上海川沙中学南校八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(答案解析)

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）

A ．16

B ．18

C ．20

D ．24

2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=?，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10 3．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（ ） A ．8 B ．16 C ．82 D ．162 4．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，A

E 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB B

F =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．②④

C ．③④

D ．①②④ 5．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）

A ．OA

B OBA ∠=∠； B ．OAB OB

C ∠=∠；

C ．OAB OC

D ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．

6．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：

①AB ∥CD ，AD ∥BC ；

②AB CD =，AD BC =；

③AO CO =，BO DO =；

④AB ∥CD ，AD BC =．

其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）

A ．1组；

B ．2组；

C ．3组；

D ．4组．

7．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）

A ．26

B ．29

C ．2243

D ．1

253

8．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）

A ．平行四边形

B ．正方形

C ．矩形

D ．菱形

9．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=?<

②90HAE α∠=?+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）

A ．①③④

B ．②③⑤

C ．①③④⑤

D ．②③④⑤ 10．下列命题中，正确的命题是（ ）

A ．菱形的对角线互相平分且相等

B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是

矩形

C ．矩形的对角线互相垂直平分

D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形

11．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

12．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（ ）

A ．23

B ．17

C ．25

D ．35

二、填空题

13．正三角形ABC 中，已知AB =6，D 是直线AC 上的动点，CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，则AE 长的取值范围是_______________．

14．菱形有一个内角为120?，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 15．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．

16．如图，点E 是长方形纸片DC 上的中点，将C ∠过E 点折起一个角，折痕为EF ，再将D ∠过点E 折起，折痕为GE ，且C ，D 均落在GF 上的一点H 处．若1649'∠=?，则CEF ∠=_______．

17．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．

18．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45?，该平行四边形的面积为_______．

19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=?，则D ∠=______?．

20．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．

三、解答题

21．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，A 、B 是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：

（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰Rt ABC △，其中90ABC ∠=?； （2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段AB 的垂直平分线．

22．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．

（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．

（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．

23．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．

（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．

24．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AC BD =，EBC FCB ∠=∠，BE CF =．

求证：四边形AFDE 是平行四边形；

25．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=?，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点．

（1）求证：//EF DG ，EF DG =；

（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．

26．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD ．

（1）求证：四边形BECD 是平行四边形

（2）连接DE ，若4AB BD ==，22DE =，求BECD 的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出?ABCD 的周长．

【详解】

解：∵DE 平分∠ADC ，

∴∠ADE=∠CDE ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，

∴∠ADE=∠CED ，

∴∠CDE=∠CED ，

∴CE=CD ，

∵AD=6，BE=2，

∴CE=BC-BE=6-2=4，

∴CD=AB=4，

∴?ABCD 的周长=6+6+4+4=20．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．

2．A

解析：A

【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12

CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．

【详解】 解：90ACB ∠=?，M 是BD 的中点，

12

CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==

16AC =

162CD AC AD x ∴=-=-

在Rt BCD △中，根据勾股定理得

222BC CD BD +=

即()()22281622x x +-=

解得：5x =，

故选A ．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．A

解析：A

【分析】

根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．

【详解】

∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，

∴AB 2＋BC 2＝AC 2，

∴2AB 2＝42，

∴AB 2＝8．

【点睛】

本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．C

解析：C

【分析】

首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM ＝EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．

【详解】

解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，

∴∠M ＝∠EFC ，

∵E 是CD 的中点，

∴DE ＝CE ，

在△DEM 和△CEF 中，

M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△DEM ≌△CEF （AAS ），

∴EM ＝EF ，

∵AE 平分∠FAD ，

∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．

即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．

∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，

∴AB 不一定等于BF ，故①错误．

故选：C ．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

5．D

解析：D

【分析】

根据菱形的判定方法判断即可．

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB ∥CD ，

∴∠OAB=∠ACD ，

∵∠OAB=∠OAD ，

∴∠DAC=∠DCA ，

∴AD=CD ，

∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）

故选：D ．

【点睛】

本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

6．C

解析：C

【分析】

根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．

【详解】

解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；

②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；

③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；

④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．

故选：C

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 7．A

解析：A

【分析】

由题意可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC 边的高即可．

【详解】

解：如图，连接AD 、EF ，

则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．

∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，

∴BC=AD=20，1

2EF×AD=

1

2

×120，

∴EF=6，

又AD=20，

∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，

故选：A．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

8．D

解析：D

【分析】

利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.

【详解】

如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，

∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，

∴EF=1

2AC，FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四边形EFGH是菱形，

故选D.

【点睛】

本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.

9．D

解析：D

【分析】

根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，

∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出

∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，

∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，

∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，

∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，

∵AB ∥CD ，

∴∠BAD=∠BCD=180°-α，

∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；

∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，

∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，

在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，

BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===??∠=∠=∠=∠??===?

