备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)
专题15 数形结合思想
专题点拨
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．
(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：
①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；
②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；
③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；
④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
⑤构建立体几何模型研究代数问题；
⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
⑦构建方程模型，求根的个数；
⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．
(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
①准确画出函数图像，注意函数的定义域；
②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．
(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．
例题剖析
一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．
【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．
原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0 是(－3，0]∪{1}． 【变式训练1】 已知函数f (x )＝? ????2x －1，x ＞0， －x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范 围为________． 【答案】(0，1) 【解析】 函数f (x )＝ ?????2x －1， x ＞0－x 2－2x ， x ≤0＝? ??? ?2x －1， x ＞0－（x ＋1）2＋1， x ≤0， 画出其图像如图所示． 又由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知y ＝f (x )与y ＝m 有3个交点，则实数m 的取值范围是(0，1). 【例2】 若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求： (1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域． 【解析】 可将 b －2 a －1 看作点(a ，b )和(1，2)连线的斜率，而(a －1)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与定点(1，2)之间的距离的平方． 方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，且x 1x 2＝2b ＞0， 由此可得不等式组?????f （0）＞0f （1）＜0f （2）＞0????? ?b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0. ∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)． 由?????a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)， 由?????a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)， 由? ????a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)． (1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12·|BC |·h ＝1 2(h 为A 到Oa 轴的距离)． (2)b －2 a －1几何意义是点(a ， b )和点D (1，2)连线的斜率． ∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－0 1＋1＝1， 由图可知k AD ＜b －2 a －1＜k CD ， ∴14 a －1<1，即 b －2a －1∈??? ?14，1. (3)∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，由图可知，当取点C (－1，0)时有最小值8，当取点A (－3，1)时有最大值17，∴(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17)． 二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用 【例3】若x ，y 满足约束条件?????x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0， 则y x 的最大值为________． 【答案】 3 【解析】 作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原 点连线的斜率，由图可知，点A 与原点连线的斜率最大．联立? ????x －1＝0x ＋y －4＝0，解得A (1，3)，所以y x 的最大值 3 . 【例4】设函数f (x )＝? ??? ?x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点 个数为________． 【答案】 3 【解析】 将函数方程进行等价变形，转化为两函数在某个范围内有相等的解的问题，再利用函数的图像进行解决． 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得：b ＝4，c ＝2. 于是，f (x )＝? ??? ?x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图像，知它们有3 个交点，进而函数亦有3个零点． 【例5】 若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0，3)内有唯一解，求实数m 的取值范围． 【解析】 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决． 原方程变形为? ????3－x ＞0， －x 2＋3x －m ＝3－x ， 即? ????3－x ＞0，（x －2）2＝1－m . 设曲线y 1＝(x －2)2，x ∈(0，3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示．由图可知： ①当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1； ②当1≤1－m <4时，有唯一解，即－3 三、数形结合思想在平面解析几何中的应用 【例6】已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |等于( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】 C 【解析】 直线y ＝x －2恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2，0)且x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心坐标为(2，0)，半径为1，则有|AD |＝|AB |＋|CD |＋2R ?