n 1 n

2 .

2

【解题策略】研究其变化是如何引起的，再从简单的、特殊的情况出发，寻找其变化规

律。

类型8 巧于列举

【例15】设^ ABC的三边a, b, c的长度都是自然数，且

b, c为边的三角形共有几个？

a w

b w c, a+ b + c= 13,则以a,

13

【分析】由a + b + c= 13可得a、b、c的平均数为一，

3

又由于三角形两边之和大于第三边，因此c w 6.5，所以

值如下：

因为a w b w c,所以a w 4, c> 5;

c = 5或6;所以a、b、c的可能取

c b a

5

5 3

4 4

6

6 1

5 2

4 3

【解】5个

【解题策按标准列举，再用三边应满足的关系验证。

4.易错疑难辨析

一、易错点作三角形某边上的高出错。

【例11如图1.1-15，画出△ ABC的边BC上的高。

【正解1如图1.1-16 所示。错误的原因在于没有正确

理解三角形高的概念。

【错解1如图1.1-17 , AE是^ ABCBC边上的高。

图1.1-

图1.1-

图1.1-

【易错辨析1作三角形某边上的高，是过该边所对的顶点向该边作垂线，所得的垂线段即为该边上的高。

二、疑难点如何求第第三边范围。

【例21已知三角形两边长是20cm 30cm,且为10的倍数，求第三边长.

【分析1第三边长不仅要小于两边的和，还要大于另两边的差的绝对值！

【正解1设第三边长为C,则I 30- 20 IV C V 30+20,即得10< c< 50,它又为10的倍数,

则它是20 cm、30 cm、40 cm 。

【疑难辨析1不仅要小于两边的和，更要大于另两边的差的绝对值!

5.中考解读 中考考点透解读 本节内容在中考中多以选择、填空或作图题的形式出现，是中考中的一个重要考点，约占 -5分左右，

有时也有大的探索题的形式出现， 中考真题剖析 【例11 （2012山东省德州， A.三角形的角平分线 C.三角形的高 D 【分析1三角形的角平分线、 部，故选C.

【解1 Co

【规律-方法1当三角形为锐角三角形时， 三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时， 两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角 形内部，一条高在内部. 【例21 （2012湖南长沙，10, 3分）现有3 cm , 4 cm, 7 cm ,

中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ A . 1个 B . 2个 2, B 3分）不一定在三角形内部的线段是（ ?三角形的中线 ?三角形的中位线 中线、中位线都在三角形的内部， 只有高可能在内部或者在外

C. 3个 9 cm 长的四根木棒，任取其 ） D . 4个 【分析1根据构成三角形的三边关系求解， 即采用枚举法将所给四条线段进行分组，

满足两 边之和大于第三边的三条线段能够组成三角形，否则不成立. ［解1 Bo 【解题策略1我们可以采用枚举法，可以分为（ 四组，其中第一组中 3+4=7、第二组中3+4 系，其余两组均成立. 【例31 （2012山东青岛，23, 10分）

问题提出：以n 边形的n 个顶点和它的内部的 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略， 先从简单和具体的情 形入手： 探究一：以△ ABC 勺三个顶点和它内部的 少个互不重叠的小三角形？ 如图①，显然，此时可把△ ABC 分割成 探究二：以△ ABC 勺三个顶点和它内部的 分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①△ 有两种情况： 一种情况，点 Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点 Q 在△ PAC 内部，如图②； 另一种情况，点 Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点 Q 在PA 上，如图 ③. 显然，不管哪种情况，都可把^ ABC 分割成5个不互重叠的小三角形. 探究三：以△ ABC 勺三个顶点和它内部的 3个点P Q R,共6个点为顶点可把^ ABC 分割 成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图. 探究四：以△ ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（m+ 3）个顶点，可把△ ABC 分割成 __________ 个互不重叠的小三角形. 3, 4, 7） （3, 4, 9） （3, 7, 9） （4,乙

9） 9

，不满足“任意两边之和大于第三边”的关 m 个点，共（m 卄n ）个点作为顶点，可把原 n 1个点P,共4个点为顶点，可把△ ABC 分割成多 3个互不重叠的小三角形. 2个点P Q 共5个点为顶点，可把△ ABC ABC 的内部，再添加1个点Q 那么点Q 的位置会

探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的

__________ 个互不重叠的小三角形.

问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的

________ 个互不重叠的小三角形.

实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的：

多少个互不重叠的小三角形. （要求列式计算）

m个点，共（m卄4）个顶点，可把四边形分割

成

m个点，共（耐n）个顶点，可把△ ABC分割成

【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，

分即可；

探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加

此规律写出（m+ 3）个点分割的部分数即可；

探究拓展：类似于三角形的推理，得出规律整理即可得解；

问题解决：根据规律，把相应的点数换成m n整理即可得解；

实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解.

【解】探究三：7

分割示意图.（答案不唯一）

探究四：3+ 2（ m- 1）或2m^ 1

探究拓展：4 + 2（ m-1）或2m^ 2

问题解决：n+ 2（m-1）或2m^n-2

实际应用：把n= 8, m= 2012代入上述代数式，得

2m^ n-2 = 2 x 2012 + 8 — 2 = 4024 + 8 —2= 4030

【解题策略】读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键.

6.课堂小结

1.知识结构及要点小结

2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成

查出分成的部

2部分，根据

2.解题方法及技巧小结

在解关于三角形的问题时，要注意概念的掌握与应用，并能准确作图，掌握枚举法解题。 1. A. C. 2. 3. 8.自我评价 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（

） 1cm, 2cm, 4cm B. 8cm, 6cm, 4cm 12cm, 5cm, 6cm C. 2cm, 3cm, 5cm ）如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点, A 锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 已知△ ABC 中,/ A / B 都是锐角，那么△ ABC 是 那么这个三角形是 D.等边三角形 A.锐角三角形 4. △ ABC 中，如果/ A.直角三角形 一个三角形有_ 5. 6. 是 B.钝角三角形 C.直角三角形 A —/B = 90°,那么△ ABC 是（） B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 条中线、 _ 条角平分线。 2，贝y ABC 的一条中线 D.无法确定 如图，在△ ABC 中，AD DC , 1 _________ ，一条角平分线是 _______ 」 条 7. 现有两根木棒分别长 40 cm 和50 cm ,要从下列长度的木棒中选 出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架 （木棒不能余），则可选出 8. 如图，对面积为1的^ ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 A 、B 、C ,使得 AB =2AB BC =2BC CA =2CA 顺次连接 A 、B 、C ,得到△ ABC ，记其面 积为S ;第二次操作，分别延长 AB 、B C 、C A 至点A 、B 、Q,使得AB =2A B , RC =2B C , GA =2GA 1，顺次连接 A 、B 、C ，得到△ ARG,记其面积为 $;???;按此规律继续下去，可 得到△ ABG ，则其面积 S 5=

AB BC CA 至点

9.已知△ ABC中,/ C=/ ABC= 2/ A, BD是AC边上的高.求/ DBC勺度数.

10.如图，长方形ABCD的长为a，宽为b, E、F分别是BC和CD的中点，DE BF交于点G 求四边形ABGD勺面积.

B, ,