，

∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），

∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；

∴四边形EFGH 是菱形，

∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，

∴∠EFG=90°，

∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；

∴EH ⊥GH ，④正确；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．

10．B

解析：B

【分析】

根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．

【详解】

解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；

B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；

C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；

D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．

11．C

解析：C

【分析】

根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC，

设BC=x，则AB=2x，

∴(2

22

=+，

x x

43

解得：x=8或-8（舍），

∴BC=8，

⊥，

∵D是AC边的中点，DE AC

∴DE=1

BC=4，

2

故选C．

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

12．C

解析：C

【分析】

如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=?，

四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，

求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．

【详解】

解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，

矩形ABCD ，53AF BE ==，，

//,AD BC ∴ 90B ∠=?， 四边形ABEM 为矩形，

,AFE CEF ∴∠=∠

由对折可知：,AEF CEF ∠=∠

,AFE AEF ∴∠=∠

5AE AF ∴==，

224AB AE BE ∴=

-=，

四边形ABEM 为矩形，

43ME AB AM BE ∴====，， 2MF ∴=，

22+2 5.EF ME MF ∴=

故选：.C

【点睛】

本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

二、填空题

13．≤AE≤【分析】取BC 中点O 利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE 再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC 中点O 连接

OAOE ∵△ABC 正三角形且AB=6∴AO ⊥BCBO=OC=BC 解析：333-≤AE ≤333+ 【分析】

取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．

【详解】

解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，

∵△ABC 正三角形，且AB=6，

∴AO ⊥BC ，BO=OC=

12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，

在△OAE 中，OA-OE

当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，

∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ，

∴333≤AE 333≤， 故答案为：333≤AE 333≤．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

14．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【 解析：183【分析】

由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得

160,2

BAC BAD AC BD ∠=∠=?⊥，继而解出30ABO ∠=?，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到

6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．

【详解】

解：如图，

菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，

160,2

BAC BAD AC BD ∴∠=∠=?⊥ 30ABO ∴∠=? 63BD =33BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，

222(33)(2)x x ∴+=

22274x x +=

解得3x =

3AO ∴=

6AC ∴=

∴菱形的面积6362183S =÷= 故答案为：183

【点睛】

本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

15．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角

解析：5

【分析】

根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．

【详解】

F ，

G 分别是DE ，BE 的中点，

∴142

GF BD ==，

∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132

GH CE =

=， ∵∠FGH =90°，

∴由勾股定理得，

5FH ===，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

16．【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1∠HEF=∠CEF 从而可求出∠DEH ∠CEF 的度数【详解】解：

∵∠GEH=∠1∴∠GEH=∴∠DEH=+=∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=故答案为：【 解析：2551'?

【分析】

根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF ，从而可求出∠DEH ，∠CEF 的度数．

【详解】

解：∵1649'∠=?，∠GEH=∠1，

∴∠GEH=649'?，

∴∠DEH =649'?+649'?=12818'?，

∴∠HEF=∠CEF=12

×(180°-12818'?)=2551'?， 故答案为：2551'?．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键． 17．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF 【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB=

解析：3

【分析】

过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．

【详解】

解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，

∵150ABC ∠=?，

∴∠ABM=30°，

∴AM=12AB=12

×6=3，

∵AM⊥CB，EF BC

⊥，

∴AM∥EF，

∵//

AE BC，

∴四边形AMFE是平行四边形，

∵AM⊥CB，

∴四边形AMFE是矩形，

∴EF=AM=3，

故答案为：3．

．

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．

18．【分析】画出图形证明四边形EFGH是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG得到四边形EFGH的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD是平行四边形EFGH分别是各边中点过点G作EH的垂线垂足

解析：2

【分析】

画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．

【详解】

解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，

过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，

可得：EF=HG=1

2

AC=3，EH=FG=

1

2

BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AC和BD夹角为45°，

可得∠EHG=45°，

∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴2332

22

=

∴四边形EFGH的面积=MG EH

?=62

∴平行四边形ABCD的面积为122，

故答案为：122．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．

19．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形

解析：65

【分析】

利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．

【详解】

解：如图所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠F=∠BAE=50°，．

∵AB=AE，

∴∠B=∠AEB=65°，

∴∠D=∠B=65°．

故答案是：65．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B

解析：10

【分析】

根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．

【详解】

∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，

∵BE=2，AF=2，BF=4

∴GH=BF=EC=4，EH=EF=22

2425

+=

∴在Rt△HEC中，CH=()22

-=

2542

∴BE=CH

又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4

∴△BEF≌△CHE

作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，

∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6

∴FH=22

+=

26210

故答案为：210．

【点睛】

此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．

三、解答题

21．（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）如图1所示，取点C，连接AC、BC，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明

∠=?；

ABC

90

（2）先确定出AB的中点D，然后再确定出AC的中点E，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE，则DE为AB的垂直平分线．

【详解】

解：如图：（1）三角形ABC即为所求；

（2）直线DE即为所求．

【点睛】

本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．

22．（1）见解析；（2）PC=2时

【分析】

（1）由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ，可得DQ=PC ，即可得结论；

（2）得出P 在B 、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．

【详解】

解：（1）∵AD ∥BC ，

∴∠QDM=∠PCM ，

∵M 是CD 的中点，

∴DM=CM ，

∵∠DMQ=∠CMP ，DM=CM ，∠QDM=∠PCM ，

∴△PCM ≌△QDM （ASA ）．

∴DQ=PC ，

∵AD ∥BC ，

∴四边形PCQD 是平行四边形，

∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；

（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ ，

∵BC-CP=AD+QD ，

∴9-CP=5+CP ，

∴CP=（9-5）÷2=2．

∴当PC=2时，四边形ABPQ 是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．

23．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）由菱形的性质得出//AD BC ，2,2BAD DAC ABC DBC ∠∠∠∠==，得出180BAD ABC ∠+∠=?，证出BAD ABC ∠=∠，求出90BAD ∠=?，即可得出结论；