|AB |＋|CD |＝|AD |－2R . 由? ????y ＝x －2y 2＝8x ?x 2－12x ＋4＝0，知|AD |＝x A ＋x D ＋4＝16， ∴|AB |＋|CD |＝16－2＝14，故选C. 巩固训练 1．已知x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是________． 【答案】5 【解析】 约束条件???? ?x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0 ，表示的可行域如图中阴影部分所示： 目标函数z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋z 2，平移直线y ＝－12x ＋z 2，可知当直线y ＝－12x ＋z 2经过直线3x ＋y ＋5＝0与x ＝－3的交点(－3，4)时，z ＝x ＋2y 取得最大值，为z max ＝－3＋2×4＝5. 2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式x [f (－x )－ f (x )]<0的解集为________． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】由f (－x )＝－f (x )，x [f (－x )－f (x )]<0可转化为xf (x )>0.画出f (x )的简图，如图所示，可知xf (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 3.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________． 【答案】(1 4 ，－1) 【解析】 定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x 的交点，解得这个点的坐标是(1 4 ，－1)． 4．若x ∈()1，2时，不等式(x －1)2 【解析】 设g ()x ＝()x －12， f ()x ＝lo g a x ，要使当x ∪()1，2时，不等式(x －1)2 当01时，如图， 要使在(1，2)上，g (x )＝(x －1)2的图像在f (x )＝log a x 的下方，只需g (2)≤f (2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∪1＜a ≤2.∪a 的取值范围是(1，2]． 5．已知函数f (x )＝{－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[－2，0] 【解析】 由y ＝||f ()x 的图像知： ∪当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足||f ()x ≥ax . ∪当x ≤0时，y ＝||f （x ）＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立． 当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∪x －2＜－2，∪a ≥－2. 综上可知：a ∪[－2，0]. 二、选择题 6．若不等式log a x >sin2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈(0，π 4 )都成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，π4) B ．(0，π4] C ．[π4，1) D ．(π 4，1) 【答案】C 【解析】 记y 1＝log a x ，y 2＝sin2x ，原不等式相当于y 1>y 2，作出两个函数的图像，如图所示，知当y 1 ＝log a x 过点A (π4，1)时，a ＝π4，所以当π4≤a <1时，x ∪(0，π 4 )都有y 1>y 2. 7．已知y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝ f (x )(x ∈R )图像与y ＝|log 5|x ||图像的交点的个数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】 因函数y ＝f (x )(x ∪R )与y ＝ |log 5|x ||均为偶函数，故研究它们在y 右侧交点情况即可．作函数图像如图所示，从图可知，当0 三、解答题 8.已知函数f (x )＝? ????ax 2＋2x ＋1，x ≥0， －x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数，直线y ＝t 与函数f (x )的图像自左至右依次交于四个不 同点A 、B 、C 、D ，若||AB ＝||BC ，求实数t 的值． 【解析】 由函数f (x )是偶函数可知f (x )＝ f (－x )，当x <0时，f (－x )＝a (－x )2＋2(－x )＋1＝ax 2－2x ＋1＝f (x )＝－x 2＋bx ＋c ，故a ＝－1，b ＝－2，c ＝1，则f (x )＝?????－x 2＋2x ＋1，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，由函数图像可知：①当x ≥0时，?????y ＝t －x 2＋2x ＋1＝y ，解得x ＝1±2－t ，故C 点坐标为(1－2－t ，t )， ②当x <0时，? ????y ＝t －x 2－2x ＋1＝y ，解得x ＝－1±2－t ，故A 点坐标为(－1－2－t ，t )，B 点坐标为(－1 ＋2－t ，t )．因为||AB ＝||BC 可知，2－22－t ＝22－t ，得t ＝7 4 . 新题速递 1．（2019?闵行区一模）已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[x a ∈，]b 的值域为[0，8]，则a b +的取值范围是 ． 【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案． 【解答】解：数221,1()|1|(1)1,1x x f x x x x x ?-=-+=?-+ ． 作出函数的图象如图： 由图可知，3b =，[1a ∈-，1]， 则[2a b +∈，4]． 故答案为：[2，4]． 2．（2020?奉贤区一模）已知直线1y x =+上有两个点1(A a ，1)b 、2(B a ，2)b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足 1212|a a b b +12a a >，||2AB =，则这样的点A 有 个． 【分析】依题意，向量,OA OB 的夹角为4 π 或34π，作图容易得出结论． 【解答】解：设,OA OB θ<>=， 1212|a a b b + ∴2cos | ||||| OA OB OA OB θ==4π 或34π，如下图， 当AB 关于y x =-对称时，1BD AE OD OE ====，则8 BOD AOE π ∠=∠=，故34 AOB π ∠= （这是一个临界值），此时有一个点A ， 根据对称性，在A ，B 上下移动过程中，既要保持||2AB =，又要保持4 AOB π ∠=，这样的点A 上下 各有一个， 故一共有三个点A ． 故答案为：